第十二章 稳恒磁场
?12.1 均匀磁场的磁感强度B垂直于半径为r的圆面．今以该圆周为边线，作一半球面S，则
通过S面的磁通量的大小为
(A) 2?rB． (B) ?rB．
(C) 0． (D) 无法确定的量． ［ B ］
12.2 载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a2 )通有相同电流I．若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为 (A) 1∶1 (B)
(C)
2?∶4 (D)
2?∶1
2
2
2?∶8 ［ D ］
a1 O1 I a2 O2 I
12.3 如图，两根直导线ab和cd沿半径方向被接到一个截面处处相等的铁环上，稳恒电流
???I从a端流入而从d端流出，则磁感强度B沿图中闭合路径L的积分?B?dl等于
L (A) ?0I． (B)
13?0I．
(C) ?0I/4． (D) 2?0I/3． ［ D ］
I a b L 120° c I d
12.4 在匀强磁场中，有两个平面线圈，其面积A1 = 2 A2，通有电流I1 = 2 I2，它们所受的最大磁力矩之比M1 / M2等于
(A) 1． (B) 2．
(C) 4． (D) 1/4． ［ C ］
12.5 如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况对着从大平板看是：
1
I1 I2
(A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动．
(C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［ B ］ 12.6 无限长直导线在P处弯成半径为R的圆，当通以电流I时，则在圆心O点的磁感强度大小等于
?I?I (A) 0． (B) 0． (C) 0．
2?R?R?I?I11(D) 0(1?) (E) 0(1?)． ［ D ］
2R?4R? I R O P
12.7 一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管，两螺线管单位长度上的匝数相等．设R = 2r，则两螺线管中的磁感强度大小BR和Br应满足： (A) BR = 2 Br． (B) BR = Br．
(C) 2BR = Br． (D) BR = 4 Br． ［ B ］
12.8如图所示，一无限长直导线通有电流I =10 A，在一处折成夹角??＝60°的折线，求角平分线上与导线的垂直距离均为r =0.1 cm的P点处的磁感强度．(?0 =4?×10 H·m)
-7
-1
?rrP?? ?解：P处的B可以看作是两载流直导线所产生的，B1与B2的方向相同．
B?B1?B2 ??0I4?r[sin60??sin(?90?)]??0I4?r[sin90??sin(?60?)] 3分
-3
?2?0I4?r方向垂直纸面向上． 1分
2
(sin90??sin60?)?3.73×10 T 1分
12.9 如图所示，半径为R，线电荷密度为? (>0)的均匀带电的圆线圈，绕过圆心与圆平面
?垂直的轴以角速度??转动，求轴线上任一点的B的大小及其方向．
y R O ??
解： I?R?? 1分
B?By??0R??223/232(R?y)?B的方向与y轴正向一致． 1分
3分
12.10均匀带电刚性细杆AB，线电荷密度为?，绕垂直于直线的轴O以??角速度匀速转动(O点在细杆AB延长线上)．求： (1) O点的磁感强度B0； (2) 系统的磁矩pm；
(3) 若a >> b，求B0及pm．
解：(1) 对r～r+dr段，电荷 dq = ? dr，旋转形成圆电流．则
dq????dr 2分 dI?2?2???它在O点的磁感强度 ?dI???0dr dB0?0 1分 ?2r4?rB0??dB0?2???4?a?b0?adrr????4?0lna?ba 2分
方向垂直纸面向内．
(2) dpm??rdI?a?b12??rdr 1分
22 pm?方向垂直纸面向内．
(3) 若a >> b，则 ln B0??dpm?a?ba?ba?a12??rdr???[(a?b)3?a3]/6 2分
， ? 4?a4?a过渡到点电荷的情况． 2分
33?0??b??0q同理在a >> b时， (a?b)?a(1?3b/a)，则 pm???6a?33ba?12q?a
2也与点电荷运动时的磁矩相同． 2分
3
O a A b B ?? O r a b dr
12.11如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，面电荷密度为?．该筒以角速度?绕其轴线匀速旋转．试求圆筒内部的磁感强度．
??????a f e i b c d ??R
解：如图所示，圆筒旋转时相当于圆筒上具有同向的面电流密度i， i?2?R??/(2?)?R?? 3分
?作矩形有向闭合环路如图中所示．从电流分布的对称性分析可知，在ab上各点B的大小和
??方向均相同，而且B的方向平行于ab，在bc和fa上各点B的方向与线元垂直，在de,
?fe,cd上各点B?0．应用安培环路定理
?? ?B?dl??0?I 2分
可得 Bab??0iab
B??0i??0R?? 2分
圆筒内部为均匀磁场，磁感强度的大小为B??0R??，方向平行于轴线朝右．
1分
12.12 一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一边是S平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通过沿导线长度方向长为1m的一段S平面的磁通量．
(真空的磁导率?0 =4?×10-7 T·m/A，铜的相对磁导率?r≈1)
S x R S dx
解：在距离导线中心轴线为x与x?dx处，作一个单位长窄条，其面积为
dS?1?dx．窄条处的磁感强度
??Ix B?r02 2分
2?R??Ix所以通过dS的磁通量为 d??BdS?r02dx
2?R通过１m长的一段S平面的磁通量为
4
R ??
