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第一章 MATLAB入门 9

9 考虑函数 f(x,y)= y3/9+3x2y+9x2+y2+xy+9 (1)作出f(x,y)在-2

10. 假定某天的气温变化记录如第二章习题5,试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。考虑下列类型函数, 作图比较效果,并计算均方误差。

(1) 二次函数; (2) 三次函数;

(3) 钟形函数f(x)?aeb(t?14); (4) 函数f(x)?rsin(2?12t??).

11 (化学反应平衡) 一等克分子数一氧化碳(CO)和氧气(O2)的混合物在300K和5bar压力下达到平衡,理论反应方程式为 CO + 0.5 O2 ? CO2 实际反应方程式为 CO + N2 ? x CO + 0.5 (1 +x) O2 + (1 - x) CO2 剩余CO比值x满足化学平衡方程式

Kp?(1?x)1052.?x 0?x?1

x1?xp这里Kp = 3.06, p = 5 bar求x.

12 (月还款额)作为房产公司的代理人,你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米,每平方单价7500元的房子。他计划首付30%,其余70%用20年按揭贷款(贷款年利率5.04%)。请你提供下列信息:房屋总价格、首付款额、月付还款额。如果其中10万元为公积金贷款(贷款年利率4.05%)呢?

13(栓牛鼻的绳子)农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏,里面长满了草,老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上,但只让牛吃到一半草,他想让上大学的儿子告诉他,栓牛鼻的绳子应为多长? ?

14 (弦截法)牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法,但是它需要预先求得导函数。若用差商代替导数,可得下列弦截法

xk?1?xk?xk?xk?1f(xk)

f(xk)?f(xk?1)

10 第一章 MATLAB入门

这一迭代法需要两个初值x0, x1,编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。(提示: 函数参数求值用MATLAB函数feval)

?

15 (线性迭代) 迭代过程

x k+1 = g (x k)

的收敛性主要条件是在根的附近满足?g ‘ (x)?<1。从理论上证明线性迭代

x k+1 = a x k + 1

只有两种极限形态:不动点或无穷大。分别就a=0.9, -0.9, 1.1, -1.1 (取x0 =1, 迭代20步)用图形显示迭代过程的不同表现(提示:用subplot将4个子图放在一个图形窗口比较)

?

16 (通道中的细杆) 要运送一根细杆子通过由宽5cm和宽10cm的通道垂直交叉口,在运送过程中必须保持杆子是水平的(如图4.6),问这根细杆至多可有多长?又通道为园柱形的且细杆不必保持水平,细杆至多可有多长?

5cm

? ? ?

17 证明当且仅当3

19 (Henon吸引子) 混沌和分形的著名例子,迭代模型为

2?xk?1?1?yk?14.xk ?y?0.3xk?1k?图4.6

取初值x0 = 0, y0 = 0, 进行3000次迭代,对于k>1000, 在(xk, yk) 处亮一点(注意不要连线)可得

所谓Henon引力线图.

第一章 MATLAB入门 11

习题5

1.某河床的横断面如图5.8所示,为了计算最大的排洪量,需要计算它的断面积,试根据图示测量数据(单位:米)用梯形法计算其断面积。

2.求图5.8各测量点的坡度。

图5.8

3.作图表示函数z?xe

4. 已知参数方程??x2?y3

( -1

x?lncostdydy, 0

dxdx?y?cost?tsint?的数值解。

x??1

5. 求下列积分的数值解

(1)

?112?310e?x22dx, (2)

?2?0e2xcos3(x)dx ,

(3) (6)

?xln(x4)arcsin11sin(x)11?xdxdx, (4), (5)xdx , ?2?00xx?2?0d??1?r2sin(?)dr,(7)??(1?x?y2)dydx, D为x2+y2?2x

0D

6 (椭园的周长) 用积分法计算下列椭园的周长

7.(曲面的面积) 求函数z?xe

?x2?y2

x2y2??1 49( -1

12 第一章 MATLAB入门

8 (假奇异积分)试求下列积分, 出现什么问题?分析原因,设法求出正确的解。

9 考虑积分I(k) =

I=

?1?1x0.2cos(x)dx

?k?0sin(x)dx=2k, 试分别用trapz(取步长h=0.1或?), quad 和quadl

求解I(8) 和I(32)。发现什么问题?

10. (1) 用程序deriv.m求f(x)=x2sin(x2+3x-4)在x=1.3和x=1.5的导数,使精度达到10-3。

(2) 编写用公式(5.21)求函数在某一点二阶导数达到指定精度的算法程序,并用此程序求f(x)=x2sin(x2-x-2)在x=1.4的二阶导数,使精度达到10-3。

11图5.9a和图5.9b中各有两条曲线(粗线为x轴),辨认每幅图中哪条是f(x)哪条是f (x)的导函数?为什么?

图5.9b

图5.9a

12 (辛普生积分法)编制一个定步长辛普生法数值积分程序。计算公式为

I?Sn=

h(f1+4f2+2f3+4f4+?+2fn-1+4fn+fn+1) 3其中n为偶数,h=(b-a)/n, fi=f(a+(i-1)h). 并取n=5,应用于解习题5(1)。

13 (摩托车)一个重5400kg的摩托车在以速度v=30m/s行驶时突然熄火,设滑行方程为

5400v

dv=-8.276 v2 - 2000 dxx为滑行距离,计算要滑行多长距离后, 速度可降至15m/s。 ?

14 一条长凳被牢牢固定在地上,凳面水平。考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的

图5.9