专题8 最值与定值问题

一、选择题

1．(2019·泰安)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E为AB的中点，F为EC上一动点，P为DF中点，连接PB，则PB的最小值是( D )

A．2 B．4 C．2 D．22

解析：如图：由题意可知点P的运动轨迹是线段

P1P2，∴当BP⊥P1P2时，PB取得最小值，等腰直角△BCP1中，CP1＝BC＝2，∴BP1＝22 ，∴PB的最小值是22 .

2．(2019·玉林)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点O是AB的三等分点，半圆O与AC相切，M，N分别是BC与半圆弧上的动点，则MN的最小值和最大值之和是( B )

A．5 B．6 C．7 D．8

85

解析：如图，MN最小值为OP－OF＝ －1＝ ；

33当N在AB边上时，M与B重合时，MN经过圆心，1013

经过圆心的弦最长，MN最大值＝ ＋1＝ ，

33∴MN长的最大值与最小值的和是6.

3．(2019·长沙)如图，△ABC中，AB＝AC＝10，tan A＝2，BE⊥AC于点E，D是线段BE上的一个动5点，则CD＋5 BD的最小值是( B )

A．25 B．45 C．53 D．10

解析：如图，作DH⊥AB于H，CM⊥AB于M. 由题意可求得CM＝BE＝4，∵∠DBH＝∠ABE，DHAE5∠BHD＝∠BEA，∴sin ∠DBH＝ ＝ ＝ ，

BDAB5

55

∴DH＝ BD，∴CD＋ BD＝CD＋DH，

55

5

又∵CD＋DH≥CM，∴CD＋ BD≥45 ，

5

5

∴CD＋ BD的最小值为45 .

5

二、填空题

4．(2019·潍坊)如图，直线y＝x＋1与抛物线y＝x2－4x＋5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动12点，当△PAB的周长最小时，S△PAB＝__ __．

5