?0?r?0Ix2?R2dx??r?0I4??10?6 Wb 3分
?12.13在一顶点为45°的扇形区域，有磁感强度为B方向垂直指向纸面内的均匀磁场，如
图．今有一电子(质量为m，电荷为-e)在底边距顶点O为l的地方，以垂直底边的速度 v射入该磁场区域，若要使电子不从上面边界跑出，电子的速度最大不应超过多少？
? B ? O 45°
l v
解：电子进入磁场作圆周运动，圆心在底边上．当电子轨迹 与上面边界相切时，对应最大速度，此时有如图所示情形．
(l?R)sin45??R ∴ R?l/(2?1)?(2?1)l 由 R?mv/(eB)，求出v最大值为 v?eBRm?(2?1)leBm
R O 45° l R O′
12.14有一无限大平面导体薄板，自下而上均匀通有电流，已知其面电流密度为i (即单位宽度上通有的电流强度)．
(1) 试求板外空间任一点磁感强度的大小和方向．
(2) 有一质量为m，带正电荷q的粒子，以速度v沿平板法线方向向外运动(如图)，求： (a) 带电粒子最初至少在距板什么位置处才不与大平板碰撞？ (b) 需经多长时间，才能回到初始位置(不计粒子重力)？
?i ?v 5
解：(1) 由安培环路定理：
B?12?0i (大小) 方向：在板右侧垂直纸面向里 3分
(2) 由洛伦兹力公式可求 R?mv/(qB) (至少从距板R处开始向外运动)
返回时间 T?2?R/v?4?m/(q?0i) 2分
?12.15 一圆线圈的半径为R，载有电流I，置于均匀外磁场B中(如图示)．在不考虑载流圆?线圈本身所激发的磁场的情况下，求线圈导线上的张力．(载流线圈的法线方向规定与B的
方向相同．)
I R I ?Fm?B R O T T D ?B C
解：考虑半圆形载流导线CD所受的安培力 Fm?IB?2R 3分 列出力的平衡方程式 IB?2R?2T
故： T?IBR 2分
12.16半径为R的半圆线圈ACD通有电流I2，置于电流为I1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I1的磁力．
y dFy dF A I1 D C I2 O ??dFx x I2 R I1
解：长直导线在周围空间产生的磁场分布为 B??0I1/(2?r)取xOy坐标系如图，则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为：
?0I1 B?， 方向垂直纸面向里， 3分
2?Rsin?式中? 为场点至圆心的联线与y轴的夹角．半圆线圈上dl段线电流所受的力为：
?? dF?I2dl?B?I2Bdl
??0I1I22?Rsin? dFy?dFsin?．
Rd? 3分
根据对称性知： Fy =?dFy?0
? ， dFx?dFcos
6
? Fx??dFx?0?0I1I22????0I1I22
∴半圆线圈受I1的磁力的大小为：
?II F?012， 方向：垂直I1向右． 4分
2
12.17如图，一半径为R的带电塑料圆盘，其中半径为r的阴影部分均匀带正电荷，面电荷密度为+??，其余部分均匀带负电荷，面电荷密度为-?。?当圆盘以角速度??旋转时，测得圆盘中心O点的磁感强度为零，问R与r满足什么关系？
O R r ??
解：带电圆盘转动时，可看作无数的电流圆环的磁场在O点的叠加．
某一半径为??的圆环的磁场为 dB??0di/(2?) 2分
而 di??2??d??[?/(2?)]????d?∴ dB??0???d?/(2?)?r
2分 r 2分
12?0??d?正电部分产生的磁感强度为 B??R?0?0??2d??d???0??2负电部分产生的磁感强度为 B???r?0??2?0??2(R?r)
今 B??B? ∴ R?2r 2分
12.18有一闭合回路由半径为a和b的两个同心共面半圆连接而成，如图．其上均匀分布线密度为??的电荷，当回路以匀角速度??绕过O点垂直于回路平面的轴转动时，求圆心O点处的磁感强度的大小．
解： B?B1?B2?B3
B1、B2分别为带电的大半圆线圈和小半圆线圈转动产生的磁感强度，B3为沿直径的带电线段转动产生的磁感强度．
?I????b?0?????b? I1?， B1?01?0 3分
2?2b2b?2?4
7
b O a 2a2a?2?4 dI3?2??dr/(2?)
b I2????a2?， B2??0I2??0???a??0?? 3分
B3??a?0??2??drr??0??2?blnba
2?a12.19 已知半径之比为2∶1的两载流圆线圈各自在其中心处产生的磁感强度相等，求当两
B??0??(??ln) 4分
线圈平行放在均匀外场中时，两圆线圈所受力矩大小之比．
解：设两圆线圈半径分别为R1，R2，分别通以电流I1，I2．则其中心处磁感强度分别为：
?I?IB10?01，B20?02
2R12R2已知B10?B20，∴ I1/I2?R1/R2 2分
???? 设外磁场磁感强度为B，两线圈磁矩p1和p2与B夹角均为??，则两线圈所受力矩大小
M1?p1Bsin???R1I1Bsin?
2 M
2?p2Bsin???R2I2Bsin? 2分
2M1M2?R1I1R2I222?R1?????R??8 1分 ?2?3
12.20在一平面内有三根平行的载流直长导线，已知导线1和导线2中的电流I1 = I2流向相同，两者相距d，并且在导线1和导线2之间距导线1为a = d/3处B = 0，求第三根导线放置的位置与所通电流I3之间的关系．
I3 a I1 I2 x x 0 B = 0
解：取x坐标如图（原点在I1处）．设第三根导线放在与I1相距为x处，电流流向同于I1，则有
?0I2?I?0I3?01? B??0 2分
2??2a2??a2??(a?x)
I3(a?x)??2I1a
?2I3??a 2分 ?1即 x???I??1?当I3与I1同方向时，第三根导线在B = 0处的右侧，当I2与I1反方向时，第
三根导线在B = 0处的左侧． 1分
8
12.21如图，半径为a，带正电荷且线密度是? (常量)的半圆以角速度??绕轴O′O″匀速旋转．求：
? (1) O点的B；
? (2) 旋转的带电半圆的磁矩pm．
?(积分公式
?sin?d??0212???)
O′ O′ ????O a O O″ d??
