第一章 MATLAB入门 1

习题 1

1. 执行下列指令，观察其运算结果, 理解其意义： (1) [1 2;3 4]+10-2i

(2) [1 2; 3 4].*[0.1 0.2; 0.3 0.4] (3) [1 2; 3 4].\\[20 10;9 2] (4) [1 2; 3 4].^2 (5) exp([1 2; 3 4]) (6)log([1 10 100]) (7)prod([1 2;3 4])

(8)[a,b]=min([10 20;30 40]) (9)abs([1 2;3 4]-pi)

(10) [1 2;3 4]>=[4,3;2 1]

(11)find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10])

(12) [a,b]=find([10 20;30 40]>=[40,30;20 10]) (提示：a为行号，b为列号) (13) all([1 2;3 4]>1) (14) any([1 2;3 4]>1) (15) linspace(3,4,5) (16) A=[1 2;3 4];A(:,2)

2. 执行下列指令，观察其运算结果、变量类型和字节数，理解其意义： (1) clear; a=1,b=num2str(a),c=a>0, a= =b, a= =c, b= =c (2) clear; fun='abs(x)',x=-2,eval(fun),double(fun)

3. 本金K以每年n次，每次p %的增值率(n与p的乘积为每年增值额的百分比)增加，当增加到rK时所花费的时间为

T?lnr(单位：年)

nln(1?0.01p)用MATLAB表达式写出该公式并用下列数据计算：r=2, p=0.5, n=12.

4．已知函数f(x)=x?2 在(-2, 2)内有两个根。取步长h=0.05, 通过计算函数值求得函数的最小值点和两个根的近似解。（提示：求近似根等价于求函数绝对值的最小值点） ?

5. (1) 用z=magic(10)得到10阶魔方矩阵； (2) 求z的各列元素之和；

(3) 求z的对角线元素之和(提示：先用diag(z)提取z的对角线)； (4) 将z的第二列除以3;

4

x

2 第一章 MATLAB入门

(5) 将z的第3行元素加到第8行。

?

6. 先不用MATLAB判断下面语句将显示什么结果？size(B)又得出什么结果?

B1={1:9;' David Beckham '};

B2={180:-10:100; [100,80,75,;77,60,92;67 28 90;100 89 78]}; B=[B1, B2]; B{1,2}(8)

D=cell2struct(B,{'f1','f2'},2); [a,b]=D.f1

然后用MATLAB验证你的判断。进一步，察看变量类型和字节数，并用Workspace工具栏显示B和D的具体内容。

第一章 MATLAB入门 3

习题 2

1. 设x为一个长度为n的数组，编程求下列均值和标准差

n1n1x??xi, s?[?xi2?nx2], n>1

ni?1n?1i?12. 求满足?ln(1?n)>100的最小m值。

n?0m3. 用循环语句形成Fibonacci数列 F1 = F2 =1, Fk = Fk-1 + Fk-2 , k=3,4,?。并验证极限

Fk1?5. （提示：计算至两边误差小于精度 10-8） ?Fk?124. 分别用for和while循环结构编写程序，求出K??i?11063。并考虑一种避免循环语句的程2i序设计，比较不同算法的运行时间。

5．假定某天的气温变化记录如下表，试作图描述这一天的气温变化规律。 时刻t(h) 温度oC(t) 时刻t(h) 温度oC(t) 0 15o 13 31o 1 14o 14 32o 2 14o 15 31o 3 14o 16 29o 4 14o 17 27o 5 15o 18 25o 6 16o 19 24o 7 18o 20 22o 8 20o 21 20o 9 22o 22 18o 10 23o 23 17o 11 25o 24 16o 12 28o

6. 作出下列函数图象

(i) 曲线y = x2 sin (x2 - x - 2), -2 ? x ? 2 (要求分别使用plot或fplot完成) (ii) 椭圆x2/4 + y2/9 = 1

(iii) 抛物面z = x2 + y2 , ?x?<3, ?y?<3

(iv) 曲面 z=x4+3x2+y2-2x-2y-2x2y+6, |x|<3, -3

(vi) 半球面 x=2sin?cos?, y=2sin?sin?, z=2cos?, 0???3600, 0???900 (vii) 三条曲线合成图y1=sinx, y2=sinxsin(10x), y3= ?sinx , 0

7．作下列分段函数图

x?1.1?1.1?y??x|x|?1.1

??1.1x??1.1?8. 查询trapz的功能和用法：查找trapz.m文件所在目录，查看trapz.m的程序结构，查看trapz.m文件所在目录还有哪些文件？

4 第一章 MATLAB入门

?

9. 用MATLAB函数表示下列函数，并作图。

?0.5457exp(?0.75y2?3.75x2?1.5x) x+y>1?p(x,y)??0.7575exp(?y2?6x2) -1

?0.5457exp(?0.75y2?3.75x2?1.5x) x+y?-1?

?

10. 已知连续时间Lyapunov方程为

AX+XA’= ?C

?5?22??2?123?

????

其中A=?456?, C=??5?24?56?. 试通过lookfor和help的帮助用MATLAB求解。

??22?56?16??780?

????

第一章 MATLAB入门 5

习题 3

1. 设a=(1,2,3),b=(2,4,3), 分别计算a./b, a.\\b, a/b, a\\b, 分析结果的意义。

2. 用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义

?41?1??x1??9???????(1)?32?6??x2????2? ???????1?53??x3??1??4?33??x1???1???????(2) ?32?6??x2????2?

