2019中考数学狙击重难点系列专题4 - -规律探究之探究数与式的规律(含答案) 下载本文

探究数与式的规律

1. 观察算式,探究规律:

32

当n=1时,S1=1=1=1; 332

当n=2时,S2=1+2=9=3; 3332

当n=3时,S3=1+2+3=36=6; 33332

当n=4时,S4=1+2+3+4=100=10;

那么Sn与n的关系为( )

A. 4n4+2n3 B. 4n4+2n2 C. 4n2(n+1)2 D. 2n(n+1)2 2. 观察下列各式: 1+ 1+ 1+

11

1

=1+1﹣2=12 2+22

2+

111111

111

12

13

=1+2﹣3=16 2

=1+3﹣4=112 2

1

1

1

111

13

2+

14

请你根据上面三个等式提供的信息,猜想: (1) 1+

142+52=________ 1

(2)请你按照上面每个等式反映的规律,写出用n(n为正整数)表示的等式:________ (3)利用上述规律计算:

50

+64(仿照上式写出过程) 49

1

3. 请阅读下列材料: ∵ … ∴ = = =

解答下列问题: (1)在和式

中,第5项为________,第n项为

,上述求和的想法是:将

和式中的各分数转化为两个数之差,使得首末两项外的中间各项可以________,从而达到求和目的. (2)利用上述结论计算:

4. 观察下列算式: ①1×5+4=32 , ②2×6+4=42 , ③3×7+4=52 , ④4×8+4=62 , …

请你观察规律解决下列问题。

2

(1)填空:________ ×________+4=2015 .

(2)写出第n个式子(用含n的式子表示),并证明.

5. 观察下列各个等式的规律: 第一个等式:

22?12?1

2

=1,第二个等式:

32?22?1

2

=2,第三个等式:

42?32?1

2

=3…

请用上述等式反映出的规律解决下列问题: (1)直接写出第四个等式;

(2)猜想第n个等式(用n的代数式表示),并证明你猜想的等式是正确的.

6. 观察下列等式: 第一个等式: ??1=1+3×2+2×22=2+1?22+1 第二个等式: ??2=1+3×22+2×(22)2=22+1?23+1 第三个等式: ??3=1+3×23+2×(23)2=23+1?24+1 第四个等式: ??4=1+3×24+2×(24)2=24+1?25+1 按上述规律,回答下列问题:

(1)请写出第六个等式:a6=________=________;

(2)用含n的代数式表示第n个等式:an=________=________; (3)a1+a2+a3+a4+a5+a6=________(得出最简结果); (4)计算:a1+a2+…+an .

24

1

1

23

1

1

22

1

12

1

1

7.认真阅读材料,然后回答问题:

我们初中学习了多项式的运算法则,相应的,我们可以计算出多项式的展开式,如:(a+b)=a+b,(a+b)

2

1

=a2+2ab+b2 , (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 , …

n

下面我们依次对(a+b)展开式的各项系数进一步研究发现,当n取正整数时可以单独列成表中的形式:

上面的多项式展开系数表称为“杨辉三角形”;仔细观察“杨辉三角形”,用你发现的规律回答下列问题: (1)多项式(a+b)的展开式是一个几次几项式?并预测第三项的系数; (2)请你预测一下多项式(a+b)展开式的各项系数之和.

(3)结合上述材料,推断出多项式(a+b)(n取正整数)的展开式的各项系数之和为S,(结果用含字母n的代数式表示).

8. 观察下列等式:

第1个等式: a1=1×4=3×(1?4) ; 第2个等式: a2=4×7=3×(4?7) ; 第3个等式: a3=7×10=3×(7?10) ; 第4个等式: a4=10×13=3×(10?13) ; …

请解答下列问题:

(1)按以上规律列出第6个等式: a6=________=________.

(2)用含有 n 的代数式表示第 n 个等式: an=________=________.( ?? 为正整数); (3)求 a1+a2+a3+...+a100 的值.

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

11

1

1

1

n

n

n