解：(1) 对?～??+d??弧元，dq??ad?，旋转形成圆电流
dI?22O″
?2?dq???2?ad? 2分
它在O点的磁感强度dB为：
dB? B??0asin???2a?32?2ad???0??4??sin?d? 3分
24?0?8?a?B的方向向上． 1分
13222 (2) dpm??asin?(??/2?)ad????asin?d? 3分
2??dB??0???sin?d???0???0?q 1分
pm??dpm??012??asin?d?????a3/4??qa2/4 1分
32?pm的方向向上． 1分
12.22如图，一无限长圆柱形直导体，横截面半径为R，在导体内有一半径为a的圆柱形孔，它的轴平行于导体轴并与它相距为b，设导体载有均匀分布的电流I，求孔内任意一点P的磁感强度B的表达式．
R I O b O? a P
解∶电流密度 J?I?(R?a)22 1分
P点场强为充满圆柱并与I同向的电流I10，及充满孔并与I反向的电流I20的场叠加而成．取垂直于圆柱轴并包含P点的平面，令柱轴与孔轴所在处分别为O与O?，P点与两轴的距离分别为r1与 r2，并建立坐标如图．利用安培环路定理可知P点场强为与I同向的I1和与I
9
反向的I2的场的叠加，且有
I1?J?r12 ， I2?J?r22
B1? B2???B1，B2方向如图所示．
???0I12?r1???02r1J 2分 r2J 2分
?0I22?r2??02P点总场
B?B1?B2 Bx?B2sin?2?B1sin?1??1?B2cos?2? By?B1cos?02J(r2sin?2?r1sin?1)?0 3分 J(r1cos?1?r2cos?2)??02?02Jb 3分
B?By??02Jb??0bI2?(R?a)22 1分
B与r1， r2无关，可知圆柱孔内为匀强场，方向沿y轴正向．
?J P ⊙ r1r2??OC OC′ y?B1 ????C? ?? B2 P r1C? ??O r2???C O′ xC
?J
?12.23如图所示，有一电子以初速v 0沿与均匀磁场B成??角度的方向射入磁场空间．试证明当图中的距离L?2?menv0xcos?/(eB)时，(其中me为电子质量，e为电子电荷的绝对值，
n = 1，2……)，电子经过一段飞行后恰好打在图中的O点．
e ? v0 ???B L O
证： 设电子飞行时间为t，其作螺旋运动的周期为T，则：
L?v0cos??t ① 1分
T?2?me/(eB) ② 2分
当t = nT时，电子能恰好打在O点．
∴ L?v0cos??nT?2?menv0cos?/(eB) 2分
10
第十三章 磁介质
?13.1 关于稳恒电流磁场的磁场强度H，下列几种说法中哪个是正确的？ ? (A) H仅与传导电流有关． ? (B) 若闭合曲线内没有包围传导电流，则曲线上各点的H必为零． ? (C) 若闭合曲线上各点H均为零，则该曲线所包围传导电流的代数和为零．
?(D) 以闭合曲线Ｌ为边缘的任意曲面的H通量均相等． ［ C ］
13.2 磁介质有三种，用相对磁导率?r表征它们各自的特性时， (A) 顺磁质?r >0，抗磁质?r <0，铁磁质?r >>1． (B) 顺磁质?r >1，抗磁质?r =1，铁磁质?r >>1．
(C) 顺磁质?r >1，抗磁质?r <1，铁磁质?r >>1．
(D) 顺磁质?r <0，抗磁质?r <1，铁磁质?r >0． ［ C ］
2
13.3 一均匀磁化的磁棒，直径为d＝25 mm，长L＝75 mm，磁矩为pm＝12000 A·m．求磁棒表面磁化电流密度iS．
解： pm =iS LS 3分
S = ?d 2 / 4 p4pm8 iS?m? A/m 2分 ?3.26?102LS?Ld
13.4螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率?r = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小．
解： H?nI?NI/l?200 A/m 3分
B??H??0?rH?1.06 T 2分
???13.5一根沿轴向均匀磁化的细长永磁棒，磁化强度为M，求图中标出各点的B和H．
2451367
解：把磁棒看作nI = i'的无限长螺线管，则
?? B1 = ?0i' =?0M ，B1??0M 2分
??因螺线管无限长，∴ B2?B3?0 2分
?????1和螺线管一样，在端面附近有 B4?B5?B6?B7??0M 2分
2 11
??????B1?介质棒内 H??M， H1?0， H5?H6??M 2分
2?0介质棒外 H2?H3?0 ， H4?H7?????1?M 2分 2
2
13.6 一铁环中心线周长l = 30 cm，横截面S = 1.0 cm，环上紧密地绕有N = 300 匝线圈．当导线中电流I = 32 mA 时，通过环截面的磁通量? = 2.0×10-5 Wb．试求铁芯的磁化率?m．
-2
解： B = ? /S=2.0×10 T 2分 H?nI?NI/l?32 A/m 2分 ??B/H?6.25×10-4 T·m/A 2分
?m??/?0?1?496 2分
?13.7在磁化强度为M的均匀磁化的无限大磁介质中，挖出一个半径为R的球形腔．求此腔表面的磁化电流面密度和磁化电流产生的磁矩．
z ?M?? R ? r ?j dl
????解：磁化电流面密度为：j?M?n。式中n是磁介质表面法线方向单位矢量，方向指向球心．
设：M的方向与z轴重合，则 j = Msin?，方向如图所示． 3分 选择一宽度为dl=Rd??的圆环，它产生的磁矩为：
dpm??r?j?dl
2
??RMsin??sin??R?d????RMsin??dcos? 3分
2232总磁矩为： pm??dpm???RM3??1?cos?02??dcos?
