2tan?45°－α?sin αcos α
8．化简·2＝________. 2
1－tan?45°－α?cosα－sin2α1
sin 2α2
解析：原式＝tan(90°－2α)·
cos 2α1
sin?90°－2α?2sin 2α＝· cos?90°－2α?cos 2α＝
cos 2α1sin 2α1
·＝. sin 2α2cos 2α2
1答案： 2
9．(2013·烟台模拟)已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，α，β1
∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标
34
是，则cos α＝________. 5
解析：依题设及三角函数的定义得： 14
cos β＝－，sin(α＋β)＝.
35
ππ223
又∵0<β<π，∴<β<π，<α＋β<π，sin β＝，cos(α＋β)＝－. 2235∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β 14223
－?＋×＝－×? 5?3?533＋82＝.
153＋82答案： 15
ππ1
0，?，tan α＝，求tan 2α和sin?2α＋?的值． 10．已知α∈?3??2??21
2×2412tan α
解：∵tan α＝，∴tan 2α＝＝＝， 2211－tanα1－3
4且
sin α1
＝，即cos α＝2sin α， cos α2
又sin2α＋cos2α＝1，
π0，?， ∴5sin2α＝1，而α∈??2?∴sin α＝525，cos α＝. 55
5254
×＝， 555
∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×413
cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，
555
π?ππ41334＋33?∴sin?2α＋3?＝sin 2αcos＋cos 2αsin＝×＋×＝.
33525210π4π
β－?＝. 11．已知：0<α<<β<π，cos??4?52(1)求sin 2β的值； π
α＋?的值． (2)求cos??4?
ππ221
β－?＝coscos β＋sin β＝cos β＋sin β＝， 解：(1)法一：∵cos??4?4223∴cos β＋sin β＝227，∴1＋sin 2β＝，∴sin 2β＝－. 399
ππ7
－2β?＝2cos2?β－?－1＝－. 法二：sin 2β＝cos??2??4?9π
(2)∵0<α<<β<π，
2
ππ3π3π∴<β<－<π，<α＋β<， 44422π
β－?>0，cos(α＋β)<0. ∴sin??4?π14β－?＝，sin(α＋β)＝， ∵cos??4?35π22β－?＝∴sin??4?3， 3cos(α＋β)＝－.
5
ππα＋?＝cos??α＋β?－?β－?? ∴cos??4???4??π
β－? ＝cos(α＋β)cos??4?3142282－3
＝－×＋×＝. 535315
xx
????12．(2012·衡阳模拟) 函数f(x)＝cos?－2?＋sin?π－2?，x∈R. (1)求f(x)的最小正周期；
(2)若f(α)＝210
5
，α∈??0，ππ2??，求tan??α＋4??的值． 解：(1)f(x)＝cos??－x2??＋sin??π－xxx
xπ2??＝sin2＋cos2＝2sin??2＋4??， 故f(x)的最小正周期T＝2π
1＝4π.
2
(2)由f(α)＝210αα210
5，得sin2＋cos2＝5，
则?αα?sin2102＋cos2??2＝??5??2
， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35，
又α∈??0，π
2??，则cos α＝1－sin2α＝
1－9425＝5
， 故tan α＝
sin αcos α＝3
4
， tan α＋tanπ3
所以tan?π4＋1
?α＋4?4?＝＝＝7. 1－tan αtanπ3
41－
4
1．若tan α＝lg(10a)，tan β＝lg?1?a?π
?，且α＋β＝4，则实数a的值为(A．1
B.1
10
)
1
C．1或
10
D．1或10
tan α＋tan β
＝＝1?lg2a＋lg a＝0，
1?1－tan αtan β
1－lg?10a?·lg??a?1?lg?10a?＋lg??a?
解析：选C tan(α＋β)＝1?
1
所以lg a＝0或lg a＝－1，即a＝1或.
10
ππ
α－?＋sin2?α＋?－sin2α的结果是________． 2．化简sin2??6??6?ππ
2α－?1－cos?2α＋?1－cos?3?3???
解析：原式＝＋－sin2α
221?2α－π?＋cos?2α＋π??－sin2α ＝1－?cos3?3???2??
πcos 2α1－cos 2α1
＝1－cos 2α·cos－sin2α＝1－－＝.
32221
答案： 2
ππ3ππ35
0，?，sin?β－?＝，β∈?，?. 3．已知sin α＋cos α＝，α∈??4??4?5?42?5(1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．
9
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝，
594
即1＋sin 2α＝，∴sin 2α＝. 55π
0，?，∴cos 2α＝又2α∈??2?sin 2α4
∴tan 2α＝＝.
cos 2α3
ππ?ππ3π
，，β－∈?0，?，sin?β－?＝， (2)∵β∈??42??4?54?4?π4β－?＝， ∴cos??4?5
πππ24
β－?＝2sin?β－?cos?β－?＝. 于是sin 2??4??4??4?25π
β－?＝－cos 2β， 又sin 2??4?24
∴cos 2β＝－，
25
3
1－sin22α＝，
5