《数学建模》期末作业题 20014-6-12

有三节铁路货车车厢，其最大允许载重均为100 公担（1 公担=100 千克），将使用这三节车厢运输16 个箱子。下表中列出了这些箱子的重量，单位为公担。应如何将箱子分配到各个货车上，才能使每节货车实际载重均不超过最大允许载重，且使装载量最大的车厢的装载量最小？

表格9.1：箱子属性 箱子 1 2 3 4 5 6 7 8 重量 34 6 8 17 16 5 13 21 箱子 9 10 11 12 13 14 15 16 重量 25 31 14 13 33 9 25 25 在建立数学规划模型之前，你可能希望了解是否可以使用这样的启发式方法对问题进行求解：在所有箱子都装到车上之前，我们选择最重的尚未装车的箱子，并将它放到实际载重最轻的货车上。

45、储存罐注入

5 艘油船抵达了一个化工厂。这些油船中装有液体载荷，这些液体不允许混合： 1200 吨苯，700 立方米丁醇，1000 立方米丙醇，450 立方米苯乙烯，1200 立方米四氢呋喃（THF）。在此化工厂里有九个不同大小的存储罐。有一些存储罐已经装有一些液体。下表列出了每储存罐的属性（单位为吨）。应将这些船中装载的液体分别装载到哪个储存罐中才能使未使用的储存罐容量最大（问题1），或怎样才能使保留未用的储存罐数目最多？

表格9.6：储存罐属性 罐子编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 容量 500 400 400 600 600 900 800 800 800 当前内容 - 苯 - - - - THF - - 体积 0 100 0 0 0 0 300 0 0 46、汽车租赁

有一家小型汽车租赁公司，此公司有94 辆可供出租的汽车，分布于10 个代理点中。每个代理点的位置都将以地理坐标X 和Y 的形式给出，单位为千米。我们假定两个代理点之间的距离约为它们之间欧氏距离（即最短距离）的1.3 倍。下表给出了各个代理点的位置坐标，以及第二天早晨汽车租赁的需求量和前一天晚上各个代理点拥有的汽车数。

表格 10.1：车辆租赁代理点信息 代理点 1 2 3 4 5 6 7 8 9 19 X坐标 0 20 18 30 35 33 5 5 11 2 Y坐标 0 20 10 12 0 25 27 10 0 15 汽车需求量 10 6 8 11 9 7 15 7 9 12 当前拥有量 8 13 4 8 12 2 14 11 15 7 假定汽车转运的成本为每辆车每千米0.50 欧元，请找出如何在各个代理点之间调度分配汽车才能够满足各处的需求，并且使转运成本最低。

47、选择运输方式

在法国西南部有一家公司，这家公司需要将180 吨存放于仓库D1 到D4 中的化学产品运输到3 个回收中心C1，C2 和C3。仓库D1 到D4 分别储存有50，

23

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

40，35，和65 吨化学产品，总计为190 吨。可以选用两种运输方式：公路运输和铁路运输。仓库D1 只能通过公路向回收中心C1 和C2 进行运输，运费分别为12 欧元/吨和14欧元/吨。仓库D2 只能向回收中心C2 运输，可以选择通过铁路或公路，运费分别为12 欧元/吨和14 欧元/吨。仓库D3 可以通过公路向回收中心C2 运输（9 欧元/吨），或通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费分别为4 欧元/吨和5 欧元/吨。仓库D4可以通过铁路或公路向回收中心C2 运输，运费分别为11 欧元/吨和14 欧元/吨，或者通过铁路或公路向回收中心C3 运输，运费分别为10 欧元/吨和14 欧元/吨。

此公司与铁路公司签订的化学物品运输合同规定，每次运输量至少应为10 吨，最多为50 吨。除了标准的安全规章之外，对公路运输不存在其他特殊的限制。那么此公司应如何运输这180 吨化学物品才能够使总运费最低？

48、仓库位置选取

有一家大公司希望开设一些新的仓库，以向销售中心供货。每开设一个新仓库都有一些固定费用。货物将从仓库运输到附近的销售中心。每次运输的运费取决于运输的距离。这两种类型的费用非常不同：仓库开设费用属于投资支出，通常在若干年后将勾销，而运输费用属于运营成本。如何结合这两种费用不属于本书的讨论范围，我们假定这两种费用可比，为此可能需要以年为单位计算运营费用。

有12 个可以建造新仓库的位置，并且需要从这些仓库向12 个销售中心供货。

下表10.3 给出了每个仓库完全满足每个客户（销售中心）需求所需的总成本（千欧元，不是单位成本）。因此，例如从仓库1 向客户9（根据表10.5 可以看到此客户总需求量为30 吨）供货的单位成本为60000 欧元/30 吨，即2000 欧元/吨。如果无法进行送货，则对应的成本标记为无穷大∞ 。

