探究数与式的规律
1. 观察算式，探究规律：
32
当n=1时，S1=1=1=1； 332
当n=2时，S2＝1+2＝9＝3； 3332
当n=3时，S3＝1+2+3＝36＝6； 33332
当n=4时，S4＝1+2+3+4＝100＝10；
…
那么Sn与n的关系为（ ）
A. 4n4+2n3 B. 4n4+2n2 C. 4n2（n+1）2 D. 2n（n+1）2 2. 观察下列各式： 1+ 1+ 1+
11
1
=1+1﹣2=12 2+22
2+
111111
111
12
13
=1+2﹣3=16 2
=1+3﹣4=112 2
1
1
1
111
13
2+
14
请你根据上面三个等式提供的信息，猜想： （1） 1+
142+52=________ 1
（2）请你按照上面每个等式反映的规律，写出用n（n为正整数）表示的等式：________ （3）利用上述规律计算：
50
+64（仿照上式写出过程） 49
1
3. 请阅读下列材料： ∵ … ∴ = = =
；
；
；
解答下列问题： （1）在和式
中，第5项为________，第n项为
，上述求和的想法是：将
和式中的各分数转化为两个数之差，使得首末两项外的中间各项可以________，从而达到求和目的． （2）利用上述结论计算：
4. 观察下列算式： ①1×5+4=32 ， ②2×6+4=42 ， ③3×7+4=52 ， ④4×8+4=62 ， …
请你观察规律解决下列问题。
2
（1）填空：________ ×________+4=2015 ．
（2）写出第n个式子（用含n的式子表示），并证明．
5. 观察下列各个等式的规律： 第一个等式：
22?12?1
2
=1，第二个等式：
32?22?1
2
=2，第三个等式：
42?32?1
2
=3…
请用上述等式反映出的规律解决下列问题： （1）直接写出第四个等式；
（2）猜想第n个等式（用n的代数式表示），并证明你猜想的等式是正确的．
6. 观察下列等式： 第一个等式： ??1=1+3×2+2×22=2+1?22+1 第二个等式： ??2=1+3×22+2×(22)2=22+1?23+1 第三个等式： ??3=1+3×23+2×(23)2=23+1?24+1 第四个等式： ??4=1+3×24+2×(24)2=24+1?25+1 按上述规律，回答下列问题：
（1）请写出第六个等式：a6=________=________；
（2）用含n的代数式表示第n个等式：an=________=________； （3）a1+a2+a3+a4+a5+a6=________（得出最简结果）； （4）计算：a1+a2+…+an ．
24
1
1
23
1
1
22
1
12
1
1
7.认真阅读材料，然后回答问题：
我们初中学习了多项式的运算法则，相应的，我们可以计算出多项式的展开式，如：（a+b）=a+b，（a+b）
2
1
=a2+2ab+b2 ， （a+b）3=（a+b）2（a+b）=a3+3a2b+3ab2+b3 ， …
n
下面我们依次对（a+b）展开式的各项系数进一步研究发现，当n取正整数时可以单独列成表中的形式：
上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”；仔细观察“杨辉三角形”，用你发现的规律回答下列问题： （1）多项式（a+b）的展开式是一个几次几项式？并预测第三项的系数； （2）请你预测一下多项式（a+b）展开式的各项系数之和．
（3）结合上述材料，推断出多项式（a+b）（n取正整数）的展开式的各项系数之和为S，（结果用含字母n的代数式表示）．
8. 观察下列等式：
第1个等式： a1=1×4=3×(1?4) ； 第2个等式： a2=4×7=3×(4?7) ； 第3个等式： a3=7×10=3×(7?10) ； 第4个等式： a4=10×13=3×(10?13) ； …
请解答下列问题：
（1）按以上规律列出第6个等式： a6=________=________.
（2）用含有 n 的代数式表示第 n 个等式： an=________=________.( ?? 为正整数)； （3）求 a1+a2+a3+...+a100 的值.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
11
1
1
1
n
n
n