第一章 MATLAB入门 21

的。现在若使用蒙特卡洛法，设计如下试验：在realmin和realmax之间随机任取一个2×2矩阵，检查其行列式，若行列式等于0，则找到反例，停止；否则重新取一个；若取了10000个矩阵仍然找不到，则认为全部可逆。编写程序实现上述试验，看出什么问题？考虑怎样改造实验，才可找到不可逆二阶方阵？

10. 怀孕妇女分娩开始时间在一天小时24内是一致的吗？为揭示该问题研究人员记录了1186名孕妇的分娩 时间，他们考虑到从半夜开始共24个小时的观察值列在表8.5中。数据是否表明分娩开始时间在一天小时24内一致？

表8.5 孕妇分娩开始时间 小时 1 2 3 4 5 6

频数 52 73 89 88 68 47

小时 7 8 9 10 11 12

频数 58 47 48 53 47 34

小时 13 14 15 16 17 18

频数 21 31 40 24 37 31

小时 19 20 21 22 23 24

频数 47 34 36 44 78 59

11（两个总体检验）设x1, x2,?,xm为来自正态总体? (均值?1, 方差?12) 样本，y1,y2,?,yn为来自正态总体? 样本 (均值?2, 方差?22) (?1, ?2, ?1, ?2未知)，且相互独立, m, n足够大。检验问题 H0：?1=?2, H1: ?1 ??2 (或?1 >?2 ，?1

x?yss?mn2x2y～N(0,1), 写出拒绝域并编写假设检验的MATLAB程序。

12. 某保健食品商声称学生服用该保健食品一个月后能提高他们的数学能力和成绩，为了查明此保健食品是否真的那么神，设计了一次实验，随机地选取500名学生，并将他们随机地均分为两个组，甲组服用保健食品，乙组服用模样与品味与保健食品一样的葡萄糖丸，两组同学以为自己在服用保健食品，一个月后进行一次数学考试，结果甲组的平均分是73分，标准差为18分，乙组的平均分是71分，标准差为17分, 其间的差异是由于机会变异引起还是保健食品真的起了作用?

13. (布朗运动) 布朗运动是英国植物学家在观察液体中浮游微粒的运动发现的随机现象，现在已成为随机过程理论最重要的概念之一。下列M函数brwnm.m给出了一维布朗运动(或称维纳过程)，使用格式

[t,w]=brwnm(t0,tf,h)

其中[t0,tf]为时间区间，h为采样步长，w(t)为布朗运动。

function [t,w]=brwnm(t0,tf,h) t=t0:h:tf;

x=randn(size(t))*sqrt(h); w(1)=0;

for k=1:length(t)-1,

22 第一章 MATLAB入门

w(k+1)=w(k)+x(k); end

若w1(t), w2(t)都是一维布朗运动且相互独立，那么(w1(t), w2(t))是一个二维布朗运动。试给出二维布朗运动模拟作图程序。

14. 一个便利店晚上两名职工值班，顾客不太多，是开一个出口，一人收款一人装袋好？还是开两个出口，一人既收款又装袋好？假定：收款和装袋都是1分钟；顾客到达出口是随机的，服从泊松分布；平均每分钟40%没有顾客，30%一个顾客，30%两个以上顾客。试设计一个随机模拟实验分析这个问题。

15. 大型超级市场有4个收款台，每个顾客的货款 计算时间与顾客所购的商品数成正比(每件1秒)。20%的顾客用支票或银行卡支付，每人需要1.5分；现金支付则仅需0.5分。有人提议设一个快速服务台专为购买8件以下商品的顾客服务，并指定两个收款台为现金支付柜台。试建模比较现有的收款方式和建议方式的运行效果。假设顾客到达的平均间隔时间是0.5分。顾客购买的商品数按下列的频率表8.6分布。 件数 频率