?1??33??cos????4/3??R3M 3分 ???RM?cos3??0???pm方向与z轴方向相反，即pm与M反向，写成矢量式为：
??3 pm???4/3??RM 1分
13.8 一根同轴线由半径为R1的长导线和套在它外面的内半径为R2、外半径为R3的同轴导体圆筒组成．中间充满磁导率为?的各向同性均匀非铁磁绝缘材料，如图．传导电流I沿导线向上流去，由圆筒向下流回，在它们的截面上电流都是均匀分布的．求同轴线内外的磁感强度大小B的分布．
12
R3 R2 R1 I I
解：由安培环路定理：
?H??dl???Ii
0< r 1 R1< r H?I?I2?r， B?2?r I(r2 R?R22< r 2 H?I2?r(1?r2?R22R22 3?R) 222 B???0I(1?r?R20H?2?rR2?R2)32 r >R3区域： H = 0，B = 0 13 第十四章 电磁感应 ?14.1半径为a的圆线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，线圈 ?电阻为R；当把线圈转动使其法向与B的夹角??=60°时，线圈中通过的电荷与线圈面积及转动所用的时间的关系是 (A) 与线圈面积成正比，与时间无关． (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比． (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比． (D) 与线圈面积成反比，与时间无关． ［ A ］ 14.2一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO′轴，以匀角速度?旋转(如图所示)．设t =0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为 O ?? ? b B a O′ (A) 2abB | cos? t |． (B) ? abB (C)?abBcos?t． (D) ? abB | cos? t |． 21(E) ? abB | sin? t |． ［ D ］ ??14.3如图，长度为l的直导线ab在均匀磁场B中以速度v移动，直导线ab中的电动势为 (A) Blv． (B) Blv sin?． (C) Blv cos?． (D) 0． ［ D ］ l b a ???? v ?B ?14.3 圆铜盘水平放置在均匀磁场中，B的方向垂直盘面向上．当铜盘绕通过中心垂直于 盘面的轴沿图示方向转动时， ?B O 14 (A) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的相反方向流动． (B) 铜盘上有感应电流产生，沿着铜盘转动的方向流动． (C) 铜盘上产生涡流． (D) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘边缘处电势最高． (E) 铜盘上有感应电动势产生，铜盘中心处电势最高． ［ D ］ 14.5 自感为 0.25 H的线圈中，当电流在(1/16) s内由2 A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为： (A) 7.8 ×10-3 V． (B) 3.1 ×10-2 V． (C) 8.0 V． (D) 12.0 V． ［ C ］ 14.6 两个相距不太远的平面圆线圈，怎样可使其互感系数近似为零？设其中一线圈的轴线恰通过另一线圈的圆心． (A) 两线圈的轴线互相平行放置． (B) 两线圈并联． (C) 两线圈的轴线互相垂直放置． (D) 两线圈串联． ［ C ］ 14.7 面积为S和2 S的两圆线圈1、2如图放置，通有相同的电流I．线圈1的电流所产生的通过线圈2的磁通用?21表示，线圈2的电流所产生的通过线圈1的磁通用?12表示，则?21和?12的大小关系为： I I 1 2 S 2 S (A) ?21 =2?12 (B) ?21 >?12． (C) ?21 =?12． (D) ?21 = 12?12． ［ C ］ 12LI214.8用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式Wm? (A) 只适用于无限长密绕螺线管． (B) 只适用于单匝圆线圈． (C) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺绕环． (D) 适用于自感系数Ｌ一定的任意线圈． ［ D ］ 14.9有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为?1和?2．设r1∶r2=1∶2，?1∶?2=2∶1，当将两只螺线管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为： (A) L1∶L2=1∶1，Wm1∶Wm2 =1∶1． (B) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶1． (C) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶2． (D) L1∶L2=2∶1，Wm1∶Wm2 =2∶1． ［ C ］ 15 14.10真空中一根无限长直细导线上通电流I，则距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为 ?I2?I11 (A) ?0(0)2 (B) (0) 2?02?a22?a(C) ?I2112?a2(0) ［ B ］ () (D) 2?02a2?0I 14.11 一忽略内阻的电源接到阻值R＝10?的电阻和自感系数L＝0.52 H的线圈所组成的串联电路上，从电路接通计时，当电路中的电流达到最大值的90%倍时，经历的时间是： (A) 46 s． (B) 0.46s． -3 (C) 0.12 s (D) 5.26×10 s． ［ C ］ 14.12一个自感系数为0.05 mH，电阻为0.01?的线圈连接到内阻可以忽略的电池上，则开关接通后经过_____________s，线圈中电流达到最大值的90％． (答0.0115) -36 14.13电容器电容C = 5 ?F，极板带有电荷Q = 1×10 C．通过一个R = 1×10 ?的电阻放 电，经历时间t = 5 s时电容器两极板间电势差为U = __________． （答73.6 V ） 参考解： U?QCexp?(tRC)?73.6 V 14.14如图，在电容器充电电路中，R = 2000 ?，C = 100 ?F，? = 100 V，则充电开始时的最大电流imax = ___________．充电完毕时电容器上的电势差UC =_______________________． （答：50 mA，100 V） 14.15在图示的电路中，R = 2000 ?，C = 100 ?F，? = 100 V，则电路的时间常数为_________．