表格 10.3：满足客户需求所需的运输成本 客户 仓1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 库 1 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 2 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 3 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 4 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 5 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 6 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 7 100 80 50 50 60 100 120 90 60 70 65 110 8 120 90 60 70 65 110 140 110 80 80 75 130 9 140 110 80 80 75 130 160 125 100 100 80 150 10 160 125 100 100 80 150 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 11 190 150 130 ∞ ∞ ∞ 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 12 200 180 150 ∞ ∞ ∞ 100 80 50 50 60 100 此外，对每个仓库，还有如下信息：仓库建设的固定费用（需要计入目标函数）和仓库的容量上限，这些信息都列于表10.4 中。

24

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

表格 10.4：仓库建设费用和容量限制 仓库 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 建设3500 9000 10000 4000 3000 9000 9000 3000 4000 10000 9000 3500 费用 容量300 250 100 180 275 300 200 220 270 250 230 180 上限 表10.5 列出了各个销售中心（客户）的需求量。 表格 10.5：客户需求量数据 客户 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 需求量 120 80 75 100 110 100 90 60 30 150 95 120 任何时候都要保证满足客户需求，可以从多个仓库向同一个客户送货。应在哪些位置开办仓库才能使总的建设成本以及运输成本最低，同时仍然能够满足所有客户需求？

49、燃油运输

有一个运输商需要将一些燃油从位于S处的炼油厂运输到他的一些客户那里。这些客户分别位于A1，A2，A3，A4，A5，和A6。下表列出了每个地方的需求量升数。

表格 10.7：客户需求量（升） A1 A2 A3 A4 A5 A6 14000 3000 6000 16000 15000 5000 下面这个表中列出了炼油厂与客户之间的距离。 表格 10.8：距离矩阵（千米） S A1 A2 A3 A4 A5 A6 S 0 148 55 32 70 140 73 A1 148 0 93 180 99 12 72 A2 55 93 0 85 20 83 28 A3 32 180 85 0 100 174 99 A4e 70 99 20 100 0 85 49 A5 140 12 83 174 85 0 73 A6 73 72 28 99 49 73 0 此运输公司使用容量为39000 升的油罐车进行运输。请选择运输路线，使向所有客户运输的总里程数最少。

50、组合使用不同运输方式

有20 吨货物需要沿着一条路径运输到五个城市，可以选择三种不同的运输方式：铁路，公路，和航空运输。在三个位于路途中间的城市里可以更改运输方式，但是在相邻的两个城市之间只能采取一种运输方式。表10.9 列出了在每一对城市之间运输1 吨货物的成本。

表格 10.9：不通运输方式的成本 城市 1-2 2-3 3-4 4-5 铁路 30 25 40 60 公路 25 40 45 50

25

《数学建模》期末作业题 20014-6-12

航空 40 20 50 45 下面的表（10.10）列出了在更换运输方式时每吨货物需要的额外支出。此支出与地点无关。 表格 10.10：更换运输工具费用

从...转换为... 铁路 公路 铁路 0 5 公路 8 0 航空 15 10 应选择怎样的运输方案才能使总成本最小？

航空 12 10 0 51、货车车队规划

有一个连锁商店从不同的汽车租赁商那里租赁货车，从而组成一支车队。此公司预测未来六个月内的货车的需求如下（表10.12）：

表格 10.12：六个月内的货车需求量 一月 二月 三月 四月 五月 六月 430 410 440 390 425 450 在一月，此连锁店有200 辆货车，这些货车的租借期将在二月底结束。 为满足需求，此连锁店可以选择三种类型的租赁合同，每个合同都将在每个月1日生效，这些合同为：三个月的租赁合同，每辆车租金总计1700 元；4 个月的租赁合同，每辆车租金总计2200 元；以及5 个月的租赁合同，每辆车租金总计2600 元。

此公司每个月应签订每种类型的合同各多少份才能够满足业务需要，并使总支出最小，且在六月结束时所有车辆租赁期都结束？

图10.4：第5 个月（五月）内仍然在租赁期的车辆

52机组编成

在第二次世界大展中，英国皇家空军（RAS）中有很多说不同语言的飞行员，飞行员所学习驾驶的飞机也不尽相同。皇家空军希望为每架飞机安排一对飞行员-副飞行员（一个机组），他们必须语言相通，并且都熟悉此机型。在我们这个例子中有8 名飞行员。下面的表中用0（最差）到20（最好）表示每名飞行员对各种语言（英语，法语，荷兰语，挪威语）的掌握程度，以及对不同类型的双座飞机（侦察机，运输机，轰炸机，战斗轰炸机，补给运输机）的驾驶经验。

表格 11.3：飞行员各项评分

26