（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）若不等式f（log2k）＞f（2）成立，求实数k的取值范围；

（Ⅲ）定义在[p，q]上的函数φ（x），设p=x0＜x1＜…＜xi﹣1＜xi＜…＜xn﹣1=q，x1，x2，…，xn﹣1将区间[p，q]任意划分成n个小区间，如果存在一个常数M＞0，使得和式

恒成立，则称函数φ（x）为在[p，q]上的有

界变差函数．试判断函数在[0，4]上f（x）是否为有界变差函数？若是，求M的最小值；若不是，请说明理由． （

表示f（x1）+f（x2）+…+f（xn））

【解答】解：（Ⅰ）∵函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b，a＞0，

∴对称轴为x=1，开口向上，则g（x）在区间[2，4]上是增函数， 又∵函数g（x）故在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1， ∴解得

，即；

（Ⅱ）由已知可得f（x）=g（|x|）=x2﹣2|x|+1为偶函数，

画出函数图象，结合函数图象可知不等式f（log2k）＞f（2）可化为|log2k|＞2， 解得k＞4或0＜k＜；

（Ⅲ）函数f（x）为[0，4]上的有界变差函数．

∵函数f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，4]上的单调递增函数， 且对任意划分T：0=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=1，

有1=f（0）=f（xl）＞f（x1）＞…＞f（xi）＞…＞f（xn）=f（1）=0 ∴

﹣1

=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（xn）﹣f（xn

）

=f（x0）﹣f（xn）=f（0）﹣f（1）=1恒成立，① 且对任意划分T：1=x0＜x1＜…＜xi＜…＜xn=4，

有0=f（1）=f（xl）＜f（x1）＜…＜f（xi）＜…＜f（xn）=f（4）=9， ∴

=f（x1）﹣f（x0）+f（x2）﹣f（x1）+…+f（xn）﹣f（xn

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﹣1

）

=f（xn）﹣f（x0）=f（4）﹣f（1）=9恒成立，② ∴由①②可得

=10≤M，

∴存在常数M，使得恒成立，M的最小值为10．

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