数学物理方程王元明答案

【篇一：数学物理方程结课论文】

s=txt>摘要

粘性流体力学是一个历史悠久而又富有新生命力的学科。它与人们日常生活、健康和旅行无不息息相关。早在纪元前希腊学者阿基米德即建立了液体载物的浮力理论，其领先远超于力学建基之始。二千二百年前在李冰父子创导下，我国也建利灌舒洪的都江堰，这个伟大工程当时确已掌握现今的水力学原则和近代的工程设计理论。在流体粘性效应的问题上，不乏先进接连攻关，终难胜克，足见其艰困之甚。

近数年代里，由于工业发展的迫切需求，已促进不少新学科的萌芽滋长。诸如能源发展；海洋、大气和陆地交应干扰和持恒；农林牧业的生物科技新探索；城市、河流和山岳的环境保护；疾病防治的医疗科学以及自然灾害的消减和救援等都赋予流体力学新的生命。 纳维-斯托克斯方程又称为n-s方程，是描述实际流体运动的微分方程式，纳维-斯托克斯方程在流体力学中有十分重要的意义。本文将在阐述粘性流体力学的基本方程的基础上，借助于数学软件maple，应用n-s方程解决平行平板间的脉冲流动问题。 关键词：n-s方程，平行平板，脉冲流动，maple 第一章 数学及物理背景

数学物理方程以具有物理背景的偏微分方程（组）作为研究的主要对象，主要是指力学、天文学、物理学及工程技术中提出来的偏微分方程，它是随着17世纪工业生产的发展，伴随着天文学、物理学等自然科学的发展而逐步形成的一门独立学科。描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式，特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。所以数学物理方程在推动数学理论发展对于推动数学理论的发展，加强理论与实际的联系，帮助人们认识世界和改造世界都起着重要作用。但是在使用函数和解方程中，针对表达式和符号运算的问题一直困扰着我们，只能依赖铅笔和演草纸进行纯手工计算，现在这些工作都可以借助计算机代数系统来完成。

计算机代数系统包括数值计算、符号计算、图形演示和编程等四部分。在科学研究、教育教学等各个领域得到广泛应用。maple是一

种计算机代数系统，是目前广泛使用的数学计算工具之一。用

maple不但可以进行简单的加减乘除运算，也可以求解代数方程、微分方程，进行微分运算或处理线性代数问题。

纳维—斯托克斯方程是一组描述像液体和空气这样的流体物质的方程。这些方程建立了流体的粒子动量的改变率和作用在液体内部的压力的变化和耗散粘滞力以及引力之间的关系。这些粘滞力产生于分子的相互作用，能告诉我们液体有多粘。这样，纳维—斯托克斯方程描述作用于液体任意给定区域的力的动态平衡。纳维—斯托克斯方程依赖于微分方程来描述流体的运动。这些方程和代数方程不同，不寻求建立所研究的变量的关系，而是建立这些变量的变化率或通量之间的关系。用数学术语来讲，这些变化量对应于变量的导数。这表示对于给定的物理问题的纳维—斯托克斯方程的解必须用微积分的帮助才能取得。

第二章 纳维—斯托克斯方程

纳维—斯托克斯方程为一组非线性二阶偏微分方程组，一般情况下在数学上求其精确解是非常困难的。只有在某些特殊流动情况下，例如当非线性的迁移项为零的情况下，可以求得精确解。 n—s方程

?2ux?2ux?2uxdu1?px???(2?2?2)?x ??x?x?y?zdt 222duy1?p??uy?uy?uyy??(2?2?2)???y??x?y?zdt 1?p??2uz?2uz?2uzduz??(2?2?2)?z??z??x?y?zdt

在理想不可压缩流体的 euler 方程，虽然也存在非线性的惯性项，但是因为相当一部分的实际问题是无旋的。对于无旋流动，问题可归结为求解线性的 laplace 方程（运动学方程），速度势求出后，压力可由拉格朗日积分或伯努力积分求出（动力学问题），问题得到了很大的简化。

