《统计学》课程习题参考答案

1．试针对统计学的三种任务各举一例。 答：略。

2．举例说明统计分组可以完成的任务。 答：略。

3．举一个单向复合分组表的例子，再举一个双向复合分组表的例子。 答：略。

4．某市拟对该市专业技术人员进行调查，想要通过调查来研究下列问题： （1）通过描述专业技术人员队伍的学历结构来反映队伍的整体质量； （2）研究专业技术人员总体的职称结构比例是否合理； （3）描述专业技术人员总体的年龄分布状况；

（4）研究专业技术人员完成的科研成果数是否与其最后学历有关。 请回答：

（1）该项调查研究的调查对象是 该市全部专业技术人员 ； （2）该项调查研究的调查单位是 该市每一位专业技术人员 ； （3）该项调查研究的报告单位是 该市每一位专业技术人员 ；

（4）为完成该项调查研究任务，对每一个调查单位应询问下列调查项目 学历、职称、年龄、科研成果数 。

5．某车间按工人日产量情况分组资料如下： 日产量（件） 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 工人人数（人） 6 12 18 10 7 53 根据上表指出：

（1）上表变量数列属于哪一种变量数列；（2）上表中的变量、变量值、上限、下限、次数（频数）；（3）计算各组组距、组中值、频率。

答：（1）连续型组距式分组；（2）连续型组距式分组的组距=本组上限—本组下限；组中值=（上限+下限）/2；频率=fi/工人人数（变量）（人）变量值 6 12 18 10 7 53 ?f

i次数（频上限 下限 数）6 12 18 10 7 fi日产量（件） 组距 组中值 频率 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 50 60 70 80 90 60 70 80 90 100 10 10 10 10 10 55 65 75 85 95 6/53 12/53 18/53 10/53 7/53 1

6．某地区人口统计数据如下表，请在此表的空白处添加以下数字：组距、组中值、频率、上限以下累计频数。 按年龄 分组 小于5 5～17 18～24 25～34 35～44 45～64 65及以上 人口数 （人） 192 459 264 429 393 467 318 组距 5 ？ 组中值 频率 上限以下累计频数 注：年龄以“岁”为单位计算，小数部分按舍尾法处理。

解：

按年龄分组 小于5 5-17 18-24 25-34 35-44 45-64 65及以上 合计 人口数（人） 192 459 264 429 393 467 318 2522 组距 —— 13 7 10 10 20 —— —— 组中值 2.5 11.5 21.5 30.0 40.0 55.0 75.0 —— 频率（%） 7.61 18.20 10.47 17.01 15.58 18.52 12.61 100.00 上限以下累计频数 192 651 915 1344 1737 2204 2522 —— 7．对下列指标进行分类。（只写出字母标号即可）

A手机拥有量 B商品库存额 C市场占有率 D人口数 E 出生人口数 F 单位产品成本 G人口出生率 H利税额 （1）时期性总量指标有： EH ；（2）时点性总量指标有： ABD ； （3）质量指标有： CFG ；（4）数量指标有： ABDEH ； （5）离散型变量有： ADE ；（6）连续型变量有： BCFGH 。 8．现在把某地区1999年末全部个体经营工业单位作为研究对象。对这个统计总体，设计了“1999年末全部个体经营工业单位总数”和上述这个个体经营工业单位总体的“1999年全年产品销售收入”两个统计指标。（1）请就统计指标的三种表现形式考虑，这两个统计指标属于何种类型？（2）想用这两个指标来描述总体规模的大小，对此你有何评价？（3）有一位统计人员把这两个统计指标写作“1999年全年全部个体经营工业单位总数”和“1999年末产品销售收入”，对此你有何评价？（4）该地区的个体经营工业单位在1999年内不断地发生着“新生”和“消亡”的变化，那么，“该地区全部个体经营工业单位”在1999年内是否是一个唯一不变的总体？我们应该怎样描述该地区全部个体经营工业单位在1999年全年内的规模？

答：（1）这两个统计指标均属于总量指标。（2）这两个统计指标都可用来描述总体规模的大小。前者为总体单位总量指标，直接描述总体规模大小。后者为标志总量指标，间接描述总体规模大小。（3）这两种叙述都是错误的。正确的表述分别是“1999年末全部个体经营工业单位总数”，“1999年全年产品销售收入”。（4）不是一个唯一不变的总体。应该用该地区1999年各时点全部个体经营工业单位总数的均值，即序时平均数，描述1999年全年内总体规模的一般状况。

2

9．接8题。现在把本地区全部个体经营工业单位的1999年全年产品销售收入与另一地区的同种指标相减、相除。（1）这二个结果各属于何种类型的统计指标？（2）通过上面用两个地区各自的产品总销售收入作比较，能够描述两个地区的何种差异？（3）能否通过这种比较来描述二地区个体经营工业单位销售收入水平的差异？能否通过这种比较来描述二地区个体经营工业单位销售绩效（生产出来的产品是否能够顺畅地销售出去）的差异？为什么？要想描述这里提出的两种差异，应当用何种指标来作比较？

答：（1）相减是总量指标，相除是比较相对指标。（2）能够描述两地区个体经营工业单位销售收入总量上的差异。（3）都不能。因为总量指标只能衡量总体规模的大小。应该用平均指标来描述两地区销售收入水平的差异，如平均销售额等；应该用相对指标来描述两地区销售绩效的差异，如产品销售率，人均销售额等。

10．现有某地区50户居民的月人均可支配收入数据资料如下（单位：元）：

886 1027 866 893 946

928 928 905 900 926

999 978 954 800 895

946 816 890 938 967

950 1000 1006 864 921

864 918 926 919 978

1050 1040 900 863 821

927 854 999 981 924

949 1100 886 916 651

852 900 1120 818 850

要求：

（1）试根据上述资料作等距式分组，编制次（频）数分布和频率分布数列。 （2）编制向上和向下累计频数、频率数列。

（3）用频率分布列绘制直方图、折线图和向上、向下累计图。 （4）根据图形说明居民月人均可支配收入分布的特征。 解：（1）对数据分组，计算各组频数、频率，累计频数、累计频率

50户居民按各户月人均可支配收入分组表

人均月可支配收入（元） 800以下 800-900 900-1000 1000-1100 1100及以上 合 计 居民户数 1 16 26 5 2 50 本组 频数 1 16 26 5 2 50 频 数 向上 累计 1 17 43 48 50 —— 向下 累计 50 49 33 7 2 —— 本组 频率 2 32 52 10 4 100 频 率（%） 向上 累计 2 34 86 96 100 —— 向下 累计 100 98 66 14 4 —— 本组频率密度 0.02 0.32 0.52 0.10 0.04 ——

（2）频率分布直方图 0.55 0.50 频 0.45 0.40 率 0.35 0.30 密 0.25 0.20 0.10 0.05 0 3 800 900 1000 1100 1200 可 支 配 收 入 （元） 度 0.15 600 700 1300 50户居民按人均月可支配收入的频率分布 （2）累计频率分布图

110

100

累 90

80

向下累计 计 70

60

频 50

40

30 率 20 10 0 800 600 700

向上累计 900 1000 1100 1200 1300 可 支 配 收 入 （元）

50户居民按人均月可支配收入的累计频率分布图

（3）居民户人均可支配收入的分布特征

呈单峰型大致对称形态。

11.某公司下属两个企业生产同一种产品，其产量和成本资料如下： 甲企业 乙企业 基期 单位成本（元） 600 700 产量（吨） 1200 1800 报告期 单位成本（元） 600 700 产量（吨） 2400 1600 试分别计算报告期和基期该公司生产这种产品的总平均成本，并对上述数据作必要的加

工，说明总平均成本变化的原因。

解：

报告期的总平均成本=Σxifi/Σfi=(600*1200+700*1800)/(1200+1800)

=(720000+1260000)/3000=1980000/3000=660（元）

基期的总平均成本=Σxifi/Σfi=（600*2400+700*1600）/（2400+1600）

=(140000+1120000)/4000=2520000/4000=630640（元）

报告期总平均成本高于基期总平均成本，原因是权数发生了变化，即产量结构变化，报告期甲企业和乙企业的产量比重分别为40%和60%；而基期甲企业和乙企业的产量比重分别为60%和40%。

12．设某校某专业的学生分为甲、乙两个班，各班学生的数学成绩如下： 甲60,79,48,76,67,58,65,78,64,75,76,78,84,48,25,90,98,70,77,78,68,74,95,85,68,80,92, 班 88,73,65,72,74,99,69,72,74,85,67,33,94,57,60,61,78,83,66,77,82,94,55,76,75,80,61 乙91,74,62,72,90,94,76,83,92,85,94,83,77,82,84,60,60,51,60,78,78,80,70,93,84,81,81,82, 班 85,78,80,72,64,41,75,78,61,42,53,92,75,81,81,62,88,79,98,95,60,71,99,53,54,90,60,93 要求：分别计算数据分布的特征数，并进行比较分析。 解：

