第一章 MATLAB入门 9
9 考虑函数 f(x,y)= y3/9+3x2y+9x2+y2+xy+9 (1)作出f(x,y)在-2 10. 假定某天的气温变化记录如第二章习题5，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。考虑下列类型函数, 作图比较效果，并计算均方误差。 (1) 二次函数； (2) 三次函数； (3) 钟形函数f(x)?aeb(t?14)； (4) 函数f(x)?rsin(2?12t??). 11 (化学反应平衡) 一等克分子数一氧化碳(CO)和氧气(O2)的混合物在300K和5bar压力下达到平衡，理论反应方程式为 CO + 0.5 O2 ? CO2 实际反应方程式为 CO + N2 ? x CO + 0.5 (1 +x) O2 + (1 - x) CO2 剩余CO比值x满足化学平衡方程式 Kp?(1?x)1052.?x 0?x?1 x1?xp这里Kp = 3.06, p = 5 bar求x. 12 (月还款额)作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米，每平方单价7500元的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%）。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。如果其中10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%）呢？ 13（栓牛鼻的绳子）农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，他想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？ ? 14 (弦截法)牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法，但是它需要预先求得导函数。若用差商代替导数，可得下列弦截法 xk?1?xk?xk?xk?1f(xk) f(xk)?f(xk?1) 10 第一章 MATLAB入门 这一迭代法需要两个初值x0, x1，编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。(提示: 函数参数求值用MATLAB函数feval) ? 15 (线性迭代) 迭代过程 x k+1 = g (x k) 的收敛性主要条件是在根的附近满足?g ‘ (x)?<1。从理论上证明线性迭代 x k+1 = a x k + 1 只有两种极限形态：不动点或无穷大。分别就a=0.9, -0.9, 1.1, -1.1 (取x0 =1, 迭代20步)用图形显示迭代过程的不同表现(提示：用subplot将4个子图放在一个图形窗口比较) ? 16 (通道中的细杆) 要运送一根细杆子通过由宽5cm和宽10cm的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持杆子是水平的(如图4.6)，问这根细杆至多可有多长？又通道为园柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可有多长？ 5cm ? ? ? 17 证明当且仅当3 19 (Henon吸引子) 混沌和分形的著名例子，迭代模型为 2?xk?1?1?yk?14.xk ?y?0.3xk?1k?图4.6 取初值x0 = 0, y0 = 0, 进行3000次迭代，对于k>1000, 在(xk, yk) 处亮一点(注意不要连线)可得 所谓Henon引力线图. 第一章 MATLAB入门 11 习题5 1．某河床的横断面如图5.8所示，为了计算最大的排洪量，需要计算它的断面积，试根据图示测量数据（单位：米）用梯形法计算其断面积。 2．求图5.8各测量点的坡度。 图5.8 3．作图表示函数z?xe 4. 已知参数方程??x2?y3 ( -1 x?lncostdydy, 0 dxdx?y?cost?tsint?的数值解。 x??1 5. 求下列积分的数值解 (1) ?112?310e?x22dx, (2) ?2?0e2xcos3(x)dx ， (3) (6) ?xln(x4)arcsin11sin(x)11?xdxdx, (4), (5)xdx , ?2?00xx?2?0d??1?r2sin(?)dr，(7)??(1?x?y2)dydx, D为x2+y2?2x 0D 6 (椭园的周长) 用积分法计算下列椭园的周长 7.(曲面的面积) 求函数z?xe ?x2?y2 x2y2??1 49( -1 12 第一章 MATLAB入门 8 (假奇异积分)试求下列积分, 出现什么问题？分析原因，设法求出正确的解。 9 考虑积分I(k) = I= ?1?1x0.2cos(x)dx ?k?0sin(x)dx=2k, 试分别用trapz（取步长h=0.1或?）, quad 和quadl 求解I(8) 和I(32)。发现什么问题？ 10. (1) 用程序deriv.m求f(x)=x2sin(x2+3x-4)在x=1.3和x=1.5的导数，使精度达到10-3。 (2) 编写用公式(5.21)求函数在某一点二阶导数达到指定精度的算法程序，并用此程序求f(x)=x2sin(x2-x-2)在x=1.4的二阶导数，使精度达到10-3。 11图5.9a和图5.9b中各有两条曲线(粗线为x轴)，辨认每幅图中哪条是f(x)哪条是f (x)的导函数?为什么？ 图5.9b 图5.9a 12 (辛普生积分法)编制一个定步长辛普生法数值积分程序。计算公式为 I?Sn= h(f1+4f2+2f3+4f4+?+2fn-1+4fn+fn+1) 3其中n为偶数，h=(b-a)/n, fi=f(a+(i-1)h). 并取n=5，应用于解习题5(1)。 13 (摩托车)一个重5400kg的摩托车在以速度v=30m/s行驶时突然熄火，设滑行方程为 5400v dv=-8.276 v2 - 2000 dxx为滑行距离，计算要滑行多长距离后, 速度可降至15m/s。 ? 14 一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的 图5.9