但是粘性不可压缩流体的运动中，运动都是有旋的，因而也不存在拉格朗日积分或伯努力积分，因此不得不求解原始的二阶偏微分方程组。

到目前为止，还没有求解非线性偏微分方程到普遍有效的方法，在流体力学中，求解上述非线性偏微分方程组通常有两种主要途径： （1）准确解：

在一些简单到问题中，由于问题的特点，非线性的惯性项或者等于零，或者是非常简单的非线性方程组，此时基本方程组或者化为线性方程组，或者化为简单的非线性方程组，从而可以找出方程组的

准确解来。但是具有准确解的问题为数很少，而且一般说来很少能直接地用到实际问题中去。 （2）近似解：

根据问题到特点，略去方程中某些次要项，从而得出近似方程。在某些情况下，可以得出近似方程的解。这种途径称为近似方法，可采用近似方法求解的主要有下列两种情况：

（a）小雷诺数re情况，此时粘性力较惯性力大得多。可以全部或部分地

忽略惯性力得到简化的线性方程。

（b）大雷诺数re情况，若将粘性力全部略去，并且在物面上相应地提滑移边界条件，这就是理想流体的近似模型。在这个近似模型中无法求出符合实际的阻力。 进一步研究发现，在贴近物面很薄的一层边界层中，必须考虑粘性的影响，但此时根据问题的特点，可以略去粘性力中的某些项，从而得到简化的边界层方程（仍是非线性的）。而在边界层外，仍可将粘性全部忽略。

（c）对于中等雷诺数re的情况，惯性力和粘性力都必须保留，此时只能通过其它途径简化问题，或者利用数值计算方法求Ｎ－Ｓ方程到数值解。

第三章 平行平面间的脉冲流动

平行平面间的脉冲流动是一个可以得到n—s方程精确解的非恒定流动，它对研究血液流动是有意义的。图1两个固定的平行平面位于y= ?a处，x处的压强梯度随时间振动，于是x方向的流速也将随压强梯度而振动。在y,z方向流 图表 1 平行平板间的脉冲流动

速均为零，即v?0，w?0从而由连续性方程可得?u?0。于是 ?x u?(u(y,t),0,0) (0.1) n—s方程简化为

?u1?p??u??*??() (0.2) ?t??x?y?y 边界条件

y??a;u?0 (0.3) 假设压强梯度的振动为以下形式： ?p???p(t)???acos?t (0.4) ?t

式中，a为实数常数，代表振动幅度，?代表振动频率，则式（1）改写为 ?u??u??u?p(t)??()?acos?t??() (0.5) ?t?y?y?y?y 若流速u可以表示为

u(y,t)?re[f(y)ei?t](0.6)

【篇二：数理方程__波动方程的分析】

—波动方程的分析

波动方程的分析

摘要: 波动方程是一个二阶线性偏微分方程。解二阶偏微分方程的主要方法是分离变量法。在下面介绍波动方程是怎样导出来的，它的物理意义是什么，在不同的坐标系里波动方程的表达式应该怎么写，有什么边界条件，在给定的边界条件下怎么用分离变量法得到波动方程的解等等问题。

关键词: 波动方程；分离变量法；边界条件；本征方程；本征值；本征函数 1引言 2波动方程的导出

(1)波动方程是从均匀直棒的弹性形变过程中推得的，一般来说，它适用于各向同性的均匀介质。

(2)波动方程等号两边分别是未知量y对变量t和对变量x的二阶偏导数的正比函数，所以该波动方程是线性的。之所以会得到线性方程，这是因为该波动方程是根据牛顿第二定律和胡克定律推导出来的，而这两个定律的数学表达式都是线性方程。

(3)波动方程是线性方程，则从理论上保证了波动满足叠加原理。如果u1和

u2都是波动方程的解，即以下两式成立 ?u1?t 222 ?a 2

?u1?x 22 2

（1） ?u2?t 2 ?a 2

?u2?x 2

（2）

将以上两式相加，得 ? 2

?u1?u2?