???????1?53??x3??1??41??1????x1???(3)?32?????1? ???x2????1?5??1??x1??21?11????1???x2??(4)?121?1?????2? ???x3????1121????3??x4?3. 求第2题第(4)小题的通解。

4. （人口流动趋势）对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么

（1）一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？ （2）很多年以后呢？

（3）如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？ （4）计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题(2)(3)有何关系？

5. （经济预测）在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下表3.5（单位：亿元）

工 业 生 产 部 农 业 2.25 1 0.2 1.55 5 工 业 6 消耗部门 农 业 2 第三产业 1 最后需求 16 总产值 25

6

门 第三产业 3 第一章 MATLAB入门

0.2 1.8 15 20 假设某经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief矩阵可视作不变）。

6. 求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量

?11?41?1????（1）?32?6? （2）?02?1?53???12????1???1? (3) 0???5765????71087??68109? ???57910????56???156??（4） n阶方阵?15??, n分别为5, 50, 和500.

????6????15??

7. 判断第6题各小题是否可以相似对角化，如果是，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵。

8. 判断第6题各小题是否为正定矩阵。

9. 求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 ?1= (4, -3, 1,3), ?2= (2, -1, 3, 5), ?3= (1, -1, -1, -1), ?4= (3, -2, 3, 4), ?5= (7, -6, -7, 0) 10．（二次型标准化）用正交变换化下列二次型为标准形 f (x1, x2, x3) = x12 - 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 -2 x 22 +8 x 2 x 3 -2 x 32 ?

11. （电路网）图3.1是连接三个电压已知终端的电路网，求a, b, c点的电压。

4? b 3? 2? a 0V 20V

3?

5? 5V c 3?

图3.1 电路图

第一章 MATLAB入门 7

?123????

12. (Hamilton-Carley定理)就矩阵A = ?456?验证下列性质

?780???

(i) 设?1, ?2, ?, ?n为n阶方阵A的特征值，则

n??i?1ni =

?ai?1nii(A的迹),

??i?1i= (-1)n?A?;

(ii) 设f (x)为A的特征多项式, 则f (A) = 0。

8 第一章 MATLAB入门

习题 4

1 求下列多项式的所有根, 并进行验算。

(1) x2+x+1; (2) 3x5-4x3+2x-1; (3) 5x23-6x7+8x6-5x2;

(4) (2x+3)3-4 (提示：先用conv展开)

2 求方程xln(x2?1?x)?x2?1?0.5x?0的正根。

3 用MATLAB指令求解第一章习题4。

4 (超越方程) 超越方程的解有时是很复杂的，作出

f (x) = x sin (1/x)

在[ - 0.1, 0.1]内的图，可见在x = 0附近f (x) = 0有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，使计算结果误差不超过0.01。

5 求解下列非线性方程组在原点附近的根

?9x2?36y2?4z2?36?22 ?x?2y?20z?0?16x?x3?2y2?16z2?0?

6 求解下列方程组在区域 0

???0.7sin??0.2cos? ????0.7cos??0.2sin?

7 (椭园的交点) 两个椭圆可能具有0～4个交点，求下列两个椭园的所有交点坐标

(x - 2) 2 + (y - 3 + 2x) 2 = 5 2 (x-3)2 + (y/3) 2 = 4

8 作出下列函数图形，观察所有的局部极大, 局部极小和全局最大, 全局最小值点的粗略位置; 并用MATLAB函数fminbnd和fminsearch求各极值点的确切位置 (1) f(x)=x2sin(x2-x-2), [-2,2]; (2) f(x)=3x5-20x3+10, [-3, 3];

(3) f(x)=? x3-x2-x-2? [0, 3].

第一章 MATLAB入门 9

9 考虑函数 f(x,y)= y3/9+3x2y+9x2+y2+xy+9 (1)作出f(x,y)在-2

10. 假定某天的气温变化记录如第二章习题5，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。考虑下列类型函数, 作图比较效果，并计算均方误差。

(1) 二次函数； (2) 三次函数；

(3) 钟形函数f(x)?aeb(t?14)； (4) 函数f(x)?rsin(2?12t??).

11 (化学反应平衡) 一等克分子数一氧化碳(CO)和氧气(O2)的混合物在300K和5bar压力下达到平衡，理论反应方程式为 CO + 0.5 O2 ? CO2 实际反应方程式为 CO + N2 ? x CO + 0.5 (1 +x) O2 + (1 - x) CO2 剩余CO比值x满足化学平衡方程式

Kp?(1?x)1052.?x 0?x?1

x1?xp这里Kp = 3.06, p = 5 bar求x.

12 (月还款额)作为房产公司的代理人，你要迅速准确回答客户各方面的问题。现在有个客户看中了你公司一套建筑面积为180平方米，每平方单价7500元的房子。他计划首付30%，其余70%用20年按揭贷款（贷款年利率5.04%）。请你提供下列信息：房屋总价格、首付款额、月付还款额。如果其中10万元为公积金贷款（贷款年利率4.05%）呢？

13（栓牛鼻的绳子）农夫老李有一个半径10米的圆形牛栏，里面长满了草，老李要将家里一头牛栓在一根栏桩上，但只让牛吃到一半草，他想让上大学的儿子告诉他，栓牛鼻的绳子应为多长？ ?

14 (弦截法)牛顿迭代法是一种速度很快的迭代方法，但是它需要预先求得导函数。若用差商代替导数，可得下列弦截法

xk?1?xk?xk?xk?1f(xk)

f(xk)?f(xk?1)

10 第一章 MATLAB入门

这一迭代法需要两个初值x0, x1，编写一个通用的弦截法计算机程序并用以解习题2。(提示: 函数参数求值用MATLAB函数feval)

?

15 (线性迭代) 迭代过程

x k+1 = g (x k)

的收敛性主要条件是在根的附近满足?g ‘ (x)?<1。从理论上证明线性迭代

x k+1 = a x k + 1

只有两种极限形态：不动点或无穷大。分别就a=0.9, -0.9, 1.1, -1.1 (取x0 =1, 迭代20步)用图形显示迭代过程的不同表现(提示：用subplot将4个子图放在一个图形窗口比较)

?

