学而思小学奥数36讲(上) - 图文 下载本文

所以表1中,3.6-0.9=2.7头牛吃4星期吃完l公顷原有的草,那么18星期吃完1公顷原有的草需要2.7÷(18÷4)=0.6头牛,加上专门吃新长草的O.9头牛,共需0.6+0.9=1.5头牛,18星期才能吃完1公顷牧场的草.

所以需1.5×24=36头牛18星期才能吃完第三片牧场的草.

第8讲 不定方程与整数分拆

求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法,与此相关或涉及整数分拆的数论问题.

补充说明:对于不定方程的解法,本讲主要利用同余的性质来求解,对于同余性质读者可参考《思维

导引详解》五年级[第15讲 余数问题]. 解不定方程的4个步骤:①判断是否有解;②化简方程;③求特解;④求通解.

本讲讲解顺序:③?包括1、2、3题?④?②?①包括4、5题?③?包括6、7题,其中③④步骤中加入百鸡问题.

复杂不定方程:⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程.

整数分拆问题:11、12、13、14、15.

1.在两位数中,能被其各位数字之和整除,而且除得的商恰好是4的数有多少个?

【分析与解】 设这个两位数为ab,则数字和为a?b,这个数可以表达为

10a?b,有?10a?b???a?b??4

即10a?b?4a?4b,亦即b?2a.

注意到a和b都是0到9的整数,且a不能为0,因此a只能为1、2、3或4,相应地b的取值为2、4、6、8.

综上分析,满足题目条件的两位数共有4个,它们是12、24、36和48.

Page 37 of 69

2.设A和B都是自然数,并且满足

A11?B3?1733,那么A+B等于多少?

【分析与解】 将等式两边通分,有3A+llB=17,显然有B=l,A=2时满足,此时A+B=2+1=3.

3.甲级铅笔7分钱一支,乙级铅笔3分钱一支.张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?

【分析与解】设购买甲级铅笔x支,乙级铅笔y支.

有7x+3y=50,这个不定方程的解法有多种,在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的方法:

将系数与常数对3取模(系数7,3中,3最小):

得x=2(mod 3),所以x可以取2,此时y取12;x还可以取2+3=5,此时y取5; 即??x?2?y?12、??x?5?y?5,对应x?y为14、10

所以张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共14支或10支.

4.有纸币60张,其中1分、l角、1元和10元各有若干张.问这些纸币的总面值是否能够恰好是100元?

【分析与解】 设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张和d张,

列方程如下: 由???a?b?c?d?60?1???a?10b?100c?1000d?10000?2?

(2)(1)得9b?99c?999d?9940??③

注意到③式左边是9的倍数,而右边不是9的倍数,因此无整数解,即这些纸币的总面值不能恰好为100元.

5.将一根长为374厘米的合金铝管截成若干根36厘米和24厘米两种型号的短管,加工损耗忽略不

计.问:剩余部分的管子最少是多少厘米?

【分析与解】 24厘米与36厘米都是12的倍数,所以截成若干根这两种型号的短管,截去的总长度必是12的倍数,但374被12除余2,所以截完以后必有剩余.剩余管料长不小于2厘米.

另一方面,374=27×12+4×12+2,而36÷12=3,24÷12=2,有3×9+2×2=31.即可截成9根36厘米的短管与2根24厘米的短管,剩余2厘米. 因此剩余部分的管子最少是2厘米.

Page 38 of 69

6.某单位的职工到郊外植树,其中有男职工,也有女职工,并且有寺的职工各带一个孩子参加.男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵树,每个孩子种6棵树,他们一共种了216棵树.那么其中有多少名男职工?

【分析与解】设男职工x人,孩子y人,则女职工3y-x人(注意,为何设孩子数为y人,而不是设女

职工为y人), 那么有13x?10?3y?x??6y=216,化简为3x?36y=216,即x?12y=72.

??x?12?x?24?x?36?x?48?x?60 有?. ????y?5y?4y?3y?2y?1?????? 但是,女职工人数为3y?x必须是自然数,所以只有?那么男职工数只能为12名

?x?12?y?5时,3y?x?3满足.

7.一居民要装修房屋,买来长0.7米和O.8米的两种木条各若干根.如果从这些木条中取出一些接起来,可以得到许多种长度的木条,例如:O.7+O.7=1.4米,0.7+0.8=1.5米.那么在3.6米、3.8米、3.4米、3.9米、3.7米这5种长度中,哪种是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的?

【分析与解】设0.7米,0.8米两种木条分别x,y根,则0.7x+0.8y=3.4 3.6,?

即7x+8y=34,36,37,38,39

将系数,常数对7取模,有y≡6,l,2,3,4(mod 7),于是y最小分别取6,1, 2,3,4.

但是当y取6时,8×6=48超过34,x无法取值.

所以3.4米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的.

8.小萌在邮局寄了3种信,平信每封8分,航空信每封1角,挂号信每封角,她共用了1元2角2分.那么小萌寄的这3种信的总和最少是多少封?

【分析与解】显然,为了使3种信的总和最少,那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信,然后是航空信,最后才是平信.但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分.

所以,2分,10n+2分应该为平信的邮费,n最小取3,才是8的倍数,所以平信至少要寄4封,此时剩下的邮费为122-32=90,所以再寄4封挂号信,航空信1封即可.

于是,小萌寄的这3种信的总和最少是4+1+4=9封.

Page 39 of 69

9.有三堆砝码,第一堆中每个砝码重3克,第二堆中每个砝码重5克,第三堆中每个砝码重7克.现在要取出最少个数的砝码,使它们的总重量为130克.那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有几个?

【分析与解】 为了使选取的砝码最少,应尽可能的取7克的砝码.130÷7:18 ??4,所以3克、5克的砝码应组合为4克,或4+7k克重. 设3克的砝码x个,5克的砝码y个,则3x?5y?4?7k. 当k=0时,有3x?5y?4,无自然数解;

当k=1时,有3x?5y?11,有x=2,y=1,此时7克的砝码取17个,所以共

需2+1+17=21个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.

当k>1时,7克的砝码取得较少,而3、5克的砝码却取得较多,不是最少的取

砝码情形.

所以共需2+1+17=20个砝码,有3克、5克和7克的砝码各2、1、17个.

10.5种商品的价格如表8—1,其中的单位是元.现用60元钱恰好买了10件商品,那么有多少种不同的选购方式?

【分析与解】 设B、C、D、E、A商品依次买了b、c、d、e、(10-b-c-d-e) 件,则有

2.9?10?b?c?d?e??4.7b?7.2c?10.6d?14.9e=60. 18b?43c?77d?120e=310,显然e只能取0,1,2. Ⅰ

有18b?43c?77d=310,其中d可取0,1,2,3,4.

(1)当d=0时,有18b?43c=310,将系数,常数对6取模得:

c≡4(mod 6),于是c最小取4,那么有18b=310-43×4=138,b不为自然 数.所以d=0时。不满足; (2)

有18b?43c=233,将系数,常数对6取模得:

最小

,那么有18b=233-43×5=18,

c≡5(mod 6),于是

Page 40 of 69