甲班：

?x=3926分 n=54 x=72.7分 ?x2=296858 ??14.56分 ??0.20034

乙班：

?x=4257分 n=56 x=76.02分 ?x2=334789 ??14.11分 ??0.1856

通过以上计算可以认为乙班的考试成绩好于甲班，因为该班不仅平均成绩高于甲班，而且乙班考试成绩的离散程度较低。

13. 根据第12题的数据，分别编制两个班成绩的组距数列（组距为10），然后由组距数列计算反映数据分布特征的各个指标，并观察与第12题所得到的计算结果是否相同？为什么？

解：

甲班成绩分组表

成绩分组 组中值xi 人数fi xifi x2ifi 20～30 25 1 25 625 30～40 35 1 35 1225 40～50 45 2 90 4050 50～60 55 3 165 9075 60～70 65 13 845 54925 70～80 75 19 1425 106875 80～90 85 8 680 57800 90～100 95 7 665 63175 合计 —— 54 3930 297750

8ifix1??xi?18?393054?72.78?fii?1?8x2ifi2?2i?121?8?x1?297750???3930??f?54??ii?1

?1?217.2840?14.74

乙班成绩分组表

5

?2成绩分组 40～50 50～60 60～70 70～80 80～90 90～100 合计 组中值xi 45 55 65 75 85 95 —— 人数fi 2 4 9 14 15 12 56 xifi 90 220 585 1050 1275 1140 4360 xifi 4050 12100 38025 78750 108375 108300 349600 2

x2??xi?16i?16ifii?f4360??77.865622?2??xi?16i?162ifii?f?4360?2?x2?349600????181.1224?56?

?1?181.1224?13.46

与12题的结果有些出入，因为经过分组整理后是利用各组的组中值代替原始数据进行各特征指标的计算，各组内原始数据分布越不均匀，组中值的代表性越弱，计算的差距越大。

14.某商贸公司从产地收购一批水果，分等级的收购价格和收购金额如下表，试求这批水果的平均收购价格。 水果等级 甲 乙 丙 合计 收购单价（元/千克） 2.00 1.60 1.30 —— 收购额（元） 12700 16640 8320 37660 解：

水果等级 收购单价（x） 收购额（q） 收购量（q/x） 6

甲 乙 丙 合计 2.00 2.60 1.30 － 12700 16640 8320 37660 6350 10400 6300 23150 x??

?37660?1.6268??元/千克?q23150???x?q15．某厂长想研究星期一的产量是否低于其他几天，连续观察六个星期，所得星期一的日产量为100、150、170、210、150、120，单位吨。同期非星期一的产量整理后的资料为：

日产量（吨） 100—150 150—200 200—250 250以上 合计 天数（天） 8 10 4 2 24 要求：

（1）求星期一的平均日产量、中位数、众数； （2）求非星期一的平均日产量、中位数、众数；

（3）比较星期一和非星期一产量的相对离散程度哪一个大一些。 解： 日产量（吨） 100—150 150—200 200—250 250以上 合计 天数（天）f 8 10 4 2 24 组中值x 125 175 225 275 - xf 1000 1750 900 550 4200 Xf 125000 306250 202500 151250 785000 2累计 8 18 22 24 - （1）x??x900；Me?150（吨）；M0?150（吨） ??150（吨）

n6?xf（2）

x???f?f24200?175（吨） 24Me?L??Sm?1fm?d?150?12?8?50?170（吨） 10 7

?110?8Mo?L??d?150??50?162.5?1??2(10?8)?(10?4)（吨）

2??xx142400?900??????????35.12???（3）1?n?n6?6???22（吨）

?2?（吨）

?xf2??xf???f???f2?785000?4200?????45.64???24?24??235.12cv1???23.410x1?1

45.64cv2???26.08% 175x2?2cv1?cv2 ?非星期一产量的相对离散程度大一些。

16．甲、乙两单位从业人员人数及工资资料如下： 月工资（元） 400以下 400—600 600—800 800—1000 1000以上 合计 甲单位人数（人） 4 25 84 126 28 267 乙单位人数比重（%） 2 8 30 42 18 100 （1）比较两个单位工资水平高低；

（2）说明哪一个单位的从业人员工资的变异程度较高。 解：

（1）先计算中位数，再分别计算甲乙两单位从业人员的平均月工资。 xf?x2f2?...?xnfn300*4?500*25?700*84?900*126?1100*28x甲＝11??811.61（元）f1?f2?...?fn267

x乙＝x1f1?x2f2?...?xnfn300*2?500*8?700*30?900*42?1100*18??832.00（元）f1?f2?...?fn1008

（2）计算甲乙两单位从业人员的月工资的标准差系数。

?甲＝(x1?x甲)2f1?(x2?x甲)2f2?...?(xn?x甲)2fnf1?f2?...fn?171.29

cv甲＝?甲/x甲＝171.29/811.61＝0.21

(x1?x乙)2f1?(x2?x乙)2f2?...?(xn?x乙)2fn?乙＝?185.95

f1?f2?...fncv乙＝?乙/x乙＝185.95/832.00＝0.22

?cv乙> cv甲 故乙单位从业人员的月工资变异程度高。

17．根据下表绘制某地区劳动者年龄分布折线图（年龄以岁为单位，小数部分按舍尾法处理）。

某地区劳动者年龄构成 按年龄分组 15-19岁 20-24岁 25-29岁 30-34岁 35-39岁 40-44岁 45-49岁 50-59岁 60岁及以上 比重（%） 3 10 17 17 15 14 11 10 3 解：用Excel软件完成。请参照课本40-43页上的有关说明。 按年龄分组15-19岁20-24岁25-29岁30-34岁35-39岁40-44岁45-49岁50-59岁60岁以上组中值12.517.522.527.532.537.542.547.5556575比重（%）频率密度03101717151411103000.623.43.432.82.210.30 9

18．向三个相邻的军火库掷一个炸弹。三个军火库之间有明显界限，一个炸弹不会同时炸中两个或两个以上的军火库，但一个军火库爆炸必然连锁引起另外两个军火库爆炸。若投中第一军火库的概率是0.025，投中第二军火库以及投中第三军火库的概率都是0.1。求军火库发生爆炸的概率。

解：设A、B、C分别表示炸弹炸中第一军火库、第二军火库、第三军火库这三个事件。于是，P（A）=0.025 P（B）=0.1 P（C）=0.1 又以D表示军火库爆炸这一事件，则有，D=A+B+C 其中A、B、C是互不相容事件（一个炸弹不会同时炸中两个或两个以上军火库）

∴P（D）=P（A）+P（B）+P（C）=0.025 + 0.1+ 0.1=0.225

19．某厂产品中有4%的废品，100件合格品中有75件一等品。求任取一件产品是一等品的概率。

解：设A表示一等品、B表示合格品、C表示废品

P（B）=1- P（C）=1-0.04=0.96 P（A|B）=

75=0.75 100∵A?B ∴A=AB

∴P（A）= P（AB）= P（B）* P（A|B）=0.96*0.75=0.72

20．某种动物由出生能活到20岁的概率是0.8，由出生能活到25岁的概率是0.4。问现龄20岁的这种动物活到25岁的概率为何？

解：设A表示这种动物活到20岁、B表示这种动物活到25岁。 ∵B?A ∴B=AB

∴P（B|A）=

P（AB）P（B）0.4===0.5

P（A）P（A）0.821．在记有1，2，3，4，5五个数字的卡片上，第一次任取一个且不放回，第二次再在余下的四个数字中任取一个。求：

（1）第一次取到奇数卡片的概率： （2）第二次取到奇数卡片的概率； （3）两次都取到奇数卡片的概率。

解：设A表示第一次取到奇数卡片、B表示第二次取到奇数卡片。

（1）P（A）=

3 5（2）P（B）= P（AB+AB）= P（AB）+ P（AB）= P（A）* P（B|A）+ P（A）* P

10

（B|A）=

32233*+*= 54545323*= 5410（3）P（AB）= P（A）* P（B|A）=

22．两台车床加工同样的零件。第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02。加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍。求任意取出的零件是合格品的概率。

解：设B1={第一台车床的产品}；B2={第二台车床的产品}；A={合格品}

则P（B1）=2\\3；P（B2）=1\\3；P（A|B1）=1-0.03=0.97；P（A|B2）=1-0.02=0.98 由全概率公式得：

P（A）= P（B1）* P（A|B1）+ P（B2）* P（A|B2）=2\\3*0.97+1\\3*0.98=0.973

23．有两个口袋，甲袋中盛有2个白球1个黑球，乙袋中盛有1个白球2个黑球。由甲袋中任取一球放入乙袋，再从乙袋中取出一球。问取得白球的概率是多少？（ 5/12）

24．在第22题中，如果任意取出的零件是废品，求它属于第二台车床所加工零件的概率。

解：设B1={第一台车床的产品}；B2={第二台车床的产品}；A={废品}。 则P（B1）=2\\3；P（B2）=1\\3 ；P（A|B1）=0.03；P（A|B2）=0.02。 P（B2| A）=P（AB2）\\P（A）=【P（B2）*P（A|B2）】\\【P（B1）*P（A|B1）+P（B2）*P（A|B2）】=（1\\3*0.02）\\（2\\3*0.03+1\\3*0.02)=0.25

