北京师大附中2017-2018学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文）
说明：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.请将答案填写在答题纸上，考试结束后，请监考人员只将答题纸收回.
一、选择题（每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的—项，请将答案填在答题纸上）
1.已知命题：p:?n??，2n?n，则?p是（ ） A. ?n??，2n?n B. ?n??，2n?n C. ?n??，2n?n D. ?n??，2n?n
2.关于直线a，b以及平面M，N下列命题中正确的是（ ） A.若a∥M，b∥M，则a∥b B.若a∥M，b⊥a，则b⊥M C.若b?M，且a⊥b，则a⊥M D.若a⊥M，a∥N，则M⊥N 3.如果命题“p或q”是真命题，“非p”是假命题，那么（ ） A.命题p一定是假命题 B.命题q一定是假命题 C.命题q一定是真命题 D.命题q是真命题或者是假命题
4.已知直线l1:ax+(a+1)y+1=0，l2:x+ay+2=0，则“a=-2”是“l1⊥l2”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.设函数f(x)=xsinx的导函数为f'(x)，则f'(x)等于（ ） A.sinx+xcosx B.xsinx+xcosx C.xcosx-xsinx D.sinx-xcosx
x2y2x2y256.已知双曲线C:2?2?1(a>0,b>0)的一条渐近线方程为y??1有公共x，且与椭圆?2ab123焦点，则C的方程为（ ）
x2y2A. ??1 B.
810x2y2C. ??1 D.
54x2y2??1 45x2y2??1 437.已知点A(6,0)，抛物线C:y2=4x的焦点为F，点P在抛物线C上，若点F恰好在PA的垂直平分线上，则PA的长度为（ ）
A. 23 B. 25 C.5 D.6
8.已知点A(-1,1).若曲线G上存在两点B，C，使△ABC为正三角形，则称G为Γ型曲线.给定下列四条曲线：
①y=-x+3(0≤x≤3)； ②y?2?x2?2剟x?0；
?③y??x?0剟x1?； ④y?9?92x?0剟x42?；
其中，Γ型曲线的个数是（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上） 9.函数f(x)=ex-x-1的零点个数是________.
10.若点P(2,2)为抛物线y2=2px上一点，则抛物线焦点坐标为________；点P到抛物线的准线的距离为________.
11.若函数f(x)=alnx-x在区间(0,2)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
x2y212.已知点F，B分别为双曲线C:2?2?1(a>0,b>0)的焦点和虚轴端点，若线段FB的中点在双
ab曲线C上，则双曲线C的离心率是________.
13.如图，在三棱锥A-BCD中，BC?DC?AB?AD?2，BD=2，平面ABD⊥平面BCD，O为BD中点，点P，Q分别为线段AO，BC上的动点（不含端点），且AP=CQ，则三棱锥P-QCO体积的最大值为________.
14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-ax+a，其中a∈R. ①f(-1)=________；
②若f(x)的值域是R，则a的取值范围是________.
三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步驟）
115.（本小题13分）已知函数f(x)?x3?4x?4.
3（Ⅰ）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）求函数在区间[-3,4]上的最大值和最小值.
116.（本小题13分）已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x??，O为坐标原点.
2（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）若过点A(2,0)的直线l与抛物线相交于B，C两点，求证：∠BOC=90°.
17.（本小题14分）在Rt△ABF中，AB=2BF=4，C，E分别是AB，AF的中点（如图1）.将此三角形沿CE对折，使平面AEC⊥平面BCEF（如图2），已知D是AB的中点.
（Ⅰ）求证：CD∥平面AEF； （Ⅱ）求：三棱锥C-EBD的体积.
18.（本小题13分）已知函数f(x)?a?lnx?1，a∈R. x（Ⅰ）若曲线y=f(x)在点P(1,y0)处的切线平行于直线y=-x+1，求函数y=f(x)的单调区间； （Ⅱ）若a>0，且对x∈(0,2e]时，f(x)>0恒成立，求实数a的取值范围.
x2y2119.（本小题14分）已知椭圆C:2?2?1(a>b>0)的右顶点为A(2,0)，离心率为.
ab2（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若经过点(1,0)直线l与椭圆C交于点E、F，且EF?16，求直线l的方程； 5（Ⅲ）过定点M(0,2)的直线l1与椭圆C交于G，H两点（点G在点M，H之间）.设直线l1的斜率k>0，在x轴上是否存在点P(m,0)，使得以PG，PH为邻边的平行四边形是菱形.如果存在，求出m的取值范围，如果不存在，请说明理由； 20.（本小题13分）已知函数f(x)=(x2-x)lnx. （Ⅰ）求证：1是函数f(x)的极值点：
（Ⅱ）设g(x)是函数f(x)的导函数，求证：g(x)>-1.
参考答案
―、选择题（每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项，请将答案填在答题纸上）
1 C 2 D 3 D 4 A 5 A 6 B 7 B 8 B 二、填空题（每小题5分，共30分，请将答案填在答题纸上）
?1?59.1； 10?,0?，； 11.a≥2
?2?212.
5； 13.
2； 14（l）-1（2）(-∞,0]∪[4,+∞)； 48三、解答题（共80分，请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.解（1）增区间：(-∞,-2)和(-2,2)，减区间：(2,+∞). 极大值：f(?2)?284； 极小值：f(2)?? 33284， 最小值：f(2)?? 33（2）最大值：f(?2)?f(4)?16.（Ⅰ）y2=2x；（Ⅱ）∠BOC=90° 117.（Ⅰ）略；（Ⅱ）
318.（1）直线y=-x+1的斜率k=-1，函数y=f(x)的导数为f?(x)??f′(1)=-a+1=-1，即a=2. ∴f(x)?221x?2?lnx?1，f?(x)??2??2. xxxxa1?， x2x∵f(x)的定义域为(0,+∞).由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得0
g(x)=x(1-lnx)=x-xlnx，x∈(0,2e]. g'(x)=l-lnx-1=-lnx， 当0 所以当x=l时，函数g(x)在x∈(0,2e]上取到最大值. ∴g(x)≤g(l)=1-ln1=1，∴a的取值范围是(1,+∞). a?lnx?1?0对x∈(0,2e]恒成立. x