一般认为电容器的电势差uC达到最大值的99％以上为电容器充电完毕，则充电时间t应大于___ ___ ． （答：0.2 s，0.921 s） 14.16.如图所示，有一根长直导线，载有直流电流I，近旁有一个两条对边与它平行并与它 ?共面的矩形线圈，以匀速度v沿垂直于导线的方向离开导线．设t =0时，线圈位于图示位置，求 I a b l?v (1) 在任意时刻t通过矩形线圈的磁通量?． (2) 在图示位置时矩形线圈中的电动势?． 解：(1) Φ(t)??S??B?dS??2?r?0Ildr??0Il2?b?vta?vt??Ilb?vtdr?0ln 3分 r2?a?vt 16 (2) ???dΦdt?t?0?0lIv(b?a)2?ab 2分 14.17 如图所示，长直导线AB中的电流I沿导线向上，并以dI /dt =2 A/s的变化率均匀增长．导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图 -7 所示．求此线框中产生的感应电动势的大小和方向．(???=4?×10 T·m/A)。 Bcm I20 A5 cm10 cm 解：建立坐标如图所示，则直角三角形线框斜边方程y =-2x + 0.2 (SI) 在直角三角形线框所围平面上的磁通量为 b ???2?(x?0.05)0?0Iydx??0I2?b?[0?2x?0.2x?0.05]dx ???0Ib??0.05-8 ＝2.59×10 I (SI) 三角形线框中的感应电动势大小为 ????????? =-d? /dt=-2.59×10-8 (dI /dt)=–5.18×10-8 V 其方向为逆时针绕行方向． ?0.15?0Ilnb?0.05 ??14.18一面积为S的单匝平面线圈，以恒定角速度?在磁感强度B?B0sin?tk的均匀外磁 ??场中转动，转轴与线圈共面且与B垂直（ k为沿z轴的单位矢量）．设t =0时线圈的正法 ?向与k同方向，求线圈中的感应电动势． 解： ??BScos?t?B0Ssin?tcos?t 2分 22(?t) d?/dt?B0S(?sin?t?cos?t)??B0S?cos2(?t) 3分 ?i??B0S?cos2 14.19如图所示，一半径为r2电荷线密度为?的均匀带电圆环，里边有一半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2 >> r1)，当大环以变角速度?????t)绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中的感应电流．其方向如何？ O r1 ??t?? r2 ?? 解：大环中相当于有电流 I??(t)??r2 2分 这电流在O点处产生的磁感应强度大小 17 B??0I/(2r2)?1212?0?(t)? 2分 以逆时针方向为小环回路的正方向， ??∴ ?i??d?dt??122?0?(t)??r1 2分 ??0?r12d?(t)dt2 2分 i??iR2Rdt方向：d?(t) /dt >0时，i为负值，即i为顺时针方向． 1分 d?(t) /dt <0时，i为正值，即i为逆时针方向． 1分 ????0?r1?d?(t) 14.20电荷Q均匀分布在半径为a、长为L ( L >>a)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度 ?绕中心轴线旋转．一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)．若圆筒 转速按照???0(1?t/t0)的规律(??0和t0是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向． 2a a z ??L 解：筒以?旋转时，相当于表面单位长度上有环形电流 QL??2?，它和通电流螺线管的nI等 效．按长螺线管产生磁场的公式，筒内均匀磁场磁感强度为： ?0Q? B? (方向沿筒的轴向) 4分 2?L筒外磁场为零．穿过线圈的磁通量为： 2分 2L在单匝线圈中产生感生电动势为 ???d?dt? ???aB?2?0Q?a2?0Qa2L?2(?2d?dt)??0Qa?02Lt02 2分 感应电流i为 i??R?0Qa?02RLt0 1分 i的流向与圆筒转向一致． 1分 14.21两个半径分别为R和r的同轴圆形线圈相距x，且R >>r，x >>R．若大线圈通有电流I而小线圈沿x轴方向以速率v运动，试求x =NR时(N为正数)小线圈回路中产生的感应电动势的大小． 18 x r I R v x 解：由题意，大线圈中的电流Ｉ在小线圈回路处产生的磁场可视为均匀的． B??02?IR2223/24?(R?x)??0IR2(R2223/2?x) 3分 故穿过小回路的磁通量为 22???0?0?rRIIR2?r? ??B?S?223/232(R?x)2x2 2分 由于小线圈的运动，小线圈中的感应电动势为 22223?0?rIRdx3?0?rRId? ?i???v 2分 44dtdt2x2x当x =NR时，小线圈回路中的感应电动势为 242 ?i?3?0?rIv/(2NR) 1分 B ?14.22如图所示，有一弯成??角的金属架COD放在磁场中，磁感强度B的方向垂直于金属架 ??COD所在平面．一导体杆MN垂直于OD边，并在金属架上以恒定速度v向右滑动，v与 MN垂直．设t =0时，x = 0．求下列两情形，框架内的感应电动势?i． ? (1) 磁场分布均匀，且B不随时间改变． (3) 非均匀的时变磁场B?Kxcos?t． 解：(1) 由法拉第电磁感应定律：??B ?i??d?/dt??d(1212xy12y?tg?x x?vt 2分 Btg?2xdx/dt?Btg?vt 2dt2Btg?x) ??在导体MN内?i方向由M向N． M C O ????B ?????? d?? x ? v D N (2) 对于非均匀时变磁场 B?Kxcos?t 取回路绕行的正向为O→N→M→O，则 dΦ?BdS?B?d? ???tg? 19 2d??B?tg?d??K?cos?ttg?d? x ???d???13?K?cos?ttg?d??032213Kx3cos?ttg? 3分 ?i =?dΦdtK?xsin?ttg??Kxvcos?ttg? 1 ?Kv3tg?(?t3sin?t?t2cos?t) 3分 3?i >0，则?i方向与所设绕行正向一致，?i <0，则?i方向与所设绕行正向相反 MCO?? x?B?v DN 14.23 如图所示，真空中一长直导线通有电流I (t) =I0e-?t (式中I0、?为常量，t为时间)，有一带滑动边的矩形导线框与长直导线平行共面，二者相距a．矩形线框的滑动边与长直导线垂直，它的长度为b，并且以匀速v(方向平行长直导线)滑动．若忽略线框中的自感电动势，并设开始时滑动边与对边重合，试求任意时刻t在矩形线框内的感应电动势??i并讨论??i方向． I (t) a b? I (t) a y ?i?v 解：线框内既有感生又有动生电动势．设顺时针绕向为??i的正方向．由??i = ?d??/d t出发，先求任意时刻t的??(t) ?