25．发报台分别以概率0.6及0.4发出信号“·”及“—”由于通讯系统受到干扰，当发出信号 “·”时，收报台以概率0.8及0.2收到信号“·”及“—”；当发出信号“—”时，收报台以概率0.9及0.1收到信号“—”及“·”。求：

（1）当收报台收到信号“·”时，发报台确实发出信号“·”的概率；(0.923) （2）当收报台收到信号“—”时，发报台确实发出信号“—”的概率。(0.75)

26．设某运动员投篮投中概率为0.3，试写出一次投篮投中次数的概率分布表。若该运动员在不变的条件下重复投篮5次，试写出投中次数的概率分布表。

解：

X=xi P（X=xi） xn-x0 0.3 1 0.7 xx1?P） Cn二项分布P（X=xi）=CnP（=

n!

x!（n-x）!0101当X=0时 C50.（31?0.）35=0.16807；当X=1时 C50.（31?0.）34=0.36015；

23当X=2时 C50.（31?0.）33=0.30870；当X=3时 C50.（31?0.）32=0.13230；

23415当X=4时 C50.（=0.02835；当X=5时 C50.（31?0.）331?0.）30=0.00243

45X=xi P（X=xi） 0 0.16807 1 0.36015 2 0.30870 3 0.13230 4 0.02835 5 0.00243 27．（取消）随机变量X服从标准正态分布N（0，1）。查表计算：P（0.3

P（0.3

11

P（-2

P（-3

2

P(1600

P（1400

282282=Φ（1.1348）-Φ（0.4255）=0.3708-0.1664=0.2044

P（1600

282282=Φ（0.2837）+Φ（0.4255）=0.1103+0.1664=0.2767

2000?1720）=Φ（∞）-Φ（0.9929）=0.5-0.3389=0.1611

282229．（取消）若随机变量X服从自由度等于5的??分布，求P(3

2X服从自由度等于10的??分布，求P（3

P（2000

解：

当v=5时 P（3

30．（取消）若随机变量X服从自由度为f1=4，f2=5的F－分布，求P(X >11)的近似数值；若X服从自由度为f1=5，f2=6的F－分布，求P(X<5)的近似值。 解：

当f1=4、f2=5时 P（X>11）=0.01

当f1=5、f2=6时 P（X<5）=1-0.05=0.95 31．（取消）若随机变量X服从自由度为10的t–分布，求P(X>3.169)；若X服从自由度为5的t –分布,求P(X<–2.571)。

解：

P（X>3.169）=

11*0.01=0.005；P（X<-2.571）=*0.05=0.025 2232．同时掷两颗骰子一次，求出现点数和的数学期望和方差。

解： X=xi P（X=xi） 2 1 363 2 364 3 365 4 366 5 367 6 368 5 369 4 3610 3 3611 2 3612 1 36 E（X）=?xipi=2*1+3*2+4*3+5*4+6*5+7*6+8*5+9*4+10*3

363636363636363636+11*2+12*1=252=7

363636222V（X）=??xi-E?X??2pi= ?2?7?*1+?3?7?*2+?4?7?*3+?5?7?3636362*4

36+?6?7?2*5+?7?7?2*6+?8?7?2*5+?9?7?2*4+?10?7?2*3+?11?7?2*2

363636363636 12

+?12?7?2*1=210=5.833

3636或者：

2

V（X）= E（X2）-[ E（X）]

=22*1+32*2+42*3+52*4+62*5+72*6+82*5+92*4+102*3+112*2

3636363636363636363636+122*1-72=54.833-49=5.833

33．已知100个产品中有10个次品。现从中不放回简单随机抽取5次。求抽到次品数目的数学期望和方差。

解：

34．假设接受一批产品时，用放回方式进行随机抽检，每次抽取1件，抽取次数是产品总数的一半。若不合格产品不超过2%，则接收。假设该批产品共100件，其中有5件不合格品，试计算该批产品经检验被接受的概率。

0050149解：C50+C1=0.0769+0.2025=0.2794 0.05（1?0.05）（1?0.05）500.05?，Xn独立，并且服从同一分布，数学期望为?，方差为?2。这35．随机变量X1,X2，n个随机变量的简单算术平均数为X。求Xi?X的方差。(取消)

36．根据长期实验，飞机的最大飞行速度服从正态分布。现对某新型飞机进行了15次试飞，测得各次试飞时的最大飞行速度（米/秒）为：

422.2 417.2 425.6 425.8 423.1 418.7 428.2 438.3 434.0 412.3 431.5 413.5 441.3 423.0 420.3

试对该飞机最大飞行速度的数学期望值进行区间估计（置信概率0.95）。 解：假设飞机最大飞行速度的数学期望为U，每次的最大飞行速度为X，

iX?425 s?8.488

t?X?U~t(14)

s/nt0.025(14)?2.145

2.145s/n?2.145?8.488/15?4.7

425?4.7?X?2.145s/n?U?X?2.145s/n?425?4.7 因此，飞机最大飞行速度数学期望的区间估计为（420.3, 429.7）

37．自动车床加工某种零件，零件的长度服从正态分布。现在加工过程中抽取16件，测得长度值（单位：毫米）为：

12.14 12.12 12.01 12.28 12.09 12.16 12.03 12.01 12.06 12.13 12.07 12.11 12.08 12.01 12.03 12.06

13

试对该车床加工该种零件长度值的数学期望进行区间估计（置信概率0.95）。 解

：

?x?193.39?12.086875x?(毫米),sn162?(x?x)?n?12?0.07494375 ?0.0049962515s20.00499625??x?12.086875?)?v(x)?1.点估计：?（毫米），v(???0.000312265n16(n?1)152.区间估计：v(x)?0.000312265?0.017671,t??t0.025?2.131215则，上限为：x?t0?2.131?0.017671.025v(x)?12.086875?12.086875?0.0376569?12.1245(毫米）15下限为：x?t0?2.131?0.017671.025v(x)?12.086875

?12.086875?0.0376569?12.0492(毫米)所以，该车床加工该种零件长度的数学期望被区间（12.0492，12.1245）所包含的置信概率为95%。

38．用同样方式掷某骰子600次，各种点数出现频数如下：

点 数 出现频数 1 60 2 100 3 150 4 80 5 90 6 120 合 计 600 试对一次投掷中发生1点的概率进行区间估计（置信概率0.95）。 解：

60p??0.1

600v(p)?p(1?p)0.1(1?0.1)??1.5025?10?4 n?1600?1?1???95%?z0.025?1.96

置信区间：（0.1-1.96?0.00015025，0.1+1.96?0.00015025），即：（0.076，0.124） 39．某微波炉生产厂家想要了解微波炉进入居民家庭生活的深度。他们从某地区已购买了微波炉的2200个居民户中用简单随机不还原抽样方法以户为单位抽取了30户，询问每户一个月中使用微波炉的时间。调查结果依次为（分钟）：

300 520 750 580 360

450 600 550 650 370

900 340 20 430 560

50 280 1100 460 610

700 380 440 450 710

400 800 460 400 200

试估计该地区已购买了微波炉的居民户平均一户一个月使用微波炉的时间。并计算估计量的估计方差。

解：根据已知条件可以计算得：?yi?14820

i?1nn?yi?12i?88586 0 14

（1）估计量

1n=1*14820= 494（分钟） ?Y?y??yi30ni?1（2）估计量的估计方差

s2n?v(Y)?v(y)?(1?)=1*1537520*(1?30)=1743.1653 nN302200292nn??211122?其中 s?yi-y?yi-ny?=*?8858600?30*4942? ???30?1n-1i?1n-1??i?1???=53017.93

40．某地区有8000户居民，从中简单随机抽取30户，调查各户5月份用水量（吨），数据如下：

5 2 28

10 3 27

20 4 17

15 6 19

8 7 16

7 9 4

4 18 5

3 17 6

9 21 24

11 30 22

试估计该地区全体居民5月份用水总量（计算估计量以及估计量的估计方差）。 解：

（1）估计量

??Ny?N??8000?(5?10?20???6?24?22)?8000?377?100533??NYY.33(吨）yi30n30 （2）估计量的估计方差

11377213772S2??xi2?x2??(52?102?202???62?242?222)?()??6975?()?68.579n303030302Sn68.57930??22?)??(NY)?N?(Y)?N?(Y(1?)?80002??(1?)?145753234.7 nN30800041. 某大学有本科学生4000名，从中用简单随机抽样方法抽出80人，询问各人是否有上因特网经历。调查结果为，其中有8人无此经历。试估计全校本科学生中无上网经历的学生所占比率。并计算估计量的估计方差。

