→→→→∵OD·AQ＝0，OD·PQ＝0， →→→→∴OD⊥AQ，OD⊥PQ，
即OD⊥AQ，OD⊥PQ，又AQ∩PQ＝Q， ∴OD⊥平面PAQ.
1
(2)∵BE＝2AE，AQ∥OB，∴AQ＝2OB＝3，
→→
则Q(6，3，0)，∴QB＝(－6，3，0)，BC＝(0，－3，6)． 设平面CBQ的法向量为n1＝(x，y，z)， →?n1·QB＝0，??－6x＋3y＝0，由?得?
→?－3y＋6z＝0，?n1·BC＝0，?令z＝1，则y＝2，x＝1，n1＝(1，2，1)． 易得平面ABQ的一个法向量为n2＝(0，0，1)． 设二面角C-BQ-A的大小为θ，由图可知，θ为锐角， ?n1·n2?
?＝6， 则cos θ＝??|n1|·|n2|?6
??6
即二面角C-BQ-A的余弦值为6. 考点2 立体几何中的探究性问题
(1)解决探究性问题的基本方法是假设结论成立或对象存在，然后在
这个前提下进行逻辑推理，若能推导出与条件吻合的数据或事实，则说明假设成立，即存在，并可进一步证明；否则不成立，即不存在．
(2)在棱上探寻一点满足各种条件时，要明确思路，设点坐标，应用共线向量定理a＝λb(b≠0)，利用向量相等，所求点坐标用λ表示，再根据条件代入，注意λ的范围．
5
(3)利用空间向量的坐标运算，可将空间中的探究性问题转化为方程是否有解的问题进行处理．
(2019·华南师大附中模拟)如图，在五面体
ABCDEF中，AB∥CD∥EF，AD⊥CD，∠DCF＝60°，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，平面CDEF⊥平面ABCD.
(1)求证：CE⊥平面ADF；
(2)已知P为棱BC上的点，试确定点P的位置，使二面角P-DF-A的大小为60°.
[解] (1)证明：∵CD∥EF，CD＝EF＝CF， ∴四边形CDEF是菱形，∴CE⊥DF.
∵平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，AD⊥CD，AD?平面ABCD，
∴AD⊥平面CDEF，
∵CE?平面CDEF，∴AD⊥CE.
又∵AD?平面ADF，DF?平面ADF，AD∩DF＝D， ∴CE⊥平面ADF.
(2)由(1)知四边形CDEF为菱形， 又∵∠DCF＝60°， ∴△DEF为正三角形．
如图，取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF. ∵EF∥CD，∴GD⊥CD.
∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，
∴GD⊥平面ABCD.
6
又∵AD⊥CD，∴直线DA，DC，DG两两垂直．
以D为原点，分别以DA，DC，DG所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立如图的空间直角坐标系D-xyz.
∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，
∴D(0，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，E(0，－1，3)，F(0，1，3)，∴→→→→
CE＝(0，－3，3)，DF＝(0，1，3)，CB＝(1，－1，0)，DC＝(0，2，0)．
→
由(1)知CE是平面ADF的一个法向量． →→
设CP＝aCB＝(a，－a，0)(0≤a≤1)， →→→
则DP＝DC＋CP＝(a，2－a，0)． 设平面PDF的法向量为n＝(x，y，z)， →?n·DF＝0，??y＋3z＝0，则?即?
→?ax＋（2－a）y＝0.DP＝0，??n·令y＝3a，则x＝3(a－2)，z＝－a， ∴n＝(3(a－2)，3a，－a)． ∵二面角P-DF-A的大小为60°， →
|n·CE|→
∴|cos〈n，CE〉|＝
→|n||CE|＝
43a
12
1＝2，
3（a－2）2＋3a2＋a2
2
解得a＝3或a＝－2(不合题意，舍去)． ∴P在靠近点B的CB的三等分点处．
(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当
7
作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解、是否有规定范围内的解”等．
(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
[教师备选例题] (2019·潍坊模拟)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，1BC＝2AD＝1，CD＝3. (1)求证：平面PBC⊥平面PQB； (2)当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？ 1[解] (1)证明：∵AD∥BC，Q为AD的中点，BC＝2AD， ∴BC∥QD，BC＝QD， ∴四边形BCDQ为平行四边形，∴BQ∥CD. ∵∠ADC＝90°，∴BC⊥BQ. ∵PA＝PD，AQ＝QD，∴PQ⊥AD. 又∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD， ∴PQ⊥平面ABCD，∴PQ⊥BC. 又∵PQ∩BQ＝Q，∴BC⊥平面PQB. ∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PQB. (2)由(1)可知PQ⊥平面ABCD.如图，以Q为原点，分别以QA，QB，QP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角8