三.解答
19．（12分）如图，△ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，DC⊥平面ABC，AB=2，已知AE与平面ABC所成的角为θ，且（1）求证：平面ACD⊥平面ADE
（2）记AC=x，V（x）表示三棱锥A﹣CBE的体积，求V（x）的表达式及最大值．
；
【解答】证明：（1）证明：∵四边形DCBE为平行四边形， ∴CD∥BE，BC∥DE，
∵CD⊥平面ABC，AB=2，AE与平面ABC所成的角为θ，且BC?平面ABC，∴DC⊥BC，
∵AB为圆O的直径，∴BC⊥AC，且DC∩AC=C， ∴BC⊥平面ACD，
∵DE∥BC，∴DE⊥平面ACD，
又DE?平面ADE，∴平面ACD⊥平面ADE． 解：（2）∵DC⊥平面ABC，CD∥BE， ∴BE⊥平面ABC，
在Rt△ABE中，由tan∠EAB=在Rt△ABC中，∵BC=S△ABC=AC?BC=
，
≤
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，
==
，AB=2，得BE=
（0＜x＜2），
，
∴V（x）=VA﹣CBE=S△ABC?BE=
=，
当且仅当x2=4﹣x2，即x=即当AC=∴
∈（0，2）时，“=”成立．
．
．
时，V（x）取得最大值
（0＜x＜2），
20．（12分）某工厂在2016年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员一年可以到原单位领取工资的100%，从第二年初，以后每年只能在原单位按上一年的领取工资，该厂根据分流人员的技术特长，计划创办新的经济实体，该经济实体预计第一年属投资阶段，第二年每人可获得b元收入，从第三年起每人每年的收入可在上一年的基础上递增50%，如果某人分流后工资的收入每年a元，分流后进入新经济实体，第n年的收入为an元； （1）求{an}的通项公式； （2）当的年收入？
【解答】解：（1）由题意可得：n=1时，a1=a．n≥2时，an=a×因此an=（2）a×2因此当入．
21．（12分）已知椭圆C的两个焦点分别为F1（﹣1，0）、F2（1，0），短轴的两个端点分别为B1，B2
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时，是否一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前
+．
．
时，n≥2时，an=a×
=a，
时，一定可以保证这个人分流一年后的收入永远超过分流前的年收
+
≥a×
+
≥
（1）若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；
（2）若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且
，求直线l的方程．
【解答】解：（1）设椭圆C的方程为
．
根据题意知故椭圆C的方程为
，解得
．
，
（2）由2b=2，得b=1，所以a2=b2+c2=2，得椭圆C的方程为当直线l的斜率不存在时，其方程为x=1，不符合题意； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k（x﹣1）． 由
，得（2k2+1）x2﹣4k2x+2（k2﹣1）=0．
．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），则
，
因为，所以，即
==
=，解得，即k=
或
．
．
故直线l的方程为
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22．（12分）已知函数f（x）=10sincos+10cos2．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期； （Ⅱ）将函数f（x）的图象向右平移
个单位长度，再向下平移a（a＞0）个单
位长度后得到函数g（x）的图象，且函数g（x）的 最大值为2． （i）求函数g（x）的解析式；
（ii）证明：存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0． 【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=10）+5，
∴所求函数f（x）的最小正周期T=2π； （Ⅱ）（i）将函数（fx）的图象向右平移
个单位长度后得到y=10sinx+5的图象，
sincos+10cos2=5
sinx+5cosx+5=10sin（x+
再向下平移a（a＞0）个单位长度后得到函数g（x）=10sinx+5﹣a的图象， ∵函数g（x）的最大值为2，∴10+5﹣a=2，解得a=13， ∴函数g（x）=10sinx﹣8．
（ii）要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0，
就是要证明存在无穷多个互不相同的正整数x0 ，使得10sinx0 ﹣8＞0，即sinx0
， 由＜
知，存在0＜α0＜
，使得sinα0=，
，
由正弦函数的性质可知，当x∈（α0，π﹣α0）时，均有sinx因为y=sinx的周期为2π，所以当x∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0）， （k∈Z）时，均有sinx
．
因为对任意的整数k，（2kπ+π﹣α0）﹣（2kπ+α0）=π﹣2α0＞＞1，
，
所以对任意的正整数k，都存在正整数xk∈（2kπ+α0，2kπ+π﹣α0），使得sinxk即存在无穷多个互不相同的正整数x0，使得g（x0）＞0．
23．（12分）已知函数g（x）=ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[2，4]上的最大值为9，最小值为1，记f（x）=g（|x|）．
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