解：

（1）计算样本数据

n=80 a=8 p= a / n =8 / 80=0.1

（2）估计量

??p?0.1 P（3）估计量的估计方差

v?p??p(1?p)?n?0.1?0.9?80??1????1???0.001116 n?1?N?80?1?4000?42．某城市有非农业居民210万户，从中用简单随机抽样方法抽取出623户调查他们进

行住宅装修的意向。调查结果表明，其中有350户已经装修完毕，近期不再有新的装修意向；有78户未装修也不打算装修；其余的有近期装修的意向。试估计该城市非农业居民中打算

15

在近期进行住宅装修的居民户数。并计算估计量的估计方差。

解：

（1）估计量 ??NP??Np?Na?2100000*623?350?78=657303（户） An623（2）估计量的估计方差

2?sn16231954286232?）?)?v(Np)?Nv（A?v(NP(1?)?2100000*****(1?)nN623623?162362321000002 =1524128668

其中 s??2np（1-p）=623*195*428 n-1623-162362343．一台自动机床加工零件的直径X服从正态分布，加工要求为E(X)=5cm。现从一天的产品中抽取50个，分别测量直径后算得x?4.8cm，标准差0.6cm。试在显著性水平0.05的要求下检验这天的产品直径平均值是否处在控制状态?

答：检验统计量的样本值为-2.3570，z0.025=?1.96，生产不正常。

44．已知某厂生产的砖的抗拉强度服从正态分布，加工的技术要求是：方差为1.21，

2

数学期望为32.5公斤/厘米。从某天的产品中随机抽取6块，测得抗拉强度分别为32.56、

2

29.66、31.64、30.00、31.87、31.03（公斤/厘米）。试以0.05的显著性水平，检验该厂这天所生产砖的抗拉强度的平均值是否处在控制水平？

解：

x?32.56?29.66?31.64?30.00?31.87?31.03?31.13

6（1）提出假设：H0：?=32.5 H1：??32.5

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下

31.13?32.5z?x?????3.0505

2?n（3）确定临界值和拒绝域： Z0.025=1.96

1.216∴拒绝域为 ???,?1.96???1.96,??? （4）做出检验决策：

∵

z?z??1.96

2∴检验统计量的样本观测值落入拒绝域，在0.05的显著水平下拒绝原假设H0，接

受H1假设，样本数据表明该厂这天所生产的砖的抗拉强毒的平均值已不在控制水平。

45．（取消）已知初婚年龄服从正态分布。根据9个人的调查结果，样本均值x=23.5岁，样本标准差s=3岁。问是否可以认为该地区初婚年龄数学期望值已经超过20岁

16

(??0.05)？

解：

（1）提出假设：H0：?≤20 H1：?>20

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下

t?x?2??23.5?20?3.5

sn

329（3）确定临界值和拒绝域：

t0.05?8??1.86

∴拒绝域为 ?1.86,??? （4）做出检验决策：

∵t

?1.86

∴检验统计量的样本观测值落入拒绝域，在0.05的显著水平下拒绝原假设H0，接

受H1假设，可以认为该地区初婚年龄数学期望值已经超过20岁。

46．从某县小学六年级男学生中用简单随机抽样方式抽取400名，测量他们的体重，算得平均值为61.6公斤，标准差是14.4公斤。如果不知六年级男生体重随机变量服从何种分布，可否用上述样本均值猜测该随机变量的数学期望值为60公斤？按显著性水平0.05和0.01分别进行检验。

解：

当α=0.05时 （1）提出假设：

H0 ：μ=60 H1 ：μ?60

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下：

Z=

x??s2=

61.6?6014.44002= 2.222

n（3）确定临界值和拒绝域：

Z0.025=1.96

∴拒绝域为 ???,?1.96???1.96,??? （4）做出检验决策：

∵Z =2.222> Z0.025=1.96

检验统计量的样本观测值落在拒绝域。

17

∴拒绝原假设H0，接受H1假设，认为该县六年级男生体重的数学期望不等于60

公斤。

当α=0.01时 （1）提出假设：

H0 ：μ=60 H1 ：μ?60

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下：

Z=

x??s2=

61.6?6014.44002= 2.222

n（3）确定临界值和拒绝域：

Z0.005=2.575

∴拒绝域为 ???,?2.575???2.575,???

（4）做出检验决策：

∵Z =2.222

检验统计量的样本观测值落在接受域。 ∴不能拒绝H0，即没有显著证据表明该县六年级男生体重的数学期望不等于60公斤。 47．某公司负责人发现开出去的发票有大量笔误，而且断定这些发票中，有笔误的发票占20%以上。随机抽取400张发票，检查后发现其中有笔误的占18%，这是否可以证明负责人的判断正确？(??0.05)

48．从某地区劳动者有限总体中用简单随机放回的方式抽取一个4900人的样本，其中具有大学毕业文化程度的为600人。我们猜测，在该地区劳动者随机试验中任意一人具有大学毕业文化程度的概率是11%。要求检验上述猜测（?=0.05）。（旧教材212页例题）

49．用不放回简单随机抽样方法分别从甲、乙二地各抽取200名六年级学生进行数学测试，平均成绩分别为62分、67分，标准差分别为25分、20分，试以0.05的显著水平检验两地六年级数学教学水平是否显著地有差异。 解：

（1）提出假设：

H0 ：μ1=μ2 H1 ：μ1?μ2

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下：

Z=

y1?y2ss?n1n22122=

67?62252202?200200=2.209

（3）确定临界值和拒绝域：

Z0.025=1.96

1.96,??? ∴拒绝域为 ???,?1.96???（4）做出检验决策：

18

∵Z=2.209> Z0.025=1.96

检验统计量的样本观测值落在拒绝域。

∴拒绝原假设H0，接受H1假设，即两地的教育水平有差异。

50．从成年居民有限总体中简单随机不放回地抽取228人，经调查登记知其中男性100人，女性128人。就企业的促销活动（如折扣销售，抽奖销售，买几赠几，等等）是否会激发本人购买欲望这一问题请他（她）们发表意见。男性中有40%的人、女性中有43%的人回答说促销活动对自己影响不大或没有影响。试问，促销活动对不同性别的人购买欲望的影响是否有差别？(??0.10)

51．从甲、乙两地区居民中用不放回简单随机抽样方法以户为单位从甲地抽取400户，从乙地抽取600户居民，询问对某电视节目的态度。询问结果，表示喜欢的分别为40户、30户。试以单侧0.05（双侧0.10）的显著水平检验甲、乙两地区居民对该电视节目的偏好是否显著地有差异。

解：

（1）提出假设：

H0 ：π1=π2 H1 ：π1?π2

（2）构造检验统计量并计算样本观测值：

在H0成立条件下：

p=（n1p1+n2p2）/（n1+n2）=（40+30）/（400+600）=0.07

Z=

p2?p1p(1?p)(11?)n1n2=

0.05?0.10.07*0.93(11?)400600= -3.036

（3）确定临界值和拒绝域：

Z0.05=1.645

∴拒绝域为???,?1.645???1.645,??? （4）做出检验决策：

∵Z=3.036>Z0.05=1.645

检验统计量的样本观测值落在拒绝域。

∴拒绝原假设H0，接受H1假设，即甲乙两地居民对该电视节目的偏好有差异。

52．某企业为了扩大市场占有率，为开展产品促销活动，拟研究三种广告宣传形式即街头标牌广告、公交车广告和随报刊邮递广告对促销的效果，为此选择了三个人口规模和经济发展水平以及该企业产品过去的销售量类似的地区，然后随机地将三种广告宣传形式分别安排在其中一个地区进行试验，共试验了6周，各周销售量如下表。各种广告宣传方式的效果是否显著地有差异？(??0.05)

三种广告宣传方式的销售量单位:箱 地区和广告方式 观测序号(周) 19

1 甲地区:街头标牌广告 乙地区:公交车广告 丙地区:随报刊邮递广告 53 61 50 2 52 46 40 3 66 55 45 4 62 49 55 5 51 54 40 6 58 56 42 53．从本市高考考生中简单随机抽取50人，登记个人的考试成绩、性别、父母文化程度（按父母中较高者，文化程度记作：A——大专以上，B——高中，C——初中，D小学以下）。数据如下：

