《数学建模》期末作业题 20014-6-12

方法求出。另外，两种奶酪的需求，随它们价格的相对变化，在某种程度上可以相互替代。表现这一规律要用需求关于价格的交叉伸缩性概念。从产品A到B的交叉伸缩性E12定义作 E12?A需求提高百分数

B价格提高百分数奶酪1到奶酪2的E12值和奶酪2到奶酪1的E21值，同样可以凭数据用统计方法求出。

已经求出牛奶、奶油、奶酪1和奶酪2的E值依次为0.4，2.7，1.1和0.4，以及E12=0.1，E21=0.4。

试求4种产品的价格，使所导致的需求使销售总收入为最大。 然而，政策不允许某种价格指标上升。这使得新的价格必须使消费的总费用较上一年度不增加。因此，对问题的一个特别重要的附加要求，是对这一政策限制的经济代价，给出数量表示。

13、采矿问题

某地区有4个矿区，产同一种矿石。某采矿公司获得了这些矿在未来连续5年中的开采权。但在每年度中，该公司最多有能力开3个矿，而有一矿闲置。对于闲置的矿，如果这5年期内随后的某年还要开采，则不能关闭；如果从闲置起在这5年内不再开采，就关闭。对开采和保持不关闭的矿，公司应交付土地使用费。各矿每年土地使用额见表1第2行。各矿每年矿砂产量上限如表1第3行。不同矿所产矿砂质量不同。矿砂质量同一质量指数表示，见表1第4行。将不同矿的矿砂混合所成的矿砂，其质量指数为各组份的线性组合，组合系数为各组份在混成矿砂中所占的重量百分数。例如，等量的二矿砂混合，混成矿砂的质量指数为二组份指数的平均值。每年公司将各矿全年产出的矿砂混合，要生成具有约定质量指数的矿砂。不同年度的约定质量指数如表2所示。各年度成品矿砂售价每吨10元。年度总收入和费用开支，为扣除物价上涨价因素，以逐年9折计入5年总收入和费用中。 表1 矿 1 2 3 4 土地使用费（万元） 500 400 400 500 产量上限（万吨） 200 250 130 300 质量指数 1.0 0.7 1.5 0.5 表2 年度 1 2 3 4 5 质量指标 0.9 0.8 1.2 0.6 1.0 试问各年度应开采哪几个矿？产量应各为多少？

14、电价问题

几个发电站负责满足下述电力负荷要求。在一天中

0点至6点 15000（MW，兆瓦） 6点至9点 30000（MW，兆瓦） 9点至15点 25000（MW，兆瓦） 15点至18点 40000（MW，兆瓦）

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《数学建模》期末作业题 20014-6-12

18点至24点 27000（MW，兆瓦）

有三种类型的发电机可投入运输。1型12台，2型10台，3型5台， 表一给出了有关的数据。 最低水平每最高水平以上每开动费类型 最低水平 最高水平 小时费用 兆瓦每小时费用 用 1 850 MW 2000 MW 1000 2 2000 2 1250 MW 1750 MW 2600 1.30 1000 3 1500 MW 4000 MW 2000 3 500 表中第2，3列分别给出各类发电机运转的最低水平和最高水平。各发电机运转的水平不能超出这一范围。第4列给出在最低水平运转的每小时费用。第5列为在高于最低水平运转时，每超出一兆瓦，每小时的费用。另外，每开动一发电机也需要费用，这给出在第6列。

在满足估计的负载要求之外，在每开动一发电机应足够多，使得当负载增加不超过15%时，能够通调高运转着的发电机的输出（在最高水平界定的范围内）满足增载的要求。

试求在一天中的各段时间应使那些发电机运转，使总费用最低？

在一天中的每段时间，电力生产的边际费用各为多少？也就是说应当为电定什么价？

将后备输出保证的指标15%加以降低，费用节省情况如何？也就是说这一供电保险性的费用如何？

15、人力计划问题

某公司正经历一系列的变化，这要影响到它在未来几年的人力需求。由于装备了新机器，对不熟练工人的需求相对减少，对熟练和不熟练工人的需求相对增加；同时，预期下一年度的贸易量将下降，从而减少对各类岗位人力的需求。据估计，当前及以后三年需要的人员数如表1：

