162?16(b2?4)(b2?4)?弦长?202?2|x1?x2|?2g,2|b?4|
10解得b2?5或b2?,3
x2y2x23y2 ∴ 所求的双曲线的标准方程为??1或??1.
454102.2.1
一、选择题
双曲线及其标准方程（2）
1．提示：设两直角边长分别为m、n，则m2?n2?(2c)2?20，且|m?n|?4，选A．
b42．提示：直线AB的横坐标是x??c，代入方程由a?b?c，化简求得y?2，选B．
a22223．提示：提示：可考虑用定义把三角形的三边都求出，选B．
4．提示：将直线方程代入双曲线方程，得(9-4k2)x2+8kx-40=0．当9-4k2=0即k??直线与双曲线只有一个交点：当9-4k2≠0，△=0， 即k??3时， 210时，直线与双曲线也只有一个交点，选C． 2二、填空题
5．答案：k??1，或k?1 提示：(1?k)(1?k)?0． 6．答案：1
提示：c?2，所以m?m2?2，又m?0．
?7．答案：(0，?2a)
y2x222 提示：标准方程为??1，则a1??a?4，b1?4?a．
?a?44?a三、解答题
8．解：由于椭圆方程已知，与椭圆有相同的焦点，也即双曲线的焦距已知，欲求双曲线的
标准方程，只需再找出一个关于a、b、c的独立条件，而椭圆上纵坐标为4的点的横坐标可求，利用这样的点也在双曲线上，问题可以得到解决：
y2x2 设所求的双曲线方程是2?2?1(a?0，b?0)，
ab 由已知，双曲线的焦点为F1（0，-3）和F2（0，3），则a2?b2?9， 又点P（15，4）为两条曲线的交点，所以点P坐标适合双曲线方程，
21
1615?2?1，将b2?9?a2代入得a4?40a2?144?0， 2aby2x222 所以a?36（舍去），或a?4，故所求双曲线的方程是??1．
45 即
2.2.2 双曲线的简单几何性质（1）
一、选择题
1．提示：将各方程中的1换为0，求得渐近线方程比较得B．
y2x22．提示：化为标准方程??1，选A．
?n?m3．提示：等轴双曲线的标准方程是x2?y2?k(k?0)形式，选D． 4．提示：最简方法为特殊值法，取一个顶点为P点，选C． 二、填空题 5．答案：（-12，0） 提示：由1?6．答案：
4?b?2解得． 21 222提示：S1?2ab，S2?2(a2?b2)，又a?b?2ab．
7．答案：1?e?2?5
提示：由b2?4ac?0得c2?4ac?a2?0． 三、解答题 8．解：（1）∵e?
c?2，∴c2?2a2?a2?b2，即有a?b， a 依题意可设方程是x2?y2??，将所过点的坐标代入得??6，
x2y2则??1为所求方程；
66
0）0）（2）求得F1（?23，．F2（23，，
MF2?（23?3，m） ∴MF1?(?23?3，m)，，
所以MF1?MF2??3?m2，由点M在双曲线上，∴m2?3， 代入得MF1?MF2?0，故证．
????????????2.2.4
一、选择题
双曲线的简单几何性质（2）
22
a2?b2m?1． 提示：由两边平方，整理即得B．
22am?b2a22．提示：2c?6，?4，两式相除可得C．
ca2?b2a2?b2222e?3．提示：e1?，，用不等式a?b?2ab求最值，选A． 222ab24．提示：设内心在x轴上的射影是D点，则由切线相等有|PF1|-|PF2|=|F1D|-|DF2|，
也即2a?（xD?(?c)）?(c?xD)=2xD，选C．
二、填空题
5．答案：48
a2?16?提示：圆的一条切线是y轴，故x??2??． c16?k6．答案：x??47 7m，∴a2?4，b2?3． 2ab3?c，∴材c4提示：渐近线方程是y??7．答案：2
提示：直线l的方程是bx?ay?ab?0，原点到它的距离是d?3c4?16a2c2?16a4?0，当e2?4时，b?a矛盾，∴e2?4． 3三、解答题
8．解：利用双曲线的第二定义，可以将到上焦点的距离式化为仅含有各点的纵坐标的关系
式，再由成等差数列的已知条件，可望求解第一问；第二问的求解工作则应始终围绕寻找AC垂直平分线的方程来展开：
553y2x2?（1）在双曲线， ??1中，a?23，b?13，∴c?5，e?6121323 ∴双曲线的上准线方程是y?
12，由双曲线的第二定义，设A点到上焦点的距离是5d，
则
dy1?125?e?5353，即|AF|?y1?23，
66
同理|FB|=
5353?6?23，|FC|=d?y2?23， 66 又|FA|+|FC|=2|FB|，所以y1?y2?12；
（2）∵A．C都在双曲线上，∴13y1?12x1?156，13y2?12x2?156，
2222 23
两式相减得13(y1?y2)(y1?y2)?12(x1?x2)(x1?x2)， ∴kAC?
y1?y2x1?x2x?x2?，AC的中点坐标是(1， ，6）x1?x2132x?x213(x?1)，
x1?x22 故得AC的垂直平分线的方程是y?6??
也即方程13x?(x1?x2)(y?2525． )?0，从而必过定点(0，）222.3.1 抛物线及其标准方程（1）
一、选择题
1．提示：注意点M在l上时，选D．
2．提示：方程即y2?2(4p)x，其中4p即焦点到准线的距离，选B． 3．提示：设为y2?2px，点的坐标代入得2p??4，选C． 4．提示：准线方程是y?1?2a1?2a，∴?1，选D． 44二、填空题
5．答案： (1,－1)
提示：根据抛物线定义,问题转化为在抛物线上找一点P,使得P到A的距离与到准线距离之和最小,过A作准线的垂线,则垂线与抛物线交点为所求，即为(1,－1)． 6．答案：
11 2
提示：设P(x,y)为抛物线上任一点，则|PA|?当y?x2?(y?4)2?y2?7y?15.
117. 时取得最小值，最小值为227．答案：2
提示：由|AB|?43,得A(或B)的纵坐标为23,则其横坐标为3，焦点为(1,0)．
则焦点到AB的距离为2．
三、解答题
8．解：设P(x，y)，则y2?2x，
所以|PA|=(x?a)2?y2=x2?2(a?1)x?a2，且x?0， 故有|PA|2?[x?(a?1)]2?2a?1，
当a?1?0，即a?1时，|PA|2min?[0?(a?1)]2?2a?1?a2，∴|PA|min?|a|，
24