（500，女，A）（498，男，A）（540，男，A）（530，女，A）（450，女，A） （400，女，A）（560，男，A）（460，男，A）（510，男，A）（520，女，A） （524，男，A）（450，男，B）（490，女，B）（430，男，B）（520，男，B） （540，女，B）（410，男，B）（390，男，B）（580，女，B）（320，男，B） （430，男，B）（400，女，B）（550，女，B）（370，女，B）（380，男，B） （470，男，B）（570，女，C）（320，女，C）（350，女，C）（420，男，C） （450，男，C）（480，女，C）（530，女，C）（540，男，C）（390，男，C） （410，女，C）（310，女，C）（300，男，C）（540，女，D）（560，女，D） （290，女，D）（310，男，D）（300，男，D）（340，男，D）（490，男，D） （280，男，D）（310，女，D）（320，女，D）（405，女，D）（410，男，D）

（1）试检验学生的性别与考试成绩是否有关系（显著性水平0.05）

（2）试检验家长的文化程度与学生的考试成绩是否有关系（显著性水平0.05） 解：

（1）提出假设：

H0 ：μ1=μ2 H1 ：μ1?μ2

（2）计算离差平方和

性别i 男 510 511 500 成绩j 410 430 380 490 498 430 390 470 420 540 300 280 410 540 560 524 520 450 390 300 460 450 320 340 450 490 350 530 310 290 405 400 520 400 580 女 550 570 540 310 530 540 370 320 480 410 560 320 m=2 n1=26 n2=24 n=50

?y1?=11122 ?y2?=10725 ?y??= 21847

222=4930980 =5008425 ?y?y1?y2????=9939405

m组间变差 SSR=

?niyi?-ny??

i?122（=26*

111222107252218472）+24*（）-50*（） 262450=9550383.76-9545828.18

=4555.58

组内变差 SSE=

??y-?niyi?=9939405-9550383.76=389021.24

2iji?1j?1i?1mnim2 20

（3）构造检验统计量并计算样本观测值

F=

SSR/(m?1).58/(2?1)=0.5621 =4555SSE/(n?m)389021.24/(50?2)（4）确定临界值和拒绝域 F0.05（1,48）=4.048

∵F0.05（1,40）=4.08 F0.05（1,60）=4.00

∴F0.05（1,48）=4.08+

48?40*（4.00-4.08）=4.048

60?40∴拒绝域为：?4.048,???

（5）做出检验决策

∵F=0.5621< F0.05（1,48）=4.048

检验统计量的样本观测值落在接受域。

∴不能拒绝H0，即没有显著证据表明性别对成绩有影响。

（1）提出假设：

H0 ：μ1=μ2=μ3=μ4

H1 ：μ1、μ2、μ3、μ4不全相等 （2）计算离差平方和：

文化程度i 大专以上 高中 初中 小学以下 成绩j 500 450 510 498 400 520 540 560 524 530 460 490 410 430 380 430 390 400 470 520 580 550 540 450 320 370 350 530 310 420 540 300 570 450 390 320 480 410 290 490 405 310 280 410 540 300 310 560 340 320 m=4 n1=11 n2=15 n3=12 n4=12 n=50

?y1?=5492 ?y2?=6730

2?y3?=5070 ?y4?=4555 ?y??= 21847 ?y1?=2763280 222?y22?=3098100 ?y3?=2237900 ?y4?=1840125 ?y??=9939405

组间变差

SSR=

?niyi?-ny??

i?1m2250702549222184724555267302+12*（）+12*）+15*（） （）-50*（）1211501215=9632609.568-9545828.18

=86781.388

组内变差

=11*（SSE=

??y-?niyi?=9939405-9632609.568=306795.432

2iji?1j?1i?1mnim2（3）构造检验统计量并计算样本观测值：

SSR/(m?1).388/(4?1)=4.3372 F==86781SSE/(n?m)306795.432/(50?4)

21

（4）确定临界值和拒绝域：

F0.05（3,46）=2.816

∵F0.05（3,40）=2.84 F0.05（3,60）=2.76

∴F0.05（3,46）=2.84+

46?40*（2.76-2.84）=2.816

60?40∴拒绝域为：?2.816,???

（5）做出检验决策：

∵F=4.3372> F0.05（3,46）=2.816

检验统计量的样本观测值落在拒绝域。

∴拒绝原假设H0，接受H1假设，即父母文化程度对孩子的学习成绩有影响。

54．某食品加工厂试验三种贮藏方法，观察其对粮食含水率有无影响。取一批粮食分成若干份重量相等的样品，分别用三种不同的方法贮藏，经过一段时间后，测得的含水率数据如下表，检验粮食的含水率是否受贮藏方法的影响？（α=0.05） 贮藏方法 A B C 7.3 5.4 7.9 8.3 7.4 9.5 含水率（%） 7.6 7.1 10.0 8.4 8.3 解法一（手算）：

（1）提出假设：

H0: 三种不同的贮藏方法对这批粮食的含水率影响相同。

H1: 三种不同的贮藏方法对这批粮食的含水率影响不同。 （2）计算离差平方和： SSR???(yi?1j?1mnii.?y..)??ni(yi.?y..)2

2i?1m =[5*(39.9/5)2+3*(19.9/3)2+3*(27.4/3)2]-[11*(87.2/11)2] = 700.65867-691.2582 =9.400485

SSE???(yij?yi.)???y2i?1j?1i?1j?1mni3ni2ij??niyi2.

i?13 = 706.38-700.65867

=5.72133

（3）构造检验统计量并计算样本观测值：

F?SSR/(m?1)MSR9.400485/2???6.5722

SSE/(n?m)MSE5.72133/8（4）做出检验决策：

∵F0.05(2,8) = 4.458968 < 6.5722 检验统计量的样本值落入拒绝域。

∴拒绝原假设H0，接受H1假设，即有显著证据表明三种不同的贮藏方法对这批粮食的含水率的影响是不同的。

22

解法二（利用Excel软件）：请参照课本147-148页上的有关说明。

A B C 7.3 5.4 7.9 8.3 7.4 9.5 7.6 8.4 贮藏方法 含水率（%） 7.1 10 8.3

方差分析：单因素方差分析

54题资料的描述统计概要

方法 A B C

5 3 3

39.9 19.9 27.4

计数 求和

方差分析

差 异 源 组间 组内

总计

SS

df

平均 方差 7.98 0.247 6.633333 1.163333 9.133333 1.203333

MS 4.700242 0.715167

F 6.572234

P-value 0.020491

F crit 4.458968

9.400485 2 5.721333 8

15.12182 10

注：应将Excel的计算结果用文字解释清楚。

55. 从某地区2004年新生男婴总体中简单随机放还地抽取了50名，测量他们的体重如下(单位：克)：

2520，3540，2600，3320，3120，3400，2900，2420，3280，3100，

2980，3160，3100，3460，2740，3060，3700，3460，3500，1600， 3100，3700，3280，2880，3120，3800，3740，2940，3580，2980， 3700，3460，2940，3300，2980，3480，3220，3060，3400，2680，

3340，2500，2960，2900，4600，2780，3340，2500，3300，3640。

试以显著水平?=0.05检验新生男婴体重是否服从正态分布。（取消） 解：

（1）提出假设：

H0 ：新生男婴体重服从正态分布 H1 ：新生男婴体重不服从正态分布 （2）计算样本均值与样本标准差： y=

1n?y=

1*158160= 3163.2（克） 50 23

S=

（ y-y）?= 465.52（克）

2n-1（3）列表：

组号 体重分组 实际频数 （人数）Vi 2 5 7 12 10 8 6 n=50 标准化组限 Z=原组限?y S–∞～-1.53 -1.53～-0.995 -0.995～-0.46 -0.46～0.08 0.08～0.62 0.62～1.15 1.15～+∞ —— ?i 概率P理论 频数 ?i Ei=n·P2（Vi-Ei） EI1 2 3 4 5 6 7 合计 –∞～2450 2450～2700 2700～2950 2950～3200 3200～3450 3450～3700 3700～+∞ —— 0.0630 0.0957 0.1641 0.2091 0.2005 0.1425 0.1251 1.0000 3.15 4.785 8.205 10.455 10.025 7.125 6.255 50 0.4198 0.0097 0.1770 0.2283 0.0001 0.1075 0.0104 0.9528 （4）构造检验统计量并计算样本观测值：

n2（Vi-Ei）=0.9528 EI?2(50)=

?i?1（5）确定临界值和拒绝域：

2自由度 7-2-1=4 x0.05（4）=9.488

拒绝域为：?9.488,??? （6）做出检验决策：

2∵?(50)=0.9528 < x0.05（4）=9.488

2检验统计量的样本观测值落在接受域。

∴不能拒绝H0，即没有显著证据表明新生男婴体重不服从正态分布。

56. 独立重复投掷一枚骰子n次，各种点数实际出现次数的频数分布列如下表。现要检验骰子是否均匀。请写出原假设、备择假设、检验统计量、检验统计量的分布（包括分布的自由度）。

