管子中最大的．

那么在最优情况下：完整周期只需注入1－ 所需周期数为

1216－

13＝

12池水．

÷

706＝

307＝4

27

1 那么，至少需要5个完整周期，而5个完整周期后，水池内有水＋

6760×5=÷

1316＋

712＝

34

剩下l－

34＝

14池水未灌满，而完整周期后l小时内为甲注水时间，有

3414＝

34 (小时).

所以，需5个完整周期即20小时，再加上小时，即20

34小时后水开始溢出．

13方法二：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的

14－

＋

15－

16=

760.

16加上池内原有的水，池内有水：＋

760=

1760.

1760 再过四个4小时，也就是20小时后，池内有水：1－

456014＋

760×4=

4560，在20小时后，只需要再灌水

＝÷

1413,水就开始溢出． =

34 (小时)，即再开甲管

34小时，水开始溢出，所以20+

34=20

34(小时)后，水开始溢出水

池．

方法三：甲、乙、丙、丁四个水管，按顺序各开1小时，共开4小时，池内灌进的水是全池的

1413－

＋

15－

16＝

760.

16一个周期后，池内有水： 二个周期后，池内有水： 三个周期后，池内有水： 四个周期后，池内有水： 五个周期后，池内有水： 而此时，只需注入甲管

3414＋

7607=

1760,

4360有待注入； 即

351760246031＋＋＋＋

60760760760=

2460,

3660有先待注入；

＝＝＝

316038604560，，，

29602260有待注入； 即即

113014603860有待注入；

1560有待注入．

14的水即可，小于甲管1小时注入的水量，所以有

34÷

13=

34 (小时)，即再开

小时，水开始溢出，所以20+＝20

34 (小时)后,水开始溢出水池．

评注：这道题中要求的是第一次溢出，因为在一个周期内不是均匀增加或减少，而是有时增加有时又减少，所以不能简单的运用周期性来求解，这样往往会导致错误的解答，至于为什么?我们给出一个简单的问题，大家在解完这道题就会知晓．

有一口井，深20米，井底有一只蜗牛，蜗牛白天爬6米，晚上掉4米，问蜗牛爬出井需多少时间?

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14.一个水池，地下水从四壁渗入，每小时渗入该水池的水是固定的．当这个水池水满时，打开A管，8小时可将水池排空；打开B管，10小时可将水池排空；打开C管，12小时可将水池排空．如果打开A，B两管，4小时可将水池排空，那么打开B，C两管，将水池排空需要多少时间?

【分析与解】 设这个水池的容量是“1” A管每小时排水量是： B管每小时排水量是： C管每小时排水量是：

18110112+每小时渗入水量； +每小时渗入水量； +每小时渗入水量；

14 A、B两管每小时排水量是：

因为

1418+每小时渗入水量．

14+每小时渗入水量+

110110+每小时渗入水量=+每小时渗入水量，因 此，每小时渗入水量是：

－（

18＋）＝

140.

那么有A、B、C管每小时的排水量如下表所示：

于是打开B、C两管，将水池排空需要 1÷（

1813120140524＋-）=1÷=4.8（小时）.

第7讲 牛吃草问题

牛吃草问题在普通工程问题的基础上，工作总量随工作时间均匀的变化，这样就增加了难度． 牛吃草问题的关键是求出工作总量的变化率. 下面给出几例牛吃草及其相关问题．

1. 草场有一片均匀生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?(这类问题由牛顿最先提出，所以又叫“牛顿问题”．)

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【分析与解】 27头牛吃6周相当于27×6=162头牛吃1周时间，吃了原有的草加上6周新长的草； 23头牛吃9周相当于23×9=207头牛吃1周时间，吃了原有的草加上9周新长的草；于是，多出了207-162=45头牛，多吃了9-6=3周新长的草．所以45÷3=15头牛1周可以吃1周新长出的草．即相当于给出15头牛专门吃新长出的草．于是27-15=12头牛6周吃完原有的草，现在有21头牛，减去15头吃长出的草，于是21-15=6头牛来吃原来的草；

