第一章 MATLAB入门 13

一半在外，但第二块砖若仍放一半(如图5.9)必会倒下。应如何放置这两块砖。n块呢？ ?

15 (电视机价格)由于市场竞争的影响，电视机售价p越高，销售量x就会越低， x = Me-ap (M,a>0)

其中M为最大需求量，a为价格系数。另一方面销售量越大，每台电视机成本c就会越低， c=c0-klnx (c0, k>0)

其中c0是只生产一台电视机时的成本，k为规模系数。应如何确定电视机售价才能获得最大利润？ ?

16 (水箱压力)洒水车上水箱是一个横放的椭园柱体，尺寸如图5.11所示，当水箱盛满水时，计算两个端面所受的压力。 ?

17(停产时间)某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t 的追加成本和追加收益分别为G(t)=5?2t2/3(百万元/年), H(t)= 17?t2/3(百万元/年)。试确定该生产线在何时停产

可获最大利润？最大利润是多少？ ?

18（教堂顶部曲面面积）某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800m2有规定厚度金箔的黄金。建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？

14 第一章 MATLAB入门

习题 6

1 解下列微分方程。

(1) y’=x+y, y(0)=1, 0

(2) x’=2x+3y, y’=2x+y, x(0)=-2.7,y(0)=2.8, 0

(5) Vanderpol方程y’’+?(y2-1)y’+y=0, y(0)=2, y’(0)=0, 0

(6) x’’=(-2/t)x’+(2/t2)x+(10cos(ln(t)))/t2, x(1)=1, x(3)=3. 输出t=1.5, 2, 2.5时x 的值, 并作x的图。

2. 求下列常系数齐次微分方程的通解。

y(5)(t)+10 y(4)(t)+54 y(3)(t)+132 y’’(t)+137 y’(t)+50 y (t)=0,

3. 求解刚性方程组

'?y1??1000.25y1?999.75y2?0.5,y1(0)?1, 0

4. 已知Appolo卫星的运动轨迹(x, y)满足下面的方程

dy?(x??)?(x??)d2x?2?x??23dtdtr1r23d2y?y?ydx??2?y??323dtdtr1r2

其中?=1/82.45, ?=1-?, r1?(x??)2?y2,r2?(x??)2?y2, 试在初值x(0)=1.2, x’(0)=0, y(0)=0, y’(0)=-1.04935371下求解，并绘制Appolo卫星轨迹图。

5 （解的“爆炸”）求一通过原点的曲线，它在(x,y)处的切线斜率等于2x+y2,0

6 试求解 dx/dt = ax+b, x(0) = x0

并分别对a, b, x0 取正负值的8种不同情况，讨论解曲线的单调性及t??时的行为。用MATLAB画出解曲线图形。将它们合理分类。

7 (温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃,

第一章 MATLAB入门 15

再过10分钟后读数28.32℃。建立一个较合理的模型来推算户外温度。

8 (广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。

(1) 建立该问题的数学模型，分别求其解析解和数值解，并作比较； (2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？

9 (肿瘤生长) 肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0?a?1;而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。设某肿瘤参数a=1, b=0.1, K的初始值为2，V的初始值为1。问 (1)此肿瘤生长不会超过多大？ (2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？

(3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？ (4)若参数a=2/3呢？ ?

10. (Lorez混沌) Lorez系统是一类典型的混沌系统，具有强烈的初值依赖性和长期不可预测性。Lorenz系统的状态方程是

?1(t)???x1(t)??x2(t) ?x??2(t)?rx1(t)?x2(t)?x1(t)x3(t) ?x?x??3(t)?x1(t)x2(t)?bx3(t) 设? =10, r =28, b =8/3, 取初值x1=10, x2= -10, x3= -10, 求t=20的解，并作出在0

11 (RLC电路)在RLC含源串联电路中，电动势为E的电源对电容器C充电。已知电阻R=100欧，电感L=0.1亨，C=0.2微法，E=20伏，试求合上开关K后的电压uc(t)。 ?

12 (生态系统的振荡现象)第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到最多的鱼才是。可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。 令x1为鱼饵的数量，x2为鲨鱼的数量，t为时间。微分方程为

?dx1?dt?x1(a1?b1x2) ?dx2???x2(a2?b2x1)?dt式中a1, a2, b1, b2都是正常数。第一式鱼饵x1的增长速度大体上与x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鲨鱼吃掉的部分按b1x1x2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然

16 第一章 MATLAB入门

死亡或互相咬食按a2x2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b2x1x2的比率增加。对a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。 ?

13 解微分方程初值问题(6.5)的四阶Runge-Kutta格式为

h?y?y?(K1?2K2?2K3?K4)n?n?16?K1?f(tn,yn)??hh K2?f(tn?,yn?K1)?22?hh?K3?f(tn?,yn?K2)?22?K4?f(tn?h,yn?hK3)?它具有四阶收敛精度。编写四阶Runge-Kutta法程序并解习题1(1)。 ?

14 一个蹦极爱好者准备从一高空热气球跳下，所用橡皮带长为L. 为保证安全，必须要预知最大加速度、速度和总下落高度，确保使力不会太大而且气球足够高以保证蹦极者不会撞到地面。考虑空气动力学阻力，控制方程为

d2xdx2k?csign(dx/dt)()?(x?L)u(x?L)?g 02dtmJdt其中g=9.8m/s2为重力加速度；c0和阻力系数成比例，单位为m-1; k为橡皮带的弹性系数，单

位为N/m; mJ为蹦极者的质量；sign(z)为符号函数，u(z)为单位阶跃函数，即

z?0?1 z?0?1 ?sign(z)=?0 z?0, u(z)=?z?0?0 ??1 z?0?如果L=150m, mJ=70kg, k=10N/m, c0=0.00324 m-1, 初始条件为零。试验证

(1) 11.47s时，最大下落高度-308.47m;

(2)5.988s时，下落150m, 速度为-43.48m/s; (3)11.18s, 最大加速度-12.82m/s2 画出位移，速度，加速度曲线。