16 (通道中的细杆) 要运送一根细杆子通过由宽5cm和宽10cm的通道垂直交叉口，在运送过程中必须保持杆子是水平的(如图4.6)，问这根细杆至多可有多长？又通道为园柱形的且细杆不必保持水平，细杆至多可有多长？

5cm

? ? ?

17 证明当且仅当3

19 (Henon吸引子) 混沌和分形的著名例子，迭代模型为

2?xk?1?1?yk?14.xk ?y?0.3xk?1k?图4.6

取初值x0 = 0, y0 = 0, 进行3000次迭代，对于k>1000, 在(xk, yk) 处亮一点(注意不要连线)可得

所谓Henon引力线图.

第一章 MATLAB入门 11

习题5

1．某河床的横断面如图5.8所示，为了计算最大的排洪量，需要计算它的断面积，试根据图示测量数据（单位：米）用梯形法计算其断面积。

2．求图5.8各测量点的坡度。

图5.8

3．作图表示函数z?xe

4. 已知参数方程??x2?y3

( -1

x?lncostdydy, 0

dxdx?y?cost?tsint?的数值解。

x??1

5. 求下列积分的数值解

(1)

?112?310e?x22dx, (2)

?2?0e2xcos3(x)dx ，

(3) (6)

?xln(x4)arcsin11sin(x)11?xdxdx, (4), (5)xdx , ?2?00xx?2?0d??1?r2sin(?)dr，(7)??(1?x?y2)dydx, D为x2+y2?2x

0D

6 (椭园的周长) 用积分法计算下列椭园的周长

7.(曲面的面积) 求函数z?xe

?x2?y2

x2y2??1 49( -1

12 第一章 MATLAB入门

8 (假奇异积分)试求下列积分, 出现什么问题？分析原因，设法求出正确的解。

9 考虑积分I(k) =

I=

?1?1x0.2cos(x)dx

?k?0sin(x)dx=2k, 试分别用trapz（取步长h=0.1或?）, quad 和quadl

求解I(8) 和I(32)。发现什么问题？

10. (1) 用程序deriv.m求f(x)=x2sin(x2+3x-4)在x=1.3和x=1.5的导数，使精度达到10-3。

(2) 编写用公式(5.21)求函数在某一点二阶导数达到指定精度的算法程序，并用此程序求f(x)=x2sin(x2-x-2)在x=1.4的二阶导数，使精度达到10-3。

11图5.9a和图5.9b中各有两条曲线(粗线为x轴)，辨认每幅图中哪条是f(x)哪条是f (x)的导函数?为什么？

图5.9b

图5.9a

12 (辛普生积分法)编制一个定步长辛普生法数值积分程序。计算公式为

I?Sn=

h(f1+4f2+2f3+4f4+?+2fn-1+4fn+fn+1) 3其中n为偶数，h=(b-a)/n, fi=f(a+(i-1)h). 并取n=5，应用于解习题5(1)。

13 (摩托车)一个重5400kg的摩托车在以速度v=30m/s行驶时突然熄火，设滑行方程为

5400v

dv=-8.276 v2 - 2000 dxx为滑行距离，计算要滑行多长距离后, 速度可降至15m/s。 ?

14 一条长凳被牢牢固定在地上，凳面水平。考虑若干块砖在长凳一端叠成阶梯状而尽量向外延伸。一块砖放在长凳右端极端位置是砖的

图5.9

第一章 MATLAB入门 13

一半在外，但第二块砖若仍放一半(如图5.9)必会倒下。应如何放置这两块砖。n块呢？ ?

15 (电视机价格)由于市场竞争的影响，电视机售价p越高，销售量x就会越低， x = Me-ap (M,a>0)

其中M为最大需求量，a为价格系数。另一方面销售量越大，每台电视机成本c就会越低， c=c0-klnx (c0, k>0)

其中c0是只生产一台电视机时的成本，k为规模系数。应如何确定电视机售价才能获得最大利润？ ?

16 (水箱压力)洒水车上水箱是一个横放的椭园柱体，尺寸如图5.11所示，当水箱盛满水时，计算两个端面所受的压力。 ?

17(停产时间)某公司投资2000万元建成一条生产线。投产后，在时刻t 的追加成本和追加收益分别为G(t)=5?2t2/3(百万元/年), H(t)= 17?t2/3(百万元/年)。试确定该生产线在何时停产

可获最大利润？最大利润是多少？ ?

18（教堂顶部曲面面积）某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为半球面，其半径为30m。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5%。据此，国王的财政大臣拨出了可制造5800m2有规定厚度金箔的黄金。建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰工程。但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭球面，其半立轴恰是30m，而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？

14 第一章 MATLAB入门

习题 6

1 解下列微分方程。

(1) y’=x+y, y(0)=1, 0

(2) x’=2x+3y, y’=2x+y, x(0)=-2.7,y(0)=2.8, 0

(5) Vanderpol方程y’’+?(y2-1)y’+y=0, y(0)=2, y’(0)=0, 0

(6) x’’=(-2/t)x’+(2/t2)x+(10cos(ln(t)))/t2, x(1)=1, x(3)=3. 输出t=1.5, 2, 2.5时x 的值, 并作x的图。

2. 求下列常系数齐次微分方程的通解。

y(5)(t)+10 y(4)(t)+54 y(3)(t)+132 y’’(t)+137 y’(t)+50 y (t)=0,

3. 求解刚性方程组

'?y1??1000.25y1?999.75y2?0.5,y1(0)?1, 0

4. 已知Appolo卫星的运动轨迹(x, y)满足下面的方程

dy?(x??)?(x??)d2x?2?x??23dtdtr1r23d2y?y?ydx??2?y??323dtdtr1r2

其中?=1/82.45, ?=1-?, r1?(x??)2?y2,r2?(x??)2?y2, 试在初值x(0)=1.2, x’(0)=0, y(0)=0, y’(0)=-1.04935371下求解，并绘制Appolo卫星轨迹图。