点 数 实际频数 1 2 3 4 5 6 合 计 n1 n2 n3 n4 n5 n6 n 原假设：骰子均匀（或各种点数出现的概率相同） 备择假设：：骰子不均匀（或各种点数出现的概率不相同） 检验统计量：

24

2（实际频数-理论频数）?(n)???理论频数121212 （n1-n）?（n2-n）??（n6-n）6661n62检验统计量近似服从自由度4的?2分布

57．对男性和女性是否喜欢体育运动所进行的民意测验数据如下：

性别 男性 女性 是否喜欢体育运动 喜欢 19 16 一般 15 18 不喜欢 24 16 试以显著性水平0.05检验是否喜欢体育运动与性别有无关系。 解： 性别 男性 女性 合计 是否喜欢体育运动 喜欢 19 16 35 一般 15 18 33 不喜欢 24 16 40 合计 58 50 108 1．提出假设：

H0:?ij??i..?.jH1:?ij??i..?.j

2．构造统计量并计算样本值

58?35258?33258?402)(15?)(24?)2n108108108???????ni..n.j35?5858?3358?40i?1j?1108108108n

50?35250?33250?402(16?)(18?)(16?)108108108????27.59350?3550?3350?4010810810823(nij?ni.n.j)2(19?23．给定显著性水平??0.05，自由度=（2-1）（3-1）=2，则临界值为?(0.05,2)?5.991

??2??(20.05,2)4．比较并结论：?不能接受原假设

即，是否喜欢体育运动与性别相依

58.某商业企业某年第一季度的销售额、库存额及流通费用额资料如下：

销售额（万元） 月初库存额（万元） 流通费用额（万元） 1月 2880 1980 230 2月 2170 1310 195 3月 2340 1510 202 4月 —— 1560 —— 25

试计算第一季度的月平均商品流转次数和商品流通费用率（提示：商品流转次数=销售额÷平均库存额；商品流通费用率=流通费用额÷销售额）。

解：

平均商品流通费用率=

?230?195?202?3?8.48% 平均流通费用额=

?2880?2170?2340?3平均销售额?1.61次

平均商品流转次数=

?2880?2170?2340?3平均销售额=

平均库存额?19801560??1310?1510????4?1?2??2第二季度 597 2070 第三季度 614 2120 第四季度 636 2200 59．某企业2005年工业总产值及职工人数资料如下：

总产值（万元） 季末职工人数（人） 第一季度 565 2018 2005年初职工人数为2010人。试计算该企业全年劳动生产率。

a565?597?614?6362412c====1.1606（万元/人）

b2010?2018?2070?2120?220083132245?160．我国1990-2003年的能源消费总量如下表（数据来源于《中国统计年鉴2004》，单位：万吨标准煤）：

年 份 能源消费总量 年 份 能源消费总量 1990 98703 1997 137798 1991 103783 1998 132214 1992 109170 1999 130119 1993 115993 2000 130297 1994 122737 2001 134914 1995 131176 2002 148222 1996 138948 2003 167800 要求根据上述数据计算：

（1）年平均发展水平和年平均增长量。 （2）年平均增长速度。

（3）指出增长速度超过平均速度的年份有哪些年？ 解：

（1）年平均发展水平

?a98703?103783?109170???148222?1678001801874 a????128705.286(万吨）n1414年平均增长量（1991-2003）

an?a0167800?98703 ????5315.154(万吨）n13（2）平均增长速度（1991-2003）

M?nana0?1?1316780098703?1?4.167%

（3）有91、92、93、94、95、96、2002、2003年

61．试根据已知资料完成问题。

26

年份 1997 1998 1999 2000 2001 产值（万元） 120.0 170.0 与上年相比 增长量（万元） —— 14.0 发展速度（%） —— 105.0 增长速度（%） —— 15.0 （1）根据指标之间的关系，推算出表中空格处的数值，并填入表中。 （2）计算1998～2001年间产值的平均增长量、水平法平均发展速度。 解：

年份 1997 1998 1999 2000 2001 产值（万元） 120.0 (1) 126.0 (4) 140.0 (8) 161.0 170.0 与上年相比 增长量（万元） —— (2) 6.0 14.0 (9) 21.0 (10) 9.0 发展速度（%） —— 105.0 (5) 111.1 (7) 115.0 (11) 105.6 增长速度（%） —— (3) 5.0 (6) 11.1 15.0 (12)5.6 (1)120.0×105.0%=126.0；(2)126.0―120.0=6.0；(3)105.0%―1=5.0%； (4)126.0+14.0=140.0；(5)140.0/126.0=111.1%；(6)111.1%―1=11.1%； (7)15.0%+1=115.0%；(8)140.0×115.0%=161.0；(9)161.0―140.0=21.0； (10)170.0―161.0=9.0；(11)170.0/161.0=105.6%；(12)105.6%―1=5.6%； (13)1998~2001年期间产值的平均增长量

(170.0―120.0)/4=12.5（万元）

(14)1998~2001年期间产值的水平法平均发展速度M

M?4170.0 120.0lgM?1 ?lg170.0?lg120.0??0.0378169184M=109.10%

62．某企业产品销售量历年的增长速度如下：

环比增长速度（%） 定基增长速度（%） 第一年 7 7 第二年 15 第三年 6.6 第四年 30 第五年 39 试求五年间年平均增长速度，并指出增长最快的两年是哪两年？ 解：

第2年的环比增长率为15%/7%=2.14285%

第4年的环比增长率为30%/（7%*2.14285%*6.6%）=0.303% 第5年的环比增长率为39%/30%=1.3%

第三年的定基增长速度为7%*2.14285%*6.6%=98.99967%

5年的平均增长速度=539%= 增长最快的是第一年和第三年

27

63．某服装厂2004年服装生产量为100万件。试求：

（1）预计从2005年起，生产量每年递增10%，问到2010年该厂服装生产量可达到多少？

（2）若希望2010年生产量在2004年基础上翻一番，问2005起每年应以多快的速度增长才能达到预定目标？平均每月递增的速度又该是多少？

解：

（1）当 a0=100 x=110% n=6 时 an=1.1×100=177.156万件 （2）当 a0=100 an=200 n=6 时 x=112.25% 平均每月的递增速度是0.967%（

726200=1.00967） 10064．某玩具公司其A产品的实际销售量资料如下（单位：万元）：

时间序号 实际销售量 1 10 2 12 3 13 4 16 5 16 6 15 7 16 8 17 9 15 要求：试用一次指数平滑法对各期的实际销售量进行修匀并预测第10期A产品的销售量（初始值为10，平滑常数取0.7）。

答：初始值＝10 ??0.7 时间序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 实际销量xt 10 12 13 16 16 15 16 17 15 st??xt?(1??)st?1 0.7×10+（1-0.7）×10=10 0.7×12+（1-0.7）×10=11.4 0.7×13+（1-0.7）×11.4=12.52 0.7×16+（1-0.7）×12.52=14.96 0.7×15+（1-0.7）×14.96=14.99 0.7×16+（1-0.7）×14.99=15.70 0.7×17+（1-0.7）×15.70=16.61 0.7×15+（1-0.7）×16.61=15.48 预测值xt - 10 11.4 12.52 14.96 14.99 15.70 16.61 15.48

65．用某市各月份水产品销售量资料绘制动态折线图。假设已判定该资料属于季节变动稳定的混和型时间数列，试找出这个资料的长期趋势规律和季节影响规律（拟合长期趋势直线模型时用最小平方法）。在同一图上画出长期趋势直线，以及在长期趋势的基础上按季节模型发生季节影响的结果。最后预测2006年12月份水产品销售量。（参考—混合型）

某市2003-2005年各月水产品销售量 单位:万担 2003年 2004年 2005年 1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 0.40 0.35 0.30 0.26 0.27 0.32 0.55 0.72 0.77 0.68 0.42 0.38 0.85 0.78 0.70 0.63 0.45 0.69 1.08 1.63 1.75 1.32 0.95 0.90 1.20 1.03 0.98 0.85 0.95 1.05 1.85 2.13 2.35 2.08 1.45 1.27 解：

28

（1）剔除长期趋势

剔除长期趋势计算表

年月 （甲） 2003 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2004 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2005 1 2 3 4 5 6 7 8 9 销售量 （万担）x （1） 0.40 0.35 0.30 0.26 0.27 0.32 0.55 0.72 0.77 0.68 0.42 0.38 0.85 0.78 0.70 0.63 0.45 0.69 1.08 1.63 1.75 1.32 0.95 0.90 1.20 1.03 0.98 0.85 0.95 1.05 1.85 2.13 2.35 十二项移动 平均（万担） （2） —— —— —— —— —— 0.452 0.489 0.525 0.558 0.589 0.604 0.635 0.679 0.755 0.837 0.890 0.934 0.978 1.007 1.028 1.051 1.069 1.111 1.141 1.205 1.247 1.297 1.360 1.402 1.433 —— —— —— —— 二项移正平均 （万担）T （3） —— —— —— —— —— —— 0.4705 0.5070 0.5415 0.5735 0.5965 0.6195 0.6570 0.7170 0.7960 0.8635 0.9120 0.9560 0.9925 1.0175 1.0395 1.0600 1.0900 1.1260 1.1730 1.2260 1.2720 1.3285 1.3810 1.4175 —— —— —— 季节比率（%） x /T (4)=(1)/(3) —— —— —— —— —— —— 116.90 142.01 142.20 118.57 70.41 61.34 129.38 108.79 87.94 72.96 49.34 72.18 108.82 160.20 168.35 124.53 87.16 79.93 102.30 84.01 77.04 63.98 68.79 74.07 —— —— —— 29

