由2c=4．c=2

，则a2+b2=8，

解得：a2=8，b2=2， ∴椭圆的标准方程：

；

（2）由（1）可知：F2（2，0），直线AB的方程：x=ty+2，A（x1，y1），B（x2，y2），

，整理得：（t2+3）y2+4ty﹣2=0，

y1+y2=﹣则E（

，x1+x2=，﹣

），

，

由F1（﹣2，0），则直线F1E的斜率k==﹣，

①当t=0时，k=0， ②当t≠0时，丨k丨=即丨k丨∈（0，∴k的取值范围[﹣

]， ，

]．

=

≤

，

【点评】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，直线的斜率公式及基本不等式的应用，考查计算能力，属于中档题．

22．（12分）（2017春?洛阳期末）设函数f（x）=x?lnx+ax，a∈R． （1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若对?x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，求整数b的最大值． 【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．

【分析】（1）a=1时，f（x）=x?lnx+x（x＞0）．f（1）=1．f′（x）=lnx+2，f′（1）

=2．利用点斜式即可得出．

（2）对?x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，?b＜=

，则g′（x）=

=

．令g（x）

．令h（x）=x﹣lnx﹣2，

x＞1．L利用导数可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．h（x）＞h（1）=﹣1，因此函数h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0．可得x=x0时，函数g（x）取得极小值即最小值，代入可得b＜x0．即可得出． 【解答】解：（1）a=1时，f（x）=x?lnx+x（x＞0）．f（1）=1． f′（x）=lnx+2，f′（1）=2．

∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣1=2（x﹣1）， 化为：2x﹣y﹣1=0．

（2）对?x＞1，f（x）＞（b+a﹣1）x﹣b恒成立，?b＜令g（x）=

，则g′（x）=

=

．

．

令h（x）=x﹣lnx﹣2，x＞1．

h′（x）=1﹣＞0，可知：函数h（x）在（1，+∞）上单调递增． ∴h（x）＞h（1）=﹣1，

因此函数h（x）存在唯一零点x0∈（3，4），x0﹣lnx0﹣2=0． 使得g（x）在（1，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增． ∴x=x0时，函数g（x）取得极小值即最小值， ∴b＜

=

=x0．

因此整数b的最大值为3．

【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论方法、方程与不等式的解法、等价转化方法、函数的零点，考查了推理能力与计算能力，属于难题．