5 （解的“爆炸”）求一通过原点的曲线，它在(x,y)处的切线斜率等于2x+y2,0

6 试求解 dx/dt = ax+b, x(0) = x0

并分别对a, b, x0 取正负值的8种不同情况，讨论解曲线的单调性及t??时的行为。用MATLAB画出解曲线图形。将它们合理分类。

7 (温度过程)夏天把开有空调的室内一支读数为20℃的温度计放到户外，10分钟后读25.2℃,

第一章 MATLAB入门 15

再过10分钟后读数28.32℃。建立一个较合理的模型来推算户外温度。

8 (广告效应)某公司生产一种耐用消费品，市场占有率为5%时开始做广告，一段时间的市场跟踪调查后，该公司发现：单位时间内购买人口百分比的相对增长率与当时还没有买的百分比成正比，且估得此比例系数为0.5。

(1) 建立该问题的数学模型，分别求其解析解和数值解，并作比较； (2) 厂家问：要做多少时间广告，可使市场购买率达到80%？

9 (肿瘤生长) 肿瘤大小V生长的速率与V的a次方成正比，其中a为形状参数，0?a?1;而其比例系数K随时间减小，减小速率又与当时的K值成正比，比例系数为环境参数b。设某肿瘤参数a=1, b=0.1, K的初始值为2，V的初始值为1。问 (1)此肿瘤生长不会超过多大？ (2)过多长时间肿瘤大小翻一倍？

(3)何时肿瘤生长速率由递增转为递减？ (4)若参数a=2/3呢？ ?

10. (Lorez混沌) Lorez系统是一类典型的混沌系统，具有强烈的初值依赖性和长期不可预测性。Lorenz系统的状态方程是

?1(t)???x1(t)??x2(t) ?x??2(t)?rx1(t)?x2(t)?x1(t)x3(t) ?x?x??3(t)?x1(t)x2(t)?bx3(t) 设? =10, r =28, b =8/3, 取初值x1=10, x2= -10, x3= -10, 求t=20的解，并作出在0

11 (RLC电路)在RLC含源串联电路中，电动势为E的电源对电容器C充电。已知电阻R=100欧，电感L=0.1亨，C=0.2微法，E=20伏，试求合上开关K后的电压uc(t)。 ?

12 (生态系统的振荡现象)第一次世界大战中，因为战争很少捕鱼，按理战后应能捕到最多的鱼才是。可是大战后，在地中海却捕不到鲨鱼，因而渔民大惑不解。 令x1为鱼饵的数量，x2为鲨鱼的数量，t为时间。微分方程为

?dx1?dt?x1(a1?b1x2) ?dx2???x2(a2?b2x1)?dt式中a1, a2, b1, b2都是正常数。第一式鱼饵x1的增长速度大体上与x1成正比，即按a1x1比率增加, 而被鲨鱼吃掉的部分按b1x1x2的比率减少；第二式中鲨鱼的增长速度由于生存竞争的自然

16 第一章 MATLAB入门

死亡或互相咬食按a2x2的比率减少，但又根据鱼饵的量的变化按b2x1x2的比率增加。对a1=3, b1=2, a2=2.5, b2=1, x1(0)=x2(0)=1求解。画出解曲线图和相轨线图，可以观察到鱼饵和鲨鱼数量的周期振荡现象。 ?

13 解微分方程初值问题(6.5)的四阶Runge-Kutta格式为

h?y?y?(K1?2K2?2K3?K4)n?n?16?K1?f(tn,yn)??hh K2?f(tn?,yn?K1)?22?hh?K3?f(tn?,yn?K2)?22?K4?f(tn?h,yn?hK3)?它具有四阶收敛精度。编写四阶Runge-Kutta法程序并解习题1(1)。 ?

14 一个蹦极爱好者准备从一高空热气球跳下，所用橡皮带长为L. 为保证安全，必须要预知最大加速度、速度和总下落高度，确保使力不会太大而且气球足够高以保证蹦极者不会撞到地面。考虑空气动力学阻力，控制方程为

d2xdx2k?csign(dx/dt)()?(x?L)u(x?L)?g 02dtmJdt其中g=9.8m/s2为重力加速度；c0和阻力系数成比例，单位为m-1; k为橡皮带的弹性系数，单

位为N/m; mJ为蹦极者的质量；sign(z)为符号函数，u(z)为单位阶跃函数，即

z?0?1 z?0?1 ?sign(z)=?0 z?0, u(z)=?z?0?0 ??1 z?0?如果L=150m, mJ=70kg, k=10N/m, c0=0.00324 m-1, 初始条件为零。试验证

(1) 11.47s时，最大下落高度-308.47m;

(2)5.988s时，下落150m, 速度为-43.48m/s; (3)11.18s, 最大加速度-12.82m/s2 画出位移，速度，加速度曲线。

第一章 MATLAB入门 17

习题 7

1. 用MATLAB符号计算验证三角等式sin?cos? ?cos?sin?=sin(???).

2. 作因式分解 f(x)=x4-5x3+5x2+5x-6.

?12?3. 求矩阵A=??2a??的逆和特征值。

??4. 计算极限lim(3?9)，limx??xx1xxyxy?1?1x?0y?0

?115. 计算?k， ?2和? 2n?1k(2n?1)(2x?1)k?1k?1n?02?n?36. 求2sin(x2yz)|x=1, y=1,z=3.

?x?y7. (Taylor展开)求下列函数在x=0的Taylor幂级数展开式(n=8) ex, ln(1+x), sin(x), ln(x?1?x2)

8. 试结合diff和解方程求解第四章习题8及习题9.

9. (不定积分)用int计算下列不定积分，并用diff验证

10. 计算积分I(x)?

?e2ydy, ye?2x?x2a2?x2dx,

?dx(a?b)

x(lnx?a?lnx?b)??x(x?y)3sin(x?2y)dy。

11. 试用int求解第五章习题5 .