10 11 12

2.08 1.45 1.27 —— —— —— —— —— —— —— （2）编制季节模型

季节模型计算表 单位：%

1月 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 11月 12月 平均 2003年 116.90 142.01 142.20 118.57 70.41 61.34 —— 2004年 129.38 108.79 87.94 72.96 49.34 72.18 108.82 160.20 168.35 124.53 87.16 79.93 —— 2005年 102.30 84.01 77.04 63.98 68.79 74.07 —— 平均 115.84 96.40 82.49 68.47 59.07 73.13 112.86 151.11 155.28 121.55 78.79 70.64 98.8025 季节比率 S=行平均数/98.8025 117.24 97.57 83.49 69.30 59.79 74.02 114.23 152.94 157.16 123.02 79.74 71.50 100.00 （3）找出长期趋势

长期趋势模型最小平方计算表

时序 t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 销售量 （万担） xt 0.55 0.72 0.77 0.68 0.42 0.38 0.85 0.78 0.70 0.63 0.45 0.69 1.08 1.63 1.75 1.32 季节模型（%）S 114.23 152.94 157.16 123.02 79.74 71.50 117.24 97.57 83.49 69.30 59.79 74.02 114.23 152.94 157.16 123.02 销售量 tx?t 0.48 0.94 1.47 2.20 2.65 3.18 5.11 6.40 7.56 9.10 8.25 11.16 12.35 14.98 16.65 17.12 年 月 x?t= xt / S t 22003 2004 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0.48 0.47 0.49 0.55 0.53 0.53 0.73 0.80 0.84 0.91 0.75 0.93 0.95 1.07 1.11 1.07 1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 30

2005 11 12 1 2 3 4 5 6 17 18 19 20 21 22 23 24 300 0.95 0.90 1.20 1.03 0.98 0.85 0.95 1.05 —— 79.74 71.50 117.24 97.57 83.49 69.30 59.79 74.02 —— 1.19 1.26 1.02 1.06 1.17 1.23 1.59 1.42 22.15 289 324 361 400 441 484 529 576 4900 20.23 22.68 19.38 21.20 24.57 27.06 36.57 34.08 325.37 合计

— 用表中数据计算直线参数：

?=bn?tx?t??t?x?ti?1i?1i?1nnn=

n?t?(?t)22i?1i?1nn24*325.37?300*22.151163.88==0.0422 22760024*4900?（300）22.15-0.0422*300=0.3954 2424nn所以拟合的长期趋势模型为：

?? t=0.3954+0.0422t （单位：万担） x

（4）预测

2006年12月外推长期趋势预测值：

??42=0.3954+0.0422t*42=2.17（万担） x2006年12月预测值：

2.17*71.50%=1.55（万担）

66. 我国1995-2003年全社会及国有经济的固定资产投资额数据如下表所示（单位：亿元）。

??ai?1?x?tn??b?ti?1n=

年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 全社会 投资额 200 229 249 284 298 329 372 435 555 国有经济投资额 108 120 130 153 159 165 176 188 216 试利用最小平方法为全社会及国有经济的固定资产投资额拟合直线，并利用趋势外推法预测2005年全社会及国有经济的固定资产投资额。

解：将时间序号t设置为-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，则最小平方法求解直线参数

31

公式为：a???xi?1nin,b???txii?1nni。

?ti?12i计算表见下： 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 全社会投资x 200 229 249 284 298 329 372 435 555 2951 t*t 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 t*x -800 -687 -498 -284 0 329 744 1305 2220 2329 年份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 合计 t -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 0 国有经济投资x 108 120 130 153 159 165 176 188 216 1415 t*t 16 9 4 1 0 1 4 9 16 60 t*x -432 -360 -260 -153 0 165 352 564 864 740

全社会固定资产投资额拟合直线参数：

?a???xi?1nin?i2951?327.88899b??txii?1nn

??ti?12i2329?38.816760全社会固定资产投资额拟合直线为：

xt?327.8889?38.8167*t, 2005年t为6，带入可得2005年全社会固定资产投资额的预测值：?x2005?327.8889?38.8167*6?560.7891百亿元同理可得国有经济固定资产投资额拟合直线：

??xt?157.2222?12.3333*t, 2005年t为6，带入可得2005年国有经济固定资产投资额的预测值：x2005?157.2222?12.3333*6?231.2222百亿元67．某地区1998—2002年某种产品的产量资料如下： 年份 1998 1999 2000 2001

32

产品产量（百吨） 20 22 24 27 ?2002 30 试运用最小平方法拟合直线方程，并预测2003年、2005年这种产品可能达到的产量。 解：先画出散点图及其趋势线

某地区1998-2002年某产品产量散点图产量（百吨）312927252321191715199719981999200020012002年份2003

解法一（手算）：

年份 1998 1999 2000 2001 2002 合计 n序号 1 2 3 4 5 15 产量（百吨） 20 22 24 27 30 123 t 1 4 9 16 25 55 2txt 20 44 72 108 150 394 ?? b?txt?1nt?ntx??nt2?tt?12394?5*3*24.6?2.5

55?5*9?t?24.6?2.5*3?17.1 ??x?ba所求的回归方程为

?t?17.1?2.5tx(单位百吨）预测2003年的产量：

??17.1?2.5*6x 6?32.1(百吨）预测2005年的产量：

??17.1?2.5*7x 7?34.6(百吨） 年份 1 2 3 4 20 22 24 27

解法二（利用Excel软件）：请参照课本186-188页上的有关说明。

产量（百吨） 33

5 30

回归结果概要

回归统计

Multiple R 0.994447 R Square 0.988924 Adjusted R Square 0.985232 标准误差 0.483046 观测值 5 方差分析

回归分析 残差 总计

df 1 3 4

SS 62.5 0.7 63.2

MS 62.5

0.233333

Intercept X Variable 1

17.1 2.5

标准误差 0.506623 0.152753

t 统计量 33.75292 16.36634

F Significance F 267.8571 0.000496

P-值

下限 95.0% 15.4877 2.013873

上限 95.0% 18.7123 2.986127

回归系数

5.72E-05 0.000496

预测2003年及2004年的产量（单位百吨）：

序号 1 2 3 4 5 6 7 预测值x^ 19.6 22.1 24.6 27.1 29.6 32.1 34.6 残差 0.4 -0.1 -0.6 -0.1 0.4 nil nil 从上表可知2003年的可能产量为32.1吨，2004年的可能产量为34.6吨。 注：应能利用Excel的回归结果写出所求的回归方程及预测值。

68．现有某商场下列资料：

月营业收入（千元） 营业员月初人数（人） 1月 700 50 2月 800 45 3月 1000 60 4月 — 40 试计算：

（1）第一季度人均营业收入； （2）第一季度人均一天营业收入。（注：第一季度90天） 解：（1）

34

700?800?1000y3！！ z???16.67 错！

50/2?45?60?40/2x3（2）

700?800?1000y90 错！！！ z??(50?45)/2?31?(60?45)/2?28?(60?40)/2?31x90?0.5565 69．某宾馆1998年～2002年各季度接待游客人次资料如下表，现已判定该资料属于（不含长期趋势的）季节型时间数列。请用按季平均法编制季节模型，并预测2003年各季度接待游客人数。（预测2003年平均水平时要用一次指数平滑法，用1998年平均水平作初始值，平滑常数取0.1）。

1998 1999 2000 2001 2002 一季度 1861 1921 1834 1837 2073 二季度 2203 2343 2154 2025 2414 三季度 2415 2514 2098 2304 2339 四季度 1908 1986 1799 1965 1967 解：1.编制季节模型 年份 1998 1999 2000 2001 2002 平均值 季节指数（%） 一季度 1861 1921 1834 1837 2073 1905.20 90.81 二季度 2203 2343 2154 2025 2414 2227.80 106.19 三季度 2415 2514 2098 2304 2339 2334.00 111.25 四季度 1908 1986 1799 1965 1967 1925.00 91.75 平均值 2096.75 2191.00 1971.25 2032.75 2198.25 2098.00 100.00 2.一次指数平滑法。 年份 1998 1999 2000 2001 2002 季平均值 2096.75 2191.00 1971.25 2032.75 2198.25 st??xt?(1??)st?1,??0.1 —— s1?0.1?2096.75?0.9?2096.75?2096.75 s1?0.1?2191.00?0.9?2096.75?2106.175 s1?0.1?1971.25?0.9?2106.175?2092.6825 s1?0.1?2032.75?0.9?2092.6825?2086.68925 35