(t)? ? ?a?b d y x (t) v ????B?dS ?a?0I(t)2?yx(t)dy 2分 2分 2?a再求??(t)对t的导数： ?d?(t)a?bdIdx?0(ln)(x?I) dt2?bdtdt???t ?0I0ev(1??t)lna?b (x?vt) 2?aI(t)x(t)ln?0a?b?∴ ??i??d??0vI0e??t(?t?1)lna?b 4分 dt2?a?i方向：??t <1时，逆时针；??t >1时，顺时针． 2分 20 [动生电动势、感生电动势] 14.24载有电流的I长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN的连 ?线与长直导线垂直．半圆环的半径为b，环心O与导线相距a．设半圆环以速度 v平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压UM ? UN ． ? v e b I M N O a ???解：动生电动势 ?MeN??(v?B)?dl MN为计算简单，可引入一条辅助线MN，构成闭合回路MeNM, 闭合回路总电动势 ?? v B e b I M N O x a ?总??MeN??NM?0， ?MeN???NM??MN 2分 ?MN?????(v?B)?dl?MNa?b?a?b?v?0I2?xdx???0Iv2?lna?ba?b 负号表示?MN的方向与x轴相反． ?MeN???0Iv2?lna?ba?b 方向N→M lna?b UM?UN???MN??0Iv2?a?b?14.25求长度为L的金属杆在均匀磁场B中绕平行于磁场方向的定轴OO＇转动时的动生电 ?动势．已知杆相对于均匀磁场B的方位角为?，杆的角速度为?，转向如图所示． ?B O′ ??? L O ??? 21 解：在距O点为l处的dl线元中的动生电动势为 d???(v?B)?dl v??lsin? ???∴ ???(v?B)?dl?L????vBsin(L12?)cos?dl L2 ???lBsin?dlsin???Bsin??ldl ??01222?BLsin? ?的方向沿着杆指向上端． O′ ?B ?dl??????? l O ??v?B 14.26如图所示，一长直导线中通有电流I，有一垂直于导线、长度为l的金属棒AB在包含 ?导线的平面内，以恒定的速度v沿与棒成?角的方向移动．开始时，棒的A端到导线的距离为a，求任意时刻金属棒中的动生电动势，并指出棒哪端的电势高． I A a 解： v??vsin? v//x2? v ??? l ?vcos? 1分 B ???????????????????????i?d?i????x1?0I2?xvsin?dx (?i指向以A到B为正) 3分 式中： x2?a?l?vtcos? x1?a?vtcos? ?i?? 2分 2?a?vtcos?A端的电势高． 2分 ?0Ivsin?lna?l?vtcos? 14.27如图所示，长直导线中电流为i，矩形线框abcd与长直导线共面，且ad∥AB，dc边 ?固定，ab边沿da及cb以速度v无摩擦地匀速平动．t = 0时，ab边与cd边重合．设线框自感忽略不计． (1) 如i =I0，求ab中的感应电动势．ab两点哪点电势高？ (2)如i =I0cos?t，求ab边运动到图示位置时线框中的总感应电动势． 22 A i a v b l2 d ? B l0 l1 c 解：(1)ab所处的磁场不均匀，建立坐标ox，x沿ab方向，原点在长直导线处， ?i则x处的磁场为 B?0 ， i =I0 2分 2?x沿a →b方向 l?lbb??vIl?l1???I ???(v?B)?dl???vBdl???v00dx??00ln0 3分 2?l2?x0aal010故 Ua?Ub 1分 (2) i?I0cos?t，以abcda作为回路正方向， l0?l1 ??d?dt?Bl2dx???ddtl0?l1?l0?0il22?xdx 2分 上式中l2?vt， 则有 ???(?l0?0il22?xdx) ??0I02?v(lnl0?l1l0)(?tsin?t?cos?t) 4分 14.28如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度?在水平面内旋转．O1O2 ?在离细杆a端L /5处．若已知地磁场在竖直方向的分量为B．求ab两端间的电势差Ua?Ub． O1 ??? a O L /5 O 2?B b 解：Ob间的动生电动势： 4L/5?4L/5??141622?BL 4分 ?1??(v?B)?dl???Bldl??B(L)?002550b点电势高于O点． Oa间的动生电动势： L/5?L/5??11122?BL 4分 ?2??(v?B)?dl???Bldl??B(L)?002550a点电势高于O点． 23 ∴ Ua?Ub??2??1?150?BL?21650?BL??21550?BL??23102?BL 2分 14.29长为L，质量为m的均匀金属细棒，以棒端O为中心在水平面内旋转，棒的另一端在 ?半径为L的金属环上滑动．棒端O和金属环之间接一电阻R，整个环面处于均匀磁场B中，?B的方向垂直纸面向里，如图．设t =0时，初角速度为?0．忽略摩擦力及金属棒、导线和圆环的电阻．求 ? B ??? O R (1) 当角速度为? 时金属棒内的动生电动势的大小． (2) 棒的角速度随时间变化的表达式． LL解∶(1) ?i??vBdr?0?r?Bdr?0B?L22 3分 (2) J??M ① 2分 dt12 J?mL ② 1分 3Ld? M??r?BIdr?012BIL?2212B(2B?L2R2)L?2B?L4R24 3分 d????3BL4Rmdt 22t) 3分 4Rm其中 exp(x) =ex 14.30 在两根平行放置相距2a的无限长直导线之间，有一与其共面的矩形线圈，线圈边长 ???0exp?(3BL分别为l和2b，且l边与长直导线平行．两根长直导线中通有等值同向稳恒电流I，线圈以恒定速度v垂直直导线向右运动(如图所示) ．求：线圈运动到两导线的中心位置(即线圈的 中心线与两根导线距离均为a )时，线圈中的感应电动势． v I l 2b2a?? I 解：取顺时针方向回路正向． 24 ??vB1l?vB2l 2分 a?b1 B2?(?)??B1 2分 2?a?ba?b2?0Ibvl∴ ??2vB1l? 2分 22?(a?b) B1??0I2??0I(1a?b1?1) 2分 ??14.31在半径为R的圆柱形空间内，存在磁感强度为B的均匀磁场，B的方向与圆柱的轴线 平行．有一无限长直导线在垂直圆柱中心轴线的平面内，两线相距为a，a >R，如图所示．已知磁感强度随时间的变化率为dB /dt，求长直导线中的感应电动势?，并说明其方向． ?B ?OR???B R O a ?E >0? ?解：由问题的轴对称性和轴向的无限长条件可知，感生涡漩电场的场强E在垂直轴线的平面内，且与径向相垂直． 3分 如图所示，选取过轴线而平行给定的无限长直导线的一条无限长直导线，与给定的无限 ?长直导线构成闭合回路(在无限远闭合)，则在过轴线的长直导线上，因E处处与之垂直，∴ ?电动势为零．又在无限远处E?0，故此回路 中的电动势就是给定的无限长直导线中的电动势?． 