<8 0.12 9-19 0.10 20-29 0.18 30-39 0.28 40-49 0.20 >50 0.12

第一章 MATLAB入门 23

习题9

1．使用分段线性插值预测例9.4中的人口，并与曲线拟合结果作比较。 2．自己编写拉格朗日插值(9.6)的MATLAB程序。

3. 选择一些函数,在n个节点上(n不要太大,如5~11)用拉格朗日﹑分段线性﹑三次样条三种插值方法,计算m个插值点的函数值(m要适中,如50～100).通过数值和图形输出,将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n,再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考:

a. y=sinx, 0≤x≤2π; b. y=(1-x2)1/2,-1≤x≤1; c. y=cos10x, -2≤x≤2; d. y=exp(-x2),-2≤x≤2.

4.用给定的多项式,如y=x3-6x2+5x-3,产生一组数据(xi,yi,i=1,2,?,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用randn产生N(0,1)分布随机数),然后用xi和添加了随机干扰的yi作3次多项式拟合,与原系数比较.如果作2或4次多项式拟合,结果如何?

5. 假定某天的气温变化记录如下表，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。

时刻t(h) 温o0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 度15o 14o 14o 14o 14o 15o 16o 13 14 15 16 17 18 19 18o 20o 22o 23o 25o 28o 20 21 22 23 24 C(t) 时刻t(h) 温o度31o 32o 31o 29o 27o 25o 24o 22o 20o 18o 17o 16o C(t) 6. 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为v(t)=V-(V-V0)exp(?t/?)，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数．试由下面一组t，V数据确定V0和τ． t (秒) V(伏) 0.5 6.36 1 6.48 2 7.26 3 8.22 4 8.66 5 7 9 9.63 8.99 9.43

7. 弹簧在力F的作用下伸长，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx，k为弹性系数．现在得到下面一组x, F数据，并在（x，F）坐标下作图（图 9.13）．可以看出，当F大到一定数值后，就不服从这个定律了．试由数据确定k，并给出不服从胡克定理时的近似公式． x F 1 1.5 2 3.9 4 6..6 7 11.7 9 15.6 12 18.8 13 19.6 15 17 20.6 21.1 2015105002468101214161824 第一章 MATLAB入门

图9.13 第7题图

8. 一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x, 与样本点处某种金属含量y的一组数据如下，画出散点图观察二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

x 2 3 4 5 7 8 10 y 106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 x 11 14 15 15 18 19 y 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20

9. 给定数据表如下 x y 0.25 0.5 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 分别就下列端点条件求三次样条插值S(x)并作图。 （i） S'(0.25)=1, S'(0.53)=0.6868; （ii） S''(0.25)=S''(0.53)=0.

10. 下面是一山区海拔高度每400米的网格数据（单位：10米）。为了作修建道路的成本预算，需要给出每100米的网格数据。已知山区有一山峰，一条山谷和一条溪流（其源头约1350米），画出它们的位置。

480 135 137 139 140 141 96 94 88 80 69 57 43 29 21 15 440 137 139 141 143 144 114 111 105 95 82 69 54 38 30 21 400 138 141 143 145 147 132 128 120 108 94 78 62 46 37 35 360 142 143 145 148 150 155 151 143 130 120 98 85 75 55 50 320 143 145 146 150 155 160 155 160 160 160 155 150 150 155 155 280 95 119 137 150 120 110 155 160 155 138 107 90 105 115 120 240 91 109 127 150 120 110 135 145 120 115 101 88 100 105 110 200 88 106 123 139 150 150 140 90 110 106 95 87 90 93 95 160 83 98 118 132 145 142 140 130 70 90 85 84 38 78 75 120 74 88 108 113 125 128 123 104 90 50 70 78 75 65 55 80 65 76 88 97 102 105 102 83 80 70 30 50 55 48 35 40 51 62 73 80 85 87 85 78 72 65 50 20 30 35 32 0 37 47 55 60 67 69 67 62 58 45 40 30 10 15 25 Y/X 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560

11. 在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程如下表，