2003 —— s1?0.1?2198.25?0.9?2086.68925?2097.845775 2003年第一季预测值：2097.845775×0.9481=1905.05

第二季预测值：2097.845775×1.0619=2227.70 第三季预测值：2097.845775×1.1125=2333.85 第四季预测值：2097.845775×0.9175=1924.77

70．已知某地区近25年粮食单产依次如下表所示（单位：公斤/公顷）。

6240 8460 9510

6390 8340 9600

6975 8550 9630

6885 9120 9810

7755 9165

8280 9360

8505 8775 9180

8445 8640

8505 9375

10155 9570

试用一次指数平滑法（α=0.4）对该地区第26年的粮食单产进行预测。所得到的结果存在什么问题？

答：

?t xxt St 6240 6390 6975 6885 7755 8280 8505 8445 8505 8460 8340 8550 9120 9165 9360 8775 8640 9375 9510 9600 9630 9810 10155 9570 9180 6240 =0.4*6390+0.6*6240=6300 =0.4*6975+0.6*6300=6570 6696 7120 7584 7952 8149 8292 8359 8351 8431 8706 8890 9078 8957 8830 9048 9233 9380 9480 9612 9829 =0.4*9570+0.6*9829=9725 =0.4*9180+0.6*9725=9507 6240 6300 6570 6696 7120 7584 7952 8149 8292 8359 8351 8431 8706 8890 9078 8957 8830 9048 9233 9380 9480 9612 9829 9725 9507

这一序列为趋势型序列，因此不能利用一次指数平滑方法预测，如果使用该方法，得

36

到的预测值会出现滞后现象，也即对序列的趋势反映不足。

71．已知某商店三种商品销售价格和销售量的资料如下：

商品 甲 乙 丙 单位 件 台 套 销售量 基期 5000 3000 1800 报告期 5500 3600 2000 销售价格（元） 基期 20 25 30 报告期 21 28 35 试计算：

（1）销售量个体指数和销售价格个体指数；

（2）销售量总指数及由于销售量变动而增减的销售额；

（3）销售价格总指数及由于销售价格变动而增减的销售额。

72. 某企业只生产甲、乙两种产品，有关的产量和出厂价格资料如下： 产品 甲 乙 单位 件 套 产 量 基期 400 1000 报告期 500 1100 出厂价格（元） 基期 500 800 报告期 450 960 要求：分别用拉氏指数、帕氏指数的公式计算该企业的产量总指数和出厂价格总指数。 解：

产量总指数 1．拉氏公式 Kq??qp?qp1000?500?500?1100?8001130000??113%

400?500?1000?80010000002．派氏公式 Kq??qp?qp1011?500?450?1100?9601281000??112.37%

400?450?1000?9601140000价格总指数 1．拉氏公式 Kp??q?q0p1p0?0400?450?1000?9601140000??114%

400?500?1000?80010000002．派氏公式 Kp??qp?qp1110?500?450?1100?9601281000??113.36%

500?500?1000?800113000073．某地区2004-2005年农产品的收购额及价格变动情况如下表： 农产品 A B C 收购金额（万元） 2004年 160 120 20 2005年 185 110 22 收购价格上涨率（%） 10 -5 2 37

试计算该地区的农产品收购价格总指数，并据以分析农产品收购价格变化对农民收入的影响。（加权算术、加权调和）

74．某企业三种产品个体价格指数和销售额资料如下表：

产品名称 甲 乙 丙 计量单位 件 米 斤 个体价格 指数（%） 102 95 100 销售额（万元） 基期 50 20 100 报告期 95 20 120 要求：计算价格总指数和销售量总指数。 解： 价格总指数=

95?20?120235235?q1p1????100.346% 1952012093.137?21.05?120234.1869q1p1???kp102?0% 销售额总指数=（95+20+120）/（50+20+100）=138.2353%

销售量总指数=销售额总指数/价格总指数=138.2353%/100.346%=137.7586%

75．某企业生产两种产品，其产量和成本资料如下： 产品 A B 计量单位 只 件 产 量 基期 1000 2200 报告期 1250 2300 单位成本（元） 基期 12 150 报告期 10 152 试从相对数和绝对数两个方面对该企业总成本变动进行因素分析。 解： 产品 甲 乙 合计 计量 单位 只 件 —— 基期 1000 2200 —— 产量 报告期 1250 2300 —— 单位成本(元) 基期 12 150 —— 报告期 10 152 —— p0q0 总成本（元） p0q1 15000 345000 360000 p1q1 12000 330000 342000 12500 349600 362100 （1）企业总成本变动： ?pq?pq0110?362100?105.87%

34200000?pq??pq11=362100-342000=20100（元）

（2）产量变动对总成本变动的影响：

?pq?pq0010?360000?105.26%

34200000?pq??pq01=360000-342000=18000（元）

（3）单位成本变动对总成本变动的影响：

38

?pq?pq1101?362100?100.58%

360000?pq??pq=362100-360000=2100（元）

1101（4）两因素共同影响：

105.87%=105.26%*100.58% 20100=18000+2100

76．（取消）某企业生产两种设备，其产量及其消耗原材料的有关资料如下：

产品 甲 乙 产量（台) 基期 1000 500 报告期 1200 800 原材料单耗(千克/台） 原材料价格（元/千克） 基期 300 250 报告期 270 220 基期 25 21 报告期 28 20 要求：根据表中数据分析各种因素对这两种产品的原材料消耗总额的变动的影响。 解： 产品 产量（台） 单耗 （转／台） MM 0价格 （元／千克） P P 0q0M0P0 7500000 2625000 10125000 q1M0P0 9000000 4200000 13200000 q1M1P0 8100000 3696000 11796000 q1M1P19072000 3520000 12592000 q0 甲 乙 合计 1000 500 q1 1200 800 11300 250 270 220 25 28 ? ? ? ? ? 21 ? 20

原材料消耗总额=产量(q)分析对象： 相对变动：

?产耗（M）?价格（P）

?q1M1P1?12592000?124.37% ?q0M0P010125000?q1M1P1??q0M0P0?12592000?10125000?2467000(元)

绝对差额的便动：

（1）产量变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：?q1M0P013200000

??130.37%?q0M0P010125000绝对差额的影响：

?q1M0P0??q0M0P0?13200000?10125000?3075000(元)

（2）单耗变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：?q1M1P0绝对差额的影响：

?11796000?89.36%

?q1M0P013200000?q1M1P0??q1M0P0?11796000?13200000??1404000(元)

39

（3）原材料价格的变化对原材料消耗总额的影响： 相对变动的影响：?q1M1P1?12592000?106.75%

?q1M1P012796000绝对差额的影响：

?q1M1P1??q1M1P0?12592000?11796000?796000(元)

（4）共同影响：

相对变动关系式：124.37%=130.37%? 89.36%?106.75% 绝对差额关系式：2467000=3075000-1404000+796000

以上计算表明该企业原材料消耗总额报告期比基期上升了124.37%，增加了2467000元。其中，因为常量增长130.37%，减少1404000元，因各种原材料价格的上升增长了106.75%，增加了796000元。

77．某企业某种产品基期和报告期的销售情况如下： 产品等级 基期x0 1 2 3 30 25 15 报告期x1 35 28 15 基期f0 58 25 17 报告期f1 96 30 4 单价（元/件） 销售量（百件） 要求：对该产品平均价格的变动进行因素分析。并说明该企业产品质量变化对企业销售收入的影响。 解： x0f0 1740 625 255 2620 x1f1 3360 840 60 4260 x0f1 2880 750 60 3690

分析对象：

?x1f14260相对变动 ?f1=130=32.769=125.07%

?x0f0262026.2?f0100变动的绝对差值

?x1f1?x0f042602620-=-=32.769-26.2=6.569（元/件） 130100?f1?f0（1）销售量构成变动的影响：

?x0f13690对相对变动的影响 ?f1=130=28.385=108.34%

?x0f0262026.2?f0100

40

对绝对差额的影响

?x0f1?x0f036902620-=-=28.385-26.2=2.185（元/件）

?f1?f0130100（2）单价变动的总影响：

?x1f14260?f1=130=32.769=115.45%

对相对变动的影响

对绝对差额的影响 （3）综合影响

相对变动关系式： 绝对差额关系式：

?x0f1369028.385?f1130?x1f1?x0?f-f1=4260-3690=32.769-28.385=4.384（元/件）1?f1130130125.07%=108.34%*115.45% 6.569=2.185+4.384 41