表1人数需求（单位：人） 分类 现有人数 第一年需求 第二年需求 第三年需求 不熟练 2000 1000 500 0 半熟练 1500 1400 2000 2500 熟练 1000 1000 1500 2000 为了满足以上人力需要，该公司考虑为未来三年确定1、招工；2、再培训；3、解雇和超员雇佣。；4、设半日工的计划方案。

因工人自动离职和其它原因，存在自然减员问题，在招工中，受雇后不满一年就自动离职的人数特别多；工作一年以上再离职的人数就很少了。考虑到这一点，设自然减员率如表2：

表2 离职的人数比例 分类 不熟练 半熟练 熟练 工作不到一年 25% 20% 10% 工作一年以上 10% 5% 5% 10

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当前没有招工，并且现有的工人都已工作一年以上。

1． 招工 假定每年可以招工的人数有一定的限制，如表3所示：

表3 每年招工人数上限（单位：人） 不熟练 半熟练 熟练 500 800 500 2． 再培训 每年可以将200个不熟练工人培训成半熟练工人，每人每年的培训费是400元。每年将半熟练工人培训成熟练工人的人数不得超过年当时熟练工人的四分之一，培训半熟练工人成为熟练工人的费用是500元。

把工人降等级使用（即让熟练工去做半熟练工或不熟练工的工作等），虽然这样公司不需要支付额外的费用，但被降等使用的工人中有50%会放弃工作而离职（以上所说的自然离职不包括这种情况）。

3． 解雇 解雇一名的不熟练工人要付给他200元，而解雇一个半熟练或熟练 工人要付给他500元。

4． 超员雇佣 该公司总共可以额外雇用150人，对于每个额外雇用的人员，公司要付给他额外的费用如表4：

表4额外招工的费用（单位：元/年）

不熟练 半熟练 熟练 1500 2000 3000 表5 半日工的费用（单位：元/年）

不熟练 半熟练 熟练 500 400 400 11

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5． 半日工 不熟练、半熟练或熟练工人可以各有不超过50名作为半日工，完成半个人的生产任务。每个工人的费用如表：

问题1：如果公司的目标是尽量减少解雇人员。为此，应如何运转？

问题2：如果公司的目标是尽量减少费用，能节省多少费用？导出每年每类岗位所节省的费用。

16、露天采矿

某公司获准在一块200m?200m的方形的土地上露天采矿。因为土石滑坡，控坑的坑边坡度不能陡于45o。公司已得到不同位置不同深度处的矿砂所含纯金属的百分数的估计值。考虑到坡度角对挖坑工作所加的限制，公司决定将问题作为长方形块的挖取问题处理。每个长方形块水平尺寸为50m?50m，铅直尺寸为25m。若在一个深度层挖了四块，则在下一层还可以挖一块；若俯视这5块的水平位置关系，将是如图1所示的情形（实线为上一层块，虚线为下一层块）。

这样一来，所能挖取的块数，第一层最多为16块，第二层最多为9块，第三层最多为4块，第四层最多为1块。不能再往深挖取。

所有这些可挖取的块，按已得的估计值，将各块含金属的百分数作为块的值，则各块的值如下： 第一层（地表层） 1.5 1.5 1.5 0.75 1.5 2.0 1.5 0.75 1.0 1.0 0.75 0.5 0.75 0.75 0.5 0.25 第二层（深25m处） 4.0 4.0 2.0 3.0 3.0 1.0 2.0 2.0 0.5 第三层（深50m处） 12.0 6.0 5.0 4.0 第四层（深75m处） 6.0 挖取费用随深度增加。各层的块挖取费用为： 层 一 二 三 四 块费用 3000 6000 8000 10000 挖取一块的收入同该块矿砂的值成正比；从一个值为100的块的收入为200000。

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