3分 该回路的磁通量 Φ?1?R2B 1分 2由电磁感应定律有： ???dΦ/dt??1?R2dB/dt 2分 2?的正方向如图所示． 1分 14.32在一无限长载有电流I的直导线产生的磁场中，有一长度为b的平行于导线的短铁棒，它们相距为a．若铁棒以速度v垂直于导线与铁棒初始位置组成的平面匀速运动，求t时刻铁棒两端的感应电动势?的大小． ??? ?? v B r vt I ?? a 解：如俯视图所示 25 22??0Ib?0Ibv?0Ivtvt?? ???(v?B)?dl?vBsinθ?b ?v b??2t?2222?rr2?a?vt2?r14.33图中所示为水平面内的两条平行长直裸导线LM与L′M′，其间距离为l，其左端与 ?电动势为?0的电源连接．匀强磁场B垂直于图面向里．一段直裸导线ab横嵌在平行导线间(并可保持在导线间无摩擦地滑动)把电路接通．由于磁场力的作用, ab将从静止开始向右运动起来．求 (1) ab能达到的最大速度v． L + - r L’ a M l ??vB M′ ??0 b (2) ab达到最大速度时通过电源的电流I． 解：(1) 导线ab运动起来时，切割磁感线，产生动生电动势．设导线中电流为i，导线运动速度为v，则ab上的动生电动势 ? =Blv， 由b指向a． 2分 在由ab接通的电路中 ?0-?? = ?0 - Blv =ri 在磁场力作用下，v不断增大，则i不断减小，当v增大到某一值V时， 2分 若 ?0-BlV =0，则 i =0， ab所受磁场力为零，其速度不再增加，导线作匀速运动，这也就是ab能达到的 最大速度 V = ?0 /(Bl) 2分 (2) 这时电路中和电源中的电流都是 I =0 2分 [自感和互感] 14.34真空矩形截面螺绕环的总匝数为N，尺寸如图所示，求它的自感系数． 2R2 h 解：设螺绕环中通电流I，在环内取以环中心为圆心，半径为r 的圆形回路，由安培环路定理有 ?? ?B?dl??0NI 2?rB??0NI 2R1则 B??0NI/(2?r) 3分 通过螺线管矩形截面的磁通链数?为： R2???0NI?0NhIR ??N?B?dS?V?hdr?ln1 3分 2?r2?R2R12∴ L??/I? ?0Nh2?2lnR1R2 2分 26 14.35两同轴长直螺线管，大管套着小管，半径分别为a和b，长为L (L >>a；a >b)，匝数分别为N1和N2，求互感系数M． 解：设半径为a的长螺线管中通入电流I，则管内的均匀磁场 Ba??0naIa??0N1Ia/L 1分 通过半径为b的线圈横截面积的磁通量为： ?b?Ba?Sb??0N1Ia?b2/L 通过半径为b的长螺线管的磁链为： ?根据定义： M??bb?N2?b??0N1N2Ia?b/L 2分 22/Ia??0N1N2?b/L 2分 14.36一无限长直导线通有电流I?I0e?3t．一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示．求： (1) 矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向； (2) 导线与线圈的互感系数． I a b ??解：(1) d??B?dS?Bldr 1分 B??0I/(2?r) 1分 b l∴ ?? ?i??d??2?ra?0Ildr??0Il2?lnba 2分 bdI (ln)dt2?adt3?0lI0b?3t ?lne 2分 2?a感应电流方向为顺时针方向． 2分 ??lb?0ln 2分 (2) M?I2?a???0l 10一矩形线圈长a =0.20 m，宽b =0.10 m，由100 匝表面绝缘的细导线绕成，放在一很长的直导线旁且与之共面，线圈的长边与长直导线平行，导线和线圈间的距离为b，如图．求它们之间的互感．(真空的磁导率???=4?×10-7 H/m) b a b 27 解：设长直导线中有电流I，它在周围产生磁场 B??0I/(2?r) 1分 在矩形线圈中产生的磁通链数为 2b ??N?2?rb?0Iadr??0NaI2?ln2 3分 M??I??0Na2?ln2?2.77?10?5 H 1分 14.37真空中，一个半径r1 =1 cm，长度l1 =1 m的圈数为N1=1000的螺线管在它的中部与它同轴有一个半径r2 =0.5 cm，长度l2 =1.0 cm圈数N2 =10的小线圈．计算两个线圈的互感系数． -7 (真空的磁导率???=4?×10 H/m) 解：设外圈线圈通过电流I1，由于l1 >> r1，它在线圈中间产生的磁感强度为： N B1??01I1 1分 l1 由于内线圈的r2 < r1，l2 << l1，所以可以认为B1均匀通过内线圈，从而得到通过内线圈的磁通链数为： NNI2 ?21?N2B1S2??0121?r2 2分 l1所以得两线圈的互感为： ?NN2?7 M?21??012?r2?9.87?10 H 2分 I1l114.38 一边长为a的正方形线圈，在t = 0 时正好从如图所示的均匀磁场的区域上方由静止?开始下落，设磁场的磁感强度为B(如图)，线圈的自感为L，质量为m，电阻可忽略．求线圈的上边进入磁场前，线圈的速度与时间的关系． B =0 ? B 解：电动势 ??Bav 2分 且 ??LdIdt?IR dIdt???Bav 2分 dvdt?mg?BaI 2分 ∵ R =0 ， ∴ L在重力与磁力作用下线圈的运动 m两边同时对t微分： m dvdt22dvdt222??BadIdt2 BamL22??v?0, ?? 28 v?Asin?(t??) dt∴ A?g/? ??0 ∵ t = 0 时，v = 0 dv?g 3分 ∴ v?gBamLsin?t 3分 14.39一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm．环心材料的磁导率??=?0．求在电流 3-7 强度I为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m？ (???=4?×10 T·m/A) 解： w?12?0H2?12?0(nI) 3分 2∴ I?(2w/?0)/n?1.26 A 2分 RL RC电路 14.40一线圈的自感L＝1 H，电阻R＝3 ?．在t＝0时突然在它两端加上U＝3 V的电压，此电压不再改变．(1) 求t＝0.2 s时线圈中的电流强度；(2) 求t＝0.2 s时线圈磁场能量对时间的变化率． 解：(1) 在t≥0时，线圈电流满足的微分方程为 Ldidt?Ri?U， 即 dii?U/R??RLdt 3分 UR利用初始条件t＝0 时i＝0 ，积分并化简，得 i??1?e?Rt/L? 2分 t＝0.2 s 时 i＝0.45 A 1分 (2) 磁场能 W? dWdt12Li , di2dWdtUR?12L?2i?Rt/LdidtUL e?Rt/L?Lit＝0.2 s 时 dtdWdt?L?1?e??U2Re?Rt/L?1?e?Rt/L? 3分 ?0.74 W/s 1分 14.41在长为l、半径为b、匝数为N的细长螺线管的轴线中部，放置一个半径为a的导体圆环，圆环平面的法线与螺线管轴线之间的夹角固定成45°(如图所示)．