所以需要12×6÷6=12(周)，于是2l头牛需吃12周．

评注：我们求出单位“1”面积的草需要多少头年来吃，这样就把问题化归为一般工程问题了． 一般方法： 先求出变化的草相当于多少头牛来吃：(甲牛头数×时间甲-乙牛头数×时间乙)÷(时间甲-时间乙)；

再进行如下运算：(甲牛头数-变化草相当头数)×时问甲÷(丙牛头数-变化草相当头数)=时间丙． 或者：(甲牛头数-变化草相当头数)×时间甲÷时间丙+变化草相当头数丙所需的头数．

2．有三块草地，面积分别是4公顷、8公顷和10公顷．草地上的草一样厚而且长得一样快．第一块草地可供24头牛吃6周，第二块草地可供36头牛吃12周．问：第三块草地可供50头牛吃几周? 【分析与解】 我们知道24×6=144头牛吃一周吃2个(2公顷+2公顷周长的草).36×12=432头牛吃一周吃4个(2公顷+2公顷12周长的草)．于是144÷2=72头牛吃一周吃2公顷+2公顷6周长的草．432÷4=108头牛吃一周吃2公顷+2公顷12周长的草．所以108-72=36头牛一周吃2公顷12—6=6周长的草．即36÷6=d头牛1周吃2公顷1周长的草．

对每2公顷配6头牛专吃新长的草，则正好．于是4公顷，配4÷2×6=12头牛专吃新长的草，即24-12=12头牛吃6周吃完4公顷，所以1头牛吃6×1÷(4÷2)=36周吃完2公顷．

所以10公顷，需要10÷2×6=30头牛专吃新长的草，剩下50-30=20头牛来吃10公顷草，要36 ×(10÷2)÷20=9周．

于是50头牛需要9周吃10公顷的草．

3．如图，一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草，两天之后把①号草地的草吃光．(在这2天内其他草地的草正常生长)之后他让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地的草吃光．然后牧民把

13的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外号的牛放在④号草地吃草，结果发现

它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？

【分析与解】 一群牛，2天，吃了1块+1块2天新长的；一群牛，6天，吃了2块+2块2+6=8天新长的；即3天，吃了1块+1块8天新长的.即

16群牛，1天，吃了1块1天新长的.

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又因为，的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外

3123的牛放在④号草地吃草，它们同时吃完.所以，

16?92?34③=2?阴影部分面积.于是，整个为4?（1?16）?2?9212?92块地.那么需要

16）?2?92?（1?34群牛吃新长的草，于是

=现在（?1?34.所以需要吃：）（1?）=30天.

所以，一开始将一群牛放到整个草地，则需吃30天.

4．现在有牛、羊、马吃一块草地的草，牛、马吃需要45天吃完，于是马、羊吃需要60天吃完，于是牛、羊吃需要90天吃完，牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度，求马、牛、羊一起吃，需多少

时间?

【分析与解】 我们注意到：

牛、马45天吃了 原有+45天新长的草① ?牛、马90天吃了

2原有+90天新长的草⑤ 马、羊60天吃了 原有+60天新长的草② 牛、羊90天吃了 原有+90天新长的草③ ? ? ?

马 90天吃了 原有+90天新长的草④

所以，由④、⑤知，牛吃了90天，吃了原有的草；再结合③知，羊吃了90天，吃了90天新长的草，所以，可以将羊视为专门吃新长的草．

所以，②知马60天吃完原有的草，③知牛90天吃完原有的草．

现在将牛、马、羊放在一起吃；还是让羊吃新长的草，牛、马一起吃原有的草. 所需时间为l÷(190?160)=36天.

所以，牛、羊、马一起吃，需36天．

5. 有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快．它们的面积分别是313公顷、10公顷和24

公顷．已知12头牛4星期吃完第一片牧场的草，21头牛9星期吃完第二片牧场的草，那么多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草?

【分析与解】 由于三片牧场的公顷数不一致，给计算带来困难，如果将其均转化为1公顷时的情形．

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