12. 试用solve求解第四章习题1, 2, 5, 6, 7.

13. 试用dsolve求解第六章习题1, 2, 3。

18 第一章 MATLAB入门

14. 试用简捷作图指令解第二章习题6。

?

15. 调用Maple求函数f(x,y)?(x2?2x)e?x2?y2?xy在x=0, y=a的二阶Taylor展开.

?

16. (1)分别用数值和符号两种方法，编程计算100！，结果有何不同？哪个计算快？

(2) 用符号方法，编程计算200！，结果为多大数量级？能用数值方法计算吗？ 17. 连续周期函数f(x)在[a, b]上(周期T=2L=b-a)的Fourier级数展开式为

?

a0?n?xn?xf(x)???(ancos?bnsin)

2n?1LL其中Fourier系数

1Ln?xf(x)cosdx, n?0,1,2,?L??LL

1Ln?xnn??f(x)sindx, n?1,2,?L?LLan?试编程求Fourier系数，并利用该程序求函数 y = x(x-?)( x-2?)的Fourier级数展开式前7项。

第一章 MATLAB入门 19

习题 8

1. 以下是 100 次刀具故障记录，即故障出现时该刀具完成的零件数。分析这批数据是否服从正态分布，并求其均值和均方差。注意，由于纪录失误，其中可能有些数据是错误的,要对此进行适当处理。

459, 362, 624, 542, 509, 584, 433, 748, 815, 505, 612, 452, 434, 982,640782, 742, 565, 706, 593, 680, 926, 653, 164, 487, 734, 608, 428, 1153, 593, 844, 527, 552, 513, 781, 474, 388, 824, 538, 862, 659, 775, 859, 755, 649, 697, 515, 628, 954, 771, 609, 2, 960, 885, 610, 292, 837, 473, 677, 358, 638, 699, 634, 555, 570, 84, 416, 606, 1062, 484, 120, 447, 654, 564, 339, 280, 246, 687, 539, 790, 581, 621, 724, 531, 512, 577, 496, 468, 499, 544, 645, 764, 558, 378, 765, 666, 763, 217, 715, 310, 851 2. 表8.4给出了1930年各国人均年消耗的烟去数以及1950年男子死于肺癌的死亡率。(注：研究男子的肺癌死亡率是因为在1930年左右几乎极少的妇女吸烟，记录1950年的肺癌死亡率是因为考虑到吸烟的效应要有一段时间才能显现)

表8.4 各国烟消耗量与肺癌人数

国 家 澳大利亚 加拿大 丹麦 芬兰 英国 荷兰 冰岛 挪威 瑞典 瑞士 美国

1930年人均烟消耗量

480 500 380 1100 1100 490 230 250 300 510 1300

1950年每百万男子死于肺癌人数

180 150 170 350 460 240 60 90 110 250 200

(1)画出该数据散点图；

(2) 该散点图是否表明在吸烟多的人中间肺癌死亡率较高？ (3)计算两列数据的相关系数。

3. 下图中的6个散点图分别具有如下相关系数 -0.85, -0.38, -1.00, 0.06, 0.60, 0.97 请将相关系数与散点图相配 。

20 第一章 MATLAB入门

图8.10a

图8.10b

图8.10c

图8.10d

图8.10e

图8.10f

4. (掷硬币) 考虑将一枚均匀硬币掷N次，当N很大时，正面出现的机率接近0.5，设计一个随机模拟试验显示这一现象。

5. (二项分布随机数产生) 如何用最基本的随机数函数rand产生二项分布B(n, p)的一个随机数呢？先考虑Bernoulli试验，为此产生一个(0,1)上均匀分布随机数，若这个数小于p, 则试验结果记为1，否则记为0，那么试验结果服从0-1分布, n个独立0-1分布随机数的和便是一个二项分布随机数。试根据这样的思路编写B(n, p) 随机数生成函数。 6. (二项分布的正态近似) Demorvie-Laplace中心极限定理指出，若?～B(n,p), n很大, 则规范化随机变量??np近似服从N（0，1）。用计算机实验进行验证。

np(1?p)7. 用蒙特卡洛法计算积分

x2exp(?)12dx，2?exp(x/2)sin2(x)dx，?sin(x)exp(?x2?y2)dxdy

?02??0?0?08. 分别用蒙特卡洛法和fminsearch求下列二元函数最大值，并通过图形作出评论。

f(x,y)=(x2+2y2+xy)exp(-x2-y2), |x|<1.5,|y|<1.5

?12??12?9. “任何二阶方阵都是可逆的”很明显是一个错误命题。例如??,??都是不可逆

?00???2?4?

第一章 MATLAB入门 21

的。现在若使用蒙特卡洛法，设计如下试验：在realmin和realmax之间随机任取一个2×2矩阵，检查其行列式，若行列式等于0，则找到反例，停止；否则重新取一个；若取了10000个矩阵仍然找不到，则认为全部可逆。编写程序实现上述试验，看出什么问题？考虑怎样改造实验，才可找到不可逆二阶方阵？

10. 怀孕妇女分娩开始时间在一天小时24内是一致的吗？为揭示该问题研究人员记录了1186名孕妇的分娩 时间，他们考虑到从半夜开始共24个小时的观察值列在表8.5中。数据是否表明分娩开始时间在一天小时24内一致？

表8.5 孕妇分娩开始时间 小时 1 2 3 4 5 6

频数 52 73 89 88 68 47

小时 7 8 9 10 11 12

频数 58 47 48 53 47 34

小时 13 14 15 16 17 18

频数 21 31 40 24 37 31

小时 19 20 21 22 23 24

频数 47 34 36 44 78 59

11（两个总体检验）设x1, x2,?,xm为来自正态总体? (均值?1, 方差?12) 样本，y1,y2,?,yn为来自正态总体? 样本 (均值?2, 方差?22) (?1, ?2, ?1, ?2未知)，且相互独立, m, n足够大。检验问题 H0：?1=?2, H1: ?1 ??2 (或?1 >?2 ，?1

x?yss?mn2x2y～N(0,1), 写出拒绝域并编写假设检验的MATLAB程序。

12. 某保健食品商声称学生服用该保健食品一个月后能提高他们的数学能力和成绩，为了查明此保健食品是否真的那么神，设计了一次实验，随机地选取500名学生，并将他们随机地均分为两个组，甲组服用保健食品，乙组服用模样与品味与保健食品一样的葡萄糖丸，两组同学以为自己在服用保健食品，一个月后进行一次数学考试，结果甲组的平均分是73分，标准差为18分，乙组的平均分是71分，标准差为17分, 其间的差异是由于机会变异引起还是保健食品真的起了作用?

