【分析与解】 有整数部分尽可能大，十分位尽可能大，则有92918??较大，于是最大的为
??9.291892915．
11．请你举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个 分数的分母谁也不是谁的约数”. 【分析与解】 有
16?110?415，
110?115?16，
135?1141?1101
评注：本题实质可以说是寻找孪生质数，为什么这么说呢? 注意到
1a?b?1c?b?c?aa?b?c，当a?c?b时，有
a?b?c?b?c?aa?b?c?1a?c．
当a、b、c两两互质时，显然满足题意．
显然当a、b、c为质数时一定满足，那么两个质数的和等于另一个质数，必定有一个质数为2，不妨设a为2，那么有2?c?b，显然b、c为一对孪生质数． 即可得出一般公式：
12．计算：(1? 【分析与解】 原式=
===
(2?1)?(2?1)2?23?310?101?3?2?4?3?5?4?6?5?7?6?8?7?9?8?10?9?112?2?3?3?4?4?...?10?101?2?3?3?4?4?5?5?...?9?9?10?112?2?3?3?4?4?...?9?9?10?101?2?10?112?2?10?101120?(3?1)?(3?1)?...?(10?1)?(10?1)12?2）?（1?13?3）?...?(1?110?10)
11，c与c+2均为质数即可. ??2?(c?2）c?(c?2)2?c1
=.
13．已知a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?7011?65?12?66?13?67?14?68?15?69?100.问a的整数部分是多少？
【分析与解】
11?65?12?66?13?67?14?68?15?6911?(65?1)?12?(66?1)?13?(67?1)?14?(68?1)?15?（69?1）?100 =
11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（1?=
11?12?13?14?1511?65?12?66?13?67?14?68?15?69）?100
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a=11?66?12?67?13?68?14?69?15?70?100
=100?因为
11?12?13?14?1511?65+12?66?13?67?14?68?15?6911?12?13?14?15?100.
11?12?13?14?15100 ?100＜?100?11?65+12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?656510035所以a＜100+. ?101656511?12?13?14?15100 ?100＞?100?11?65?12?66?13?67?14?68?15?69（11?12?13?14+15）?696910031所以a＞100?. ＝1016969同时
11?12?13?14?15综上有101
3169＜a＜1013565．所以a的整数部分为101．
14．问
12100101357992468100＝A，????...?＝B， 【分析与解】方法一：令????...?24681003579101?34?56?78?...?99与
1相比，哪个更大，为什么?
有A?B＝12?34?56?78?...?99100?23?451?67?89?...?100101＝11011.
而B中分数对应的都比A中的分数大，则它们的乘积也是B＞A，
（＝有A×A＜4×B
1101）＜
1100110＝110?10110，所以有A×A＜更大． ，
110?10，那么A＜
110．
即
12?34?56?78?...?1?399100?5与
?相比，
97方法二：设A＝724689810011335599992?则A＝??????...?
224466100100?...??99=显然
1?3?3?5?5?7?7?...?97?97?99?99?12?2?4?4?6?6?8?...?96?98?98?100?1001?33?55?797?9999，
11002?2、
4?4、
6?6、?、
98?98、
100都是小于1的，所以有A2＜，于是A＜
110.
15．下面是两个1989位整数相乘：111...11??????111...11?????．问：乘积的各位数字之和是多少?
1989个11989个1【分析与解】在算式中乘以9，再除以9，则结果不变．因为111...11?????能被9整除，所以将一个111...11?????1989个11989个1乘以9，另一个除以9，使原算式变成：
999......99??????123456790......012345679???????????
1989个9共1988位数（1000......00?123456790......012345679=??????1）???????????
1989个0共1988位数Page 6 of 69
=123456790......012345679???????????000......00??????123456790......012345679???????????
共1988位数1989个0共1988位数=123456790......012345679123456789876543209......9876543209????????????????????????87654321
共1988位数共1980位数 得到的结果中有1980÷9=220个“123456790”和“987654320”及一个“12345678”和一个“987654321”，所以各位数之和为：
（1?2?3?4?5?6?7?9）?220?（9?8?7?6?5?4?3?2）?220 （1?2?3?4?5?6?7?8）（?9?8?7?6?5?4?3?2?1）?17901 +
评注：111111111÷9=12345679；
M×999...9???的数字和为9×k．(其中M≤999...9???)．可以利用上面性质较快的获得结果．
k个9k个9
第2讲 计算综合（二）
本讲主要是补充[计算综合(I)]未涉及和涉及不深的问题，但不包括多位数的运算． 1．n×(n+1)=[n×(n+1)×(n+2)-(n-1)×n×(n+1)]÷3； 2．从1开始连续n个自然数的平方和的计算公a式：
12?22?32???n2?16?n??n?1???2n?1?
3．平方差公式：a2
-b2
=(a+b)(a-b)．
1． 已知a=
1,b?12?12?1,试比较a、b的大小.
3?13?1????199????199?1100
【分析与解】 a?11,
2?1,b?13?12?3?1????1????198?11A98?B其中A=99,B=99+
111100.因为A
97?1?97?1,96?1?96?1,
98?1A98?197?197?1B98?1A98?1BPage 7 of 69
?
2?3?4?111????198?1A?2?3?4?111????198?1B,所以有a < b．
2.试求
2?3?4?????11111200513?4?????1112005?1?1?3?11114?????112005的和？
【分析与解】 记x?,则题目所要求的等式可写为：
12?x?1?111?x,而
12?x?1?111?x?12?x?1?x2?x?1.
所以原式的和为1．
评注：上面补充的两例中体现了递推和整体思想．
2． 试求1+2+3+4+?4+100的值?
【分析与解】 方法一：利用等差数列求和公式，(首项+末项)×项数÷2=(1+100)×100÷2=5050．
方法二：倒序相加，1+ 2+ 3+ 4+ 5+? 97+ 98+ 99+ 100 100+ 99+ 98+ 97+ 96+?4+ 3+ 2+ 1,
上下两个数相加都是101，并且有100组，所以两倍原式的和为101×100，那么原式的和为 10l×100 ÷2=5050．
方法三：整数裂项(重点)，
原式=(1×2+2×2+3×2+4×2+?+100×2)÷2
=?1?2?2?(3?1)?3?(4?2)?4?(5?3)?????100?(101?99)??2
=(1?2?2?3?1?2?3?4?2?3?4?5?3?4?????100?101?99?100)?2 =100?101?2 =5050.
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