留数在积分计算中的应用

学生姓名：杨瑛 指导老师：籍慧洁

一、引言

积分计算不仅是高等数学的重要内容，也是其他学科在处理实际问题时需要解决的重要问题。对于一些简单的实积分可以用牛顿—莱布尼兹公式计算，但对于一些复杂的实积分牛顿—莱布尼兹公式并不适用。这时就需要新的方法来解决复杂实积分问题，而复变函数为我们提供了一个重要的理论来解决这一问题，即留数定理。

留数及留数相关理论在复变函数中占有重要地位，它在积分计算、辐角原理、拉普拉斯变换等问题中起到重要作用。留数在积分计算中的基本思路：首先，选择一个恰当的辅助函数和一条相应的积分路径，将实积分的计算转化为沿闭合回路曲线复积分的计算；接着，将问题转化为求闭合回路曲线内部每个孤立奇点的留数值；最后，利用柯西留数定理得到所求积分的解。本文主要对留数及其相关定理进行了系统的归纳和总结，旨在进一步认识到这一重要理论在积分计算中的应用。

二、留数的定义及相关定理

（一）定义

定义1 设a是函数f(z)的有限孤立奇点，即函数f(z)在点a的某去心领域

0?|z?a|?R内解析，则称f(z)在点a处的留数为积分

1f?z?dz??:z?a??,0???R?， 2?i??记为Resf?z?.

z?a 定义2 设?为函数f(z)的一个孤立奇点，即f(z)在去心邻域N????:0?r?z???内解析，则称

1??为在点的留数，记为.（注：fzdz,?:z???r??Resfzf(z)?????z??2?i??是指顺时针方向，可看作是绕无穷远点的正向）。

（二）主要定理及证明 定理2.1路径无关.

证 假设导函数f??z?是连续的.

【1】

（柯西定理）设函数f?z?在封闭的单连通区域内解析，那么?f?z?dz与

C 1

设函数f?z??u?x,y??iv?x,y?，由导函数f??z?连续可得偏导数

?u?u?v?v,,,连续.且已知， ?x?y?x?y ?f?z?dz???udx?vdy??i??udy?vdx?

CCC由函数解析性可知，

?u?v?v?u??,? ，所以上式右端积分与路径无关，因此左?y?x?y?x端?f?z?dz也与路径无关.

C 定理2.2 设函数f?z?在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一条周线， 则 ?f?z?dz?0.

C 定理2.3 设函数f?z?在z平面上的单连通区域D内解析，C为D内任一闭曲线（不必是简单的），则

C?f?z?dz?0.

定理2.2? 设C是一条周线，D为C的内部，函数f?z?在闭域D?D?C上解析，则

C?f?z?dz?0.

定理2.4 设C是一条周线，D为C的内部，函数f?z?在D内解析，在D?D?C上连续（也可以说“连续到C”），则

C?f?z?dz?0.

高阶求导公式 设区域D的边界是周线（或复周线）C，函数f?z?在D内解析，在

D?D?C上连续，函数f?z?在区域D内有各阶导数，并且有 f?n??z?=

n!2?iC????z?f???n?1d? (z?D)，?n?1,2,3...? （2-1）

这是一个用解析函数f?z?的边界值表示其各阶导函数内部值的积分公式. 公式（2-1）可改写成 ?Cf??????z?d?=n?12?i?n?f?z? (z?D)，（2-2） (n?1,2,3...) n! 2

注 利用（2-2）式可以求某些周线的积分；在（2-1）及（2-2）中，??z是被积函数F???在C内部的唯一奇点，如果F???在C内部有两个以上的奇点，就不能直接应用它们来计算. 定理2.5

【1】

（柯西留数定理） 设函数f?z?在闭区域D内除有限个孤立奇点

zk?k?1,2,???,n?之外处处单值解析，那么

?f?z?dz?2?i?Resf?z? （2-3）

?k?1z?zkn其中?是闭区域D内包围有限个奇点的简单闭曲线.

证 把函数f(z)的每一个孤立奇点zk?k?1,2,???,n?用互不相交的充分小的闭曲线ck包围起来.在以?与ck?k?1,2,???,n?为边界的多连通区域内，函数f(z)是解析的， 由柯西定理得，

?f?z?dz??C1?f?z?dz??????f?z?dz

Cn 上式除以2?i得,

111fzdz?fzdz?????f?z?dz ??????2?i?2?i2?i?C1Cnz?z1z?zn =Resf?z??????Resf?z? 因此，?f?z?dz?2?i?Resf?z?成立,

?k?1z?zkn即 ?f?z?dz?2?i?Resf?z?.

Ck?1z?akn 定理2.6 如果函数f?z?在扩充复平面z上除去点a1,a2,???,an,?外处处解析的，则

f?z?在所有各孤立奇点的留数之和为零。

证 作充分大的圆周?，以原点为圆心，R为半径，且?的内部包含a1,a2,???,an，由留数定理得，

?f?z?dz?2?i?Resf?z? ，

?k?1z?akn两边同时除以2?i得，

3

?Resf?z??k?1z?aknn1??f?z?dz?0， 2?i?即 ?Resf?z??Resf?z??0 . （2-4）

k?1z?akz??三、留数的求法及应用

（一）留数的求法

为了能更好的的应用留数理论计算积分，首先应该掌握留数的计算方法。根据留数定义可知，要想求出函数在其孤立奇点a0处的留数，只须求其洛朗展式中的

1这一z?a0项的系数c?1。若 a0为f?z?的可去奇点，则其留数为零；若为本质奇点，则只能用洛朗展式来求c?1；而本文主要讨论a0是极点的情形。 定理3.1 设a0为f?z?的m阶极点， f?z????z??z?a0?m，

其中??z?在点a0处解析，??a0??0，则 Resf?z??z?a0?(m?1)?a0??m?1?!1. （3-1）

注 这里符号??0??a0?代表??a0?，????a0?代表???a0?，且有??m?1??a0??lim??m?1??z?.

x?a0 推论1 设a0为f?z?的1阶极点，??z??(z?a0)f?z?，

则 Resf?z????a0? . （3-2）

z?a0 推论2 设a0为f?z?的2阶极点，??z???z?a0?f?z?，

则 Resf?z?????a0? . （3-3）

z?a02??z? 定理3.2 设a1为f?z??的1阶极点，若??z?及??z?在点a1解析，且

??z?.则 ??a1??0,??a1??0,???a1??0 4