13. (布朗运动) 布朗运动是英国植物学家在观察液体中浮游微粒的运动发现的随机现象，现在已成为随机过程理论最重要的概念之一。下列M函数brwnm.m给出了一维布朗运动(或称维纳过程)，使用格式

[t,w]=brwnm(t0,tf,h)

其中[t0,tf]为时间区间，h为采样步长，w(t)为布朗运动。

function [t,w]=brwnm(t0,tf,h) t=t0:h:tf;

x=randn(size(t))*sqrt(h); w(1)=0;

for k=1:length(t)-1,

22 第一章 MATLAB入门

w(k+1)=w(k)+x(k); end

若w1(t), w2(t)都是一维布朗运动且相互独立，那么(w1(t), w2(t))是一个二维布朗运动。试给出二维布朗运动模拟作图程序。

14. 一个便利店晚上两名职工值班，顾客不太多，是开一个出口，一人收款一人装袋好？还是开两个出口，一人既收款又装袋好？假定：收款和装袋都是1分钟；顾客到达出口是随机的，服从泊松分布；平均每分钟40%没有顾客，30%一个顾客，30%两个以上顾客。试设计一个随机模拟实验分析这个问题。

15. 大型超级市场有4个收款台，每个顾客的货款 计算时间与顾客所购的商品数成正比(每件1秒)。20%的顾客用支票或银行卡支付，每人需要1.5分；现金支付则仅需0.5分。有人提议设一个快速服务台专为购买8件以下商品的顾客服务，并指定两个收款台为现金支付柜台。试建模比较现有的收款方式和建议方式的运行效果。假设顾客到达的平均间隔时间是0.5分。顾客购买的商品数按下列的频率表8.6分布。 件数 频率

<8 0.12 9-19 0.10 20-29 0.18 30-39 0.28 40-49 0.20 >50 0.12

第一章 MATLAB入门 23

习题9

1．使用分段线性插值预测例9.4中的人口，并与曲线拟合结果作比较。 2．自己编写拉格朗日插值(9.6)的MATLAB程序。

3. 选择一些函数,在n个节点上(n不要太大,如5~11)用拉格朗日﹑分段线性﹑三次样条三种插值方法,计算m个插值点的函数值(m要适中,如50～100).通过数值和图形输出,将三种插值结果与精确值进行比较。适当增加n,再作比较，由此作初步分析.下列函数供选择参考:

a. y=sinx, 0≤x≤2π; b. y=(1-x2)1/2,-1≤x≤1; c. y=cos10x, -2≤x≤2; d. y=exp(-x2),-2≤x≤2.

4.用给定的多项式,如y=x3-6x2+5x-3,产生一组数据(xi,yi,i=1,2,?,n),再在yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数,或用randn产生N(0,1)分布随机数),然后用xi和添加了随机干扰的yi作3次多项式拟合,与原系数比较.如果作2或4次多项式拟合,结果如何?

5. 假定某天的气温变化记录如下表，试用最小二乘方法找出这一天的气温变化规律。

时刻t(h) 温o0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 度15o 14o 14o 14o 14o 15o 16o 13 14 15 16 17 18 19 18o 20o 22o 23o 25o 28o 20 21 22 23 24 C(t) 时刻t(h) 温o度31o 32o 31o 29o 27o 25o 24o 22o 20o 18o 17o 16o C(t) 6. 用电压V=10伏的电池给电容器充电，电容器上t时刻的电压为v(t)=V-(V-V0)exp(?t/?)，其中V0是电容器的初始电压，τ是充电常数．试由下面一组t，V数据确定V0和τ． t (秒) V(伏) 0.5 6.36 1 6.48 2 7.26 3 8.22 4 8.66 5 7 9 9.63 8.99 9.43

7. 弹簧在力F的作用下伸长，一定范围内服从胡克定理：F与x成正比，即F=kx，k为弹性系数．现在得到下面一组x, F数据，并在（x，F）坐标下作图（图 9.13）．可以看出，当F大到一定数值后，就不服从这个定律了．试由数据确定k，并给出不服从胡克定理时的近似公式． x F 1 1.5 2 3.9 4 6..6 7 11.7 9 15.6 12 18.8 13 19.6 15 17 20.6 21.1 2015105002468101214161824 第一章 MATLAB入门

图9.13 第7题图

8. 一矿脉有13个相邻样本点，人为地设定一原点，现测得各样本点对原点的距离x, 与样本点处某种金属含量y的一组数据如下，画出散点图观察二者的关系，试建立合适的回归模型，如二次曲线、双曲线、对数曲线等。

x 2 3 4 5 7 8 10 y 106.42 109.20 109.58 109.50 110.00 109.93 110.49 x 11 14 15 15 18 19 y 110.59 110.60 110.90 110.76 111.00 111.20

9. 给定数据表如下 x y 0.25 0.5 0.30 0.5477 0.39 0.6245 0.45 0.6708 0.53 0.7280 分别就下列端点条件求三次样条插值S(x)并作图。 （i） S'(0.25)=1, S'(0.53)=0.6868; （ii） S''(0.25)=S''(0.53)=0.