已知螺线管电阻为R，圆环电阻为r，其自感不计，电源的电动势为???内电阻为零．设a< (1) 求开关合上后通过螺线管的电流Ｉ随时间的变化规律． (2) 求开关合上后小圆环内电流随时间的变化规律． (3) 证明圆环受到的最大磁力矩为 Tmax??n?a?0?8brRl242 l45?2aKb? 29 解：(1) K接通后，长直螺线管回路为RL回路．L为长直螺线管的自感系数，且 L = ?0 n2 V = ?0 (N2 / l )?b2，回路中有 ??L得 dII??/R??RLdIdt?IR，分离变量 dt 2分 积分，利用初始条件t＝0 时I＝0 得：I????R?1?e?Rt/L?． 2分 2 (2) 穿过圆环的磁通量为： ??B?S?BScos45? ??0N?lR?1?e?Rt/L??a222?2?0N??a2lR2?a2Nb22?1?e?Rt/L? 2分 圆环中感应电动势的大小为： ?i?d?dt?2?0N??a?R??Rt/L???e2lRL??2e?Rt/L 2分 感应电流为： i? (3) 圆环受的力矩的大小为： ?ir?2?a222Nbre?Rt/L 1分 T?pmBsin45?i?aBsin45?对上式求极值， 令 dTdt?0 得t?LRln2，且 ?2??a?0?2rblRdTdt22242?e?Rt/L?e?2Rt/L? 2分 ?0 ?15.1如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1的磁场强度H的环流与沿环路L2 ?的磁场强度H的环流两者，必有： 第十五章 电磁波 ?H??dl?? (A) (C) ?L1?H?H??dl????dl???L2?H?H??dl?. (B) ??dl?. (D) ?H L1 ?L1?L2?H??dl?. ?L1?L2?L1?H??dl??0. ［ c ］ L2 ?15.2电位移矢量的时间变化率dD/dt的单位是 （A）库仑／米2 （B）库仑／秒 （C）安培／米2 （D）安培?米2 ［c］ 15.3 如图所示，空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i(t)，则 i(t) 30 (A) 圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场． (B) 任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零． (C) 沿圆筒外任意闭合环路上磁感强度的环流不为零． (D) 沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零． ［ b ］ 15.4对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确． (A) 位移电流是指变化电场． (B) 位移电流是由线性变化磁场产生的． (C) 位移电流的热效应服从焦耳─楞次定律． (D) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理． ［ a ］ 15.5在半径为0.01 m直导线中，流有2 A电流，已知1000 m长度的导线的电阻为 0.5 ?，则在导线表面上任意点的能流密度矢量的大小为 -2-2-2-2 (A) 3.18×10 W·m． (B) 1.27×10 W·m． (C) 3.18×10-3 W·m-2． (D) 1.60×10-3 W·m-2． ［ a ］ ?II参考解：R 为电阻． E? ， B?0 （a为半径） 2?aS?∵ ??1???lRS ∴ E?1??|E?H| RIl S??0???1RII∵ E?H ∴ |S|?＝3.18×10-2 W·m-2 E?B??0l2?a 15.6 一电荷为q的点电荷，以匀角速度?作圆周运动，圆周的半径为R．设t = 0 时q所在 ??点的坐标为x0 = R，y0 = 0 ，以i、j分别表示x轴和y轴上的单位矢量．求圆心处的位移 ?电流密度J． y ?r q O ???? x 解：设坐标如图所示，???t．t时刻点电荷q在圆心处产生的电位移为 D??q2??r04?R??q(co?si?sin?j) 3分 ??24?R???q(co?sti?sin?tj) 2分 ∴ D??24?R?(?r0) 圆心处的位移电流密度为 31 ?? J??D/?t?q?4?R2??(sin?ti?cos?tj) 3分 15.7 如图所示，由圆形板构成的平板电容器，两极板之间的距离为d，其中的介质为非理想绝缘的、具有电导率为? 、介电常数为??、磁导率为??的非铁磁性、各向同性均匀介质．两极板间加电压U = U0 sin??t．忽略边缘效应，试求电容器两板间任一点的磁感强度B． ~ U ~ U d d ?H?E 解：两板间具有均匀电场，电场强度为 E?U/d?(U0/d)sin?t 2分 介质中的传导电流密度为 Jc??E?位移电流密度为 Jd?dD??dE??U0dsin?t 2分 ??U0dtdtd?从对称性分析可知，在两极板间半径为r的圆周上各点H沿切线方向，而且大小都相等（如 ?图）．根据关于H的全电流定律 ?????2H?dl?(J?J)?dS?(J?J)?r cdcd??LS2即 H2?r?(Jc?Jd)?r cos?t 2分 2??又因为在各向同性介质中 B??H， 故得 H?1r(Jc?Jd) 2分 B?12?r(Jc?Jd)??rU2d0(?sin?t???cos?t) 2分 15.8给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e-t ( SI )，t = 0时电容器极板上无电 荷．求： (1) 极板间电压U随时间t而变化的关系． (2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)． 解： (1) U?qC?1Ct?idt??01C?0.2e?tt0?0.2C(1?e) 3分 ?t?t (2) 由全电流的连续性，得 Id?i?0.2e 2分 15.9 一球形电容器, 内导体半径为R1，外导体半径为R2．两球间充有相对介电常数为?r的介质. 在电容器上加电压，内球对外球的电压为 U = U0sin?t．假设?不太大，以致电容器电场分布与静态场情形近似相同，求介质中各处的位移电流密度，再计算通过半径为r (R1 < r < R2) 的球面的总位移电流． 解：由静电学计算： r0代表r方向单位矢量 ? 32 ? E?q(t)4??0?rrq(t)4??0?r2?r0 1R1?1R2)? U??∴ E?(q(t)(R2?R1)4??0?rR1R2 UR1R22r(R2?R1)r(R2?R1)?????RR?D?E?位移电流密度为 J??0r12U0?cos?t?r0 4分 ??0?r?r0 ?R1R22?U0sin?t?r0 5分 过球面的总位移电流 ?t?tr2(R2?R1) I??J??dS??J?4?r2?4??0?rR1R2RU0?cos?t 2?R13分 33