3． 试求l×2+2×3+3×4+4×5+5×6+?+99×100．
【分析与解】方法一：整数裂项
原式=(1×2×3+2×3×3+3×4×3+4×5×3+5×6×3+?+99×100×3)÷3
=[1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+4×5×(6-3)+5×6×(7-4)+?+99×100×(101-98)]÷3
(1?2?3?2?3?4?1?2?3?3?4?5?2?3?4?4?5?6?3?4?5?5?6?7?4?5?6?????99?100?101?98?99?100)?3?99?100?101?3?33?101?100?3333?100?333300.方程二：利用平方差公式12+22+32+42+?+n2=n? 原式：1+l+2+2+3+3+4+4+5+5+?+99+99 =12+22+32+42+52+?+992+1+2+3+4+5+?+99 =
99?100?1996?99?10022
2
2
2
2
2
2n?(n?1)?(2n?1)6.
=328350+4950 =333300．
5．计算下列式子的值：
0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0
【分析与解】这个题看上去是一个关于小数的问题，实际上我们可以先把它们变成整数，然后再进行计算．即先计算1×3+2?4+3×5+4?6+?+97?99+98×100。再除以100．
方法一：再看每一个乘法算式中的两个数，都是差2，于是我们容易想到裂项的方法． 0.1×0.3+0.2?0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8?10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×100)÷100
=[(l×2+1)+(2×3+2)+(3×4+3)+(4×5+4)+?+(97×98+97)+(98×99+98)]÷100 =[(1×2+2×3+3×4+4×5+?+97×98+98×99)+(1+2+3+4+?+97+98)]÷100 =(
13×98×99×100+
12×98×99)÷100
=3234+48.51 =3282.51
方法二：可以使用平方差公式进行计算．
0.1×0.3+O.2×0.4+0.3×0.5+0.4×0.6+?+9.7×9.9+9.8×10.0 =(1×3+2×4+3×5+4×6+?+97×99+98×l00)÷100 =(12-1+22-1+32-1+42-1+52-1+?+992-1)÷100 =(11+22+32+42+52+?+992-99)÷100 =(
16×99×100×199-99)÷100
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=16.5×199-0.99 =16.5×200-16.5-0.99 =3282.51
评注：首先，我们要清楚数与数之间是相通的，小数的计算与整数的计算是有联系的．下面简单介绍一下整数裂项．
1×2+2×3+3×4+?+(n-1)×n ==
1313×[1×2×3+2×3×3+3×4×3+?+(n-1)×n×3]
×{1×2×3+2×3×(4-1)+3×4×(5-2)+?+(n-1)×n[n+1-(n-2)]}
?1?2?3?2?3?1?2?3?4?3?4?2?3?4?5?????=??? 3??(n?1)?n?(n?2)?(n?1)?n?(n?1)?1=?(n?1)?n?(n?1)
31
6.计算下列式子的值：
24?(12?3?14?5?????120?21)?(112?1????) 222221?21?2?????10121114151
【分析与解】 虽然很容易看出
12?3??34?5,????????可是再仔细一看，并没有什么效果，
因为这不像分数裂项那样能消去很多项．我们再来看后面的式子，每一项的分母容易让我们想到公式12+22+32+?+n2=
16×n×(n+1)×(2n+1)，于是我们又有
11?2?3?????n2222?6n?(n?1)(2n?1).
减号前面括号里的式子有10项，减号后面括号里的式子也恰好有10项，是不是“一个对一个”呢?
24?(12?31?1111????)?(2?2?????) 22224?520?2111?21?2?????10111111????)?6?(??????)
2?34?520?211?2?32?3?510?11?12111111?????)?24?(??????) =24?(2?34?520?212?4?34?6?520?22?21=24?(?=24??(=24?(=6?(?1?2?312?41??12?4?31)?(14?5?14?6?5)?????(120?21??)?
20?22?21?1?1????) 4?620?2211?21=6?(1?)
111????) 2?310?11=
6011
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7．计算下列式子的值：
(1??(1412??1513?14?15?????119801211980122)?(16212?13?114?215?????11980121)?(2213?1214??1315??????14?11198012?????)2?????)?(15??????198012)?????(198012)?(1?1198012
)5
【分析与解】显然直接求解难度很大，我们试着看看是否存在递推的规律. 显然1+1=2; (1?(1?(1?112121212)?()?(1?)?4;222??1313)?(?1422
12?112112)?()?(1??)?6;332312?13?1112121112)?(?)?()?(1???)?8;4344234
)?(2所以原式=198012×2=396024． 习题
计算17×18+18×19+19×20+?+29×30的值．
提示：可有两种方法，整数裂项，利用1到n的平方和的公式. 答案：(29×30×31-16×17×18)÷3=29×10×31-16×17×6=7358.
第3讲 多位数的运算
k
?9＝10-1，提出公因数，递推等方法求解问题． 多位数的运算，涉及利用999?????k个9
k
?9 一、999＝10-1的运用 ?????k个9?9＝10-1来转化问题； 在多位数运算中，我们往往运用999?????k个9k
?3×59049 如：333?????2004个3?3转化为999?9÷3， 我们把333??????????2004个32004个933??3×59049=（999?9÷3）×59049=999?9×59049=（1000?0-1）× 于是原式为3???????????????????200个432004个92004个92004个0Page 11 of 69
19683=19683×1000?0-19683 ?????2004个0 而对于多位数的减法，我们可以列个竖式来求解；
2004个9????????? 1968299?999999+1
2004个9?????????1968299?999999?1 如：
?196831999个9?????????1968299?980316?11999个9?????????1968299?980317，于是为1968299?980317?????????．
1999个9
简便计算多位数的减法，我们改写这个多位数．
?3×2×3×3×333?3 原式=333??????????2004个32008个3
?3×2×3×999?9 =333??????????2004个32008个9?98×（1000?0-1） =1999??????????2003个92008个0?98×1000?0-1999?98 =1999???????????????2003个92008个02003个92003个92008个9????????????1999?979999999?99?1?1999?98?????=
2003个92003个92003个0????????????1999?979998000?01?1?979998??02. ,于是为1999???????000????2003个92003个01999?979998??02???????000????2003个92003个0
?1－222?2=A×A，求A． 2．计算111????????2004个11002个2?1，从而找出突破口. 【分析与解】 此题的显著特征是式子都含有111???n个1?1－222?2=111?1000?0－111?1 111???????????????????2004个11002个21002个11002个01002个1?1×（1000?0-1） =111????????1002个11002个0Page 12 of 69