=111?1×（999?9） ????????1002个11002个92 =111×（×3×3）=A ?1111?1??????1002个11002个1 所以，A＝333?3. ?????1002个3
3．计算666?6×666?6×25的乘积数字和是多少? ??????????2004个62003个6 【分析与解】我们还是利用999?9=1000?0?1来简便计算，但是不同于上式的是不易得出凑成??????????k个9k个0999?9，于是我们就创造条件使用： ?????k个9666?6×666??67×25=[?????????2004个62003个623×（999?9）]×[?????2004个923×（999?9）+1]×25 ?????2004个9=[
23?0?1）]×[×（1000?????2004个023?0）+1]×25 ×（1000?????2004个0=
13×
13?0-2]×[2×（1000?0）+1]×25 ×[2×1000??????????2004个02004个0=
259?0-2×1000?0-2] ×[4×1000??????????4008个02004个0=
1009?9-×999?????4008个9509?9 ×999?????2004个9?1-50×111?1 =100×111??????4008个12004个1100??50(求差过程详见评注) =111???????555????4008个12004个5??10555??50 =111????????2004个12004个5??10555??50 所以原式的乘积为111????????2004个12004个5那么原式乘积的数字和为1×2004+5×2004=12024．
100??50的计算，我们再详细的说一说． 评注：对于111???????555????4008个12004个5111100??50 ???????555????4008个12004个5?1000?0?111?100?555??50 =111???????????????2005个12005个02003个12004个5?10999?9?1?111?100?555??50 =111???????????????2004个12005个92003个12004个5Page 13 of 69
=111?10444??49?111?101 ??????????2004个12004个42003个1=111?105555 ?????????2004个12004个5
4．计算222?2?222?2的积? ??????????1998个21998个2【分析与解】 我们先还是同上例来凑成999?9； ?????k个9222?2?222?2 ??????????1998个21998个2＝
????999?9?222?2 ?????????????9?1998个9?1998个22????1000?0?1?222?2 ?????????????9?1998个01998个2?2????1000?0?1??444?4 ????????????9?1998个01998个4?1?? ??444?4000?0?444?4??????????????????9?1998个41998个01998个4?1＝
＝
＝
＝
19?444?43555?56(求差过程详见评注) ??????????1997个41997个5?4能被9整除，商为：049382716． 我们知道444?????9个4 又知1997个4，9个数一组，共221组，还剩下8个4，则这样数字和为8×4=32,加上后面的3，则数字和为35，于是再加上2个5，数字和为45，可以被9整除．
?4355能被9整除，商为04938271595； 444?????8个4?5能被9整除，商为：061728395； 我们知道555?????9个5 这样9个数一组，共221组，剩下的1995个5还剩下6个5，而6个5和1个、6，数字和36，可以被9整除．
??56能被9整除，商为0617284． 555????6个5 于是，最终的商为：
??049382716??061728395 49382716049382716??????????04938271595061728395??????????0617284
220个049382716221个061728395?4000?0-444?4计算，我们再详细的说一说． 评注：对于444???????????????1998个41998个01998个4?4000?0-444?4 444???????????????1998个41998个01998个4Page 14 of 69
＝444??43999?9+1-444?4 ??????????????1997个41998个91998个4＝444??43555?5+1 ?????????1997个41998个5＝444??43555??56. ????????1997个41997个5
二、提出公因式
有时涉及乘除的多位数运算时，我们往往需提出公因式再进行运算，并且往往公因式也是和式或者差式等．
5.计算：（1998+19981998+199819981998+?19981998???1998???????）÷
1998个1998（1999+19991999+199919991999?19991999???1999???????）×1999
1998个1999【分析与解】19981998???1998???1001 ???????＝1998×10011001?????1998个19981998个1001???1001）÷［1999×（1+10001+100010001+?原式＝1998（1+10001+100010001+?10011001?????1998个100110011001???1001）］×1999＝1998÷1999×1999＝1998. ?????1998个1001
6．试求1993×123×999999乘积的数字和为多少? 【分析与解】 我们可以先求出1993×123的乘积，再计算与(1000000—1)的乘积，但是1993×123还是有点繁琐．
设1993×123=M，则(1000×123＝)123000 令M＝abcdef 则M×999999＝M×（1000000-1）＝1000000M-M ＝abcdef000000-abcdef ＝abcdef＝abcdef＝abcdef?f?f?f?1?999999+1－abcdef ?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?+1 ?1??9?a??9?b??9?c??9?d??9?e??9?f?1? 那么这个数的数字和为：a+b+c+d+e+(f－1)+(9－a)+(9－b)+(9－c)+(9－d)+(9－e)+(9－f+1)=9×6=54． 所以原式的计算结果的数字和为54． ?9的数字和为9×k．(其中M的位数为x，且x≤k)． 评注：M×999?????k个9Page 15 of 69 7．试求9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9乘积的数字和为多少? ???????????????256个9512个91024个9 【分析与解】 通过上题的计算，由上题评注： 设9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9×999?9＝M， ???????????????256个9512个91024个9于是M×999?9类似?????1024个9的情况，于是，确定好M的位数即可； 注意到9×99×9999×99999999×?×999?9×999?9＝M， ??????????256个9512个9则M<10×100×100013×100000000×?×1000?0×1000?0＝1000?0 ???????????????256个0512个0k个0 其中k=1+2+4+8+16+?+512=1024－l=1023； 即M<1000?0，即M最多为1023位数，所以满足?????1023个0的使用条件，那么M与999?9乘积的?????1024个9数字和为1024×9=10240—1024=9216． 原式的乘积数字和为9216． 三、递推法的运用 有时候，对于多位数运算，我们甚至可以使用递推的方法来求解，也就是通常的找规律的方法． 8．我们定义完全平方数A2=A×A，即一个数乘以自身得到的数为完全平方数；已知：1234567654321×49是一个完全平方数，求它是谁的平方? 【分析与解】 我们不易直接求解，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推(找规律)的方法来求解： 121＝11；12321＝111；1234321＝1111?? 2 ?1）于是，我们归纳为1234?n?4321=（111???2 2 2 n个1 所以，1234567654321：11111112；则，1234567654321×49=11111112×72=77777772．所以，题中原式乘积为7777777的平方． 2 ?1），只有在n<10时成立． 评注：以上归纳的公式1234?n?4321＝（111???n个1 ?4888?89=A2，求A为多少? 9.①444??????????2004个42003个8 ②求是否存在一个完全平方数，它的数字和为2005？ 【分析与解】 方法一：问题①直接求解有点难度，但是其数字有明显的规律，于是我们采用递推 (找规律)的方法来求解： Page 16 of 69