10. 下面是一山区海拔高度每400米的网格数据（单位：10米）。为了作修建道路的成本预算，需要给出每100米的网格数据。已知山区有一山峰，一条山谷和一条溪流（其源头约1350米），画出它们的位置。

480 135 137 139 140 141 96 94 88 80 69 57 43 29 21 15 440 137 139 141 143 144 114 111 105 95 82 69 54 38 30 21 400 138 141 143 145 147 132 128 120 108 94 78 62 46 37 35 360 142 143 145 148 150 155 151 143 130 120 98 85 75 55 50 320 143 145 146 150 155 160 155 160 160 160 155 150 150 155 155 280 95 119 137 150 120 110 155 160 155 138 107 90 105 115 120 240 91 109 127 150 120 110 135 145 120 115 101 88 100 105 110 200 88 106 123 139 150 150 140 90 110 106 95 87 90 93 95 160 83 98 118 132 145 142 140 130 70 90 85 84 38 78 75 120 74 88 108 113 125 128 123 104 90 50 70 78 75 65 55 80 65 76 88 97 102 105 102 83 80 70 30 50 55 48 35 40 51 62 73 80 85 87 85 78 72 65 50 20 30 35 32 0 37 47 55 60 67 69 67 62 58 45 40 30 10 15 25 Y/X 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 440 480 520 560

11. 在一丘陵地带测量高程，x和y方向每隔100米测一个点，得高程如下表，

第一章 MATLAB入门 25

试拟合一曲面，确定合适的模型，并由此找出最高点和该点的高程。

100 200 300 400 100 200 300 400 636 697 624 478 698 712 630 478 680 674 598 412 662 626 552 334 12 得到某商品的需求量与消费者的平均收入，商品价格的统计数据如下，建立回归模 型并进行检验，预测平均收入为1000，价格为6时的商品需求量。 需求量 收入 价格 100 75 80 70 50 65 90 100 110 60 1000 600 1200 500 300 400 1300 1100 1300 300 5 7 6 6 8 7 5 4 3 9 13 某人记录了21天使用空调器的时间和使用烘干器的次数,并监测电表以计算出每天的耗电量（KWH）与空调器使用的小时数（AC）和烘干器使用次数（DRYER）之间的关系，建立并检验回归模型，诊断是否有异常点。

序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 KWH 35 63 66 17 94 79 93 66 94 82 78 AC 1.5 4.5 5.0 2.0 8.5 6.0 13.5 8.0 12.5 7.5 6.5 DRYER 1 2 2 0 3 3 1 1 1 2 3 序号 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 KWH 65 77 75 62 85 43 57 33 65 33 AC 8.0 7.5 8.0 7.5 12.0 6.0 2.5 5.0 7.5 6.0 DRYER 1 2 2 1 1 0 3 0 1 0 14 （商品销售量与价格）某厂生产的一种电器的销售量Y与竞争对手的价格X1和本厂的价格X2有关. 下表是该商品在10个城市的销售记录,试根据这些数据建立Y与X1和X2的关系式,对得到的模型和系数进行检验.若某市本厂产品售价格160(元),竞争对手售价170(元), 预测商品在该市的销售量.

商品销售量Y与价格X1和X2

X1(元) X2(元) Y (元)

120 140 190 130 155 175 125 145 180 150 100 110 90 150 210 150 250 270 300 250 102 100 120 77 46 93 26 69 65 85

26 第一章 MATLAB入门

习题10

1 求解下面的线性规划问题：

?minf??3x1?4x2?2x3?5x4??s.t.4x1?x2?2x3?x4??2? ? x1?x2?3x3?x4?14??2x1?3x2?x3?2x4?2??x1,x2,x3?0,x4无约束?2 求解线性规划问题：

?minf?5x1?4x2?8x3??s.t.x1?2x2?x3?6? ? ?2x1?x2??4?5x1?3x2?15?xj?0,j?1,2,3??3（最佳连续投资方案）某部门在今后五年内考虑给下列项目投资，已知：

项目1从第一年到第四年每年年初需要投资，并于次年末回收本利115%；项目2第三年年初需要投资，到第五年末能回收本利125%，但规定最大投资额不超过4万元；项目3第二年年初需要投资，到第五年末能回收本利140%，但规定最大投资额不超过3万元；项目4五年内每年年初可购买公债，于当年末归还，并加利息6%。该部门现有资金10万元， 问它应如何确定给这些项目每年的投资额，使到第5年末拥有的资金的本利总额为最大？

这是一个与时间有关的连续投资问题，但在此我们对该问题不是按时间去动态的考虑，而是将五年情况总体的静态考虑。

4（合金工厂的生产计划）某合金厂生产甲、乙两种合金，生产每吨甲和乙种合金各需用A、B、C三种元素的量见下表。

元 素 合 金 甲（每吨） 乙（每吨） 需A元素 （公斤） 20 100 需B元素 （公斤） 40 80 需C元素 （公斤） 90 60 工厂每月所能获得的A、B、和C三种元素最大供应量分别为200公斤、200公斤和360公斤。工厂生产每吨甲种合金的利润为30万元，生产每吨乙种合金的利润为40万元。工厂该如何制定生产计划，才能获得最大利润？

5（生产计划制定）某工厂制造甲、乙两种产品，每种产品消耗煤、电、工作日及获利如

第一章 MATLAB入门 27

下表所示，现有煤360吨，电力200千瓦，工作日300个。请制定一个使总利润最大的生产计划。

消耗 产 /吨 品 原 料 甲 乙 煤 （吨） 9 5 电 （千瓦） 4 5 3 10 7000 12000 工作日 单位利润 （元/吨） 6（供煤量分配）某两个煤厂A1 和A2每月进煤量分别为60吨和100吨，联合供应３个居民区B1、B2和B3。３个居民区每月对煤的需求量依次分别为50吨，70吨，40吨。煤厂A1离3个居民区B1、B2和B3的距离分别为10公里，5公里和6公里，煤厂A2离3个居民区B1、B2和B3的距离分别为4公里，8公里和12公里。问如何分配供煤量使得运输量（即吨*公里）达到最小？

7（制定配棉方案）棉纺厂的主要原料是棉花，一般要占总成本的70%左右。所谓配棉问题，就是要根据棉纱的质量指标，采用各种价格不同的棉花，按一定的比例配制成纱，使其既达到质量指标，又使总成本最低。

棉纱的质量指标一般由棉结和品质指标来决定。这两项指标都可用数 量形式来表示。一般来说，棉结粒数越少越好，品质指标越大越好。

一个年纺纱能力为15000锭的小厂在采用最优化方法配棉前，某一种产品32D纯棉纱的棉花配比，质量指标及单价如下表。

有关部门对32D纯棉纱规定的质量指标为棉结不多于70粒，品质指标不小于2900。请给出配棉方案。

原料 品名 国棉131 国棉229 国棉327 平均合计

提示：可考虑使混棉的单价最小。

8 用单纯形法（或调用上面程序Lp_Mlex.m）求解线性规划：

单价 元/t 8400 7500 6700 混合比 % 25 35 40 100 棉结 粒 60 65 80 70 品质指标 3800 3500 2500 3175 混棉单价元/t 2100 2625 2680 7405

28 第一章 MATLAB入门

?minz??x1?2x2?x3?x4?4x5?2x6??s.t.x1?x2?x3?x4?x5?x6?6? 2x1?x2?2x3?x4?4??x3?x4?2x5?x6?4??xj?0,(j?1,2,?,6)?9 求解min((6?x1?x2)2?(2?3x1?3x2?x1x2)2)，初始点

x?(?4,6)'。

x10 设有400万元资金，要求4年内用完，若在一年内使用资金x万元，则可得到效益规划，以使4年效益为最大。

11 计算下列非线性规划，初始点为(1, 1)

万元（效益不能再使用），当年不用的资金可存入银行，年利率为10%。试制订出资金的使用

?min(x1?x2)?s.t.? ?x2?74?x2 1.805?(4?)(1?)?0?xx11?? ? 0.9025? 4?(7?x2)?0?3x1? 1?(4?x2)? 0.9025??0?23x1??? x1?0,x2?0

12 计算下列非线性规划

??x1?2x2?2x3?0?x?2x?2x?72?123 max f(x)?x1x2x3，s.t. ?10?x?202??x1?x2?10?13 某工厂向用户提供一种产品，按合同规定，其交货数量和日期是：第一季末交40吨，第二季末交60吨，第三季末交80吨。工厂的最大生产能力为每季100吨，每季的生产费用是，此处x为该季生产该产品的吨数。若工厂生产的多，多余的该产f(x)?50x?0.2x2（元）

品可移到下季向用户交货，这样，工厂就需支付存储费，每吨该产品每季的存储费为4元。问该厂每季应生产多少吨该产品，才能既满足交货合同，又使工厂所花费的费用最少（假定第一季开始时该产品无存货）。

第一章 MATLAB入门 29

习题 11

1 求解下列整数规划问题：

?maxf?3x1?x2?s.t.3x?2x?312??5x1?4x2?10? ?

2x?x?512??x1,x2?0??x1,x2为整数?2（货车装货方案）现有一节铁路货车，车箱长10米，最大载重量为40吨，可以运载7类货物包装箱。包装箱的厚度和重量不同，但宽和高相同且适合装车，每件包装箱不能拆开装卸，只能装或不装。每件货物的重量、厚度与价值如下表所示：

货 物 1 2 3 4 5 6 7

请给出装货方案，使总的价值最大？

3（生产计划制定）某工厂用甲、乙两种原料生产A、Ｂ、C、Ｄ四种产品，每种产品消耗原料定额如下表所示，现有甲原料１８吨，乙原料３吨。请制定一个使总利润最大的生产计划。

消 耗 产 吨/万件 品 原 料 甲 2 3 10 4 A B C D 厚度 （厘米） 55 58 62.4 49 40.6 53.3 66 重量 （吨/件） 0.5 1.7 3 2.2 3 1 4 价值 （千元） 40 37 58 36 35 45 50 件 数 8 8 6 7 3 4 8

30 第一章 MATLAB入门

乙 单位利润（万元/万件）

— 9 — 8 2 50 0.5 19 4 某机械厂制造A、B和C三种机床，每种机床须用不同数量的两类电气部件：部件1和部件2。设机床A、B和C各用部件1的个数分别为4、6和2，各用部件2的个数分别为4、3和5；在任何一个月内共有22个部件1和25个部件2可用；生产A、B和C三种机床每台的利润分别为5万元、6万元和4万元。问A、B和C三种机床每月各生产几台，才能使厂部取得最大得润。

5 （投资场所选定）某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。拟议中有7个位置点Ai

（i=1,2,….,7）可供选择。规定：在东区，由三个点A1、A2、A3中至多选两个；在西区，由两个点A4、A5中至少选一个；在南区，由两个点A6、A7中至少选一个。投资总额不能超过700万元。设备投资费与每年可获利润见下表。问应选择哪几个点可使年利润为最大？

地 费用 点 与获利 设备投资费（万元） 年终或利润（万元）

6 求解0-1规划：

13 21 18 25 21 27 29 37 11 19 28 33 19 25 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 ?minf?4x1?3x2?2x3??s.t.2x1?5x2?3x3?4? ?4x1?x2?3x3?3

?x2?x3?1??x1,x2,x3为0或1?

7 求解0-1规划：

?maxf??2x1?5x2?3x3?4x4??s.t.?4x1?x2?x3?x4?0? ??2x1?4x2?2x3?4x4?4

?x1?x2?x3?x4?1??x1,x2,x3为0或1?

第一章 MATLAB入门 31