第一章 MATLAB入门 5

习题 3

1. 设a=(1,2,3),b=(2,4,3), 分别计算a./b, a.\\b, a/b, a\\b, 分析结果的意义。

2. 用矩阵除法解下列线性方程组，并判断解的意义

?41?1??x1??9???????(1)?32?6??x2????2? ???????1?53??x3??1??4?33??x1???1???????(2) ?32?6??x2????2?

???????1?53??x3??1??41??1????x1???(3)?32?????1? ???x2????1?5??1??x1??21?11????1???x2??(4)?121?1?????2? ???x3????1121????3??x4?3. 求第2题第(4)小题的通解。

4. （人口流动趋势）对城乡人口流动作年度调查，发现有一个稳定的朝向城镇流动的趋势，每年农村居民的5%移居城镇而城镇居民的1%迁出，现在总人口的20%位于城镇。假如城乡总人口保持不变，并且人口流动的这种趋势继续下去，那么

（1）一年以后住在城镇人口所占比例是多少？两年以后呢？十年以后呢？ （2）很多年以后呢？

（3）如果现在总人口70%位于城镇，很多年以后城镇人口所占比例是多少？ （4）计算转移矩阵的最大特征值及对应的特征向量，与问题(2)(3)有何关系？

5. （经济预测）在某经济年度内，各经济部门的投入产出表如下表3.5（单位：亿元）

工 业 生 产 部 农 业 2.25 1 0.2 1.55 5 工 业 6 消耗部门 农 业 2 第三产业 1 最后需求 16 总产值 25

6

门 第三产业 3 第一章 MATLAB入门

0.2 1.8 15 20 假设某经济年度工业，农业及第三产业的最后需求均为17亿元，预测该经济年度工业，农业及第三产业的产出（提示：对于一个特定的经济系统而言，直接消耗矩阵和Leontief矩阵可视作不变）。

6. 求下列矩阵的行列式、逆、特征值和特征向量

?11?41?1????（1）?32?6? （2）?02?1?53???12????1???1? (3) 0???5765????71087??68109? ???57910????56???156??（4） n阶方阵?15??, n分别为5, 50, 和500.

????6????15??

7. 判断第6题各小题是否可以相似对角化，如果是，求出对角矩阵和对应的相似变换矩阵。

8. 判断第6题各小题是否为正定矩阵。

9. 求下列向量组的秩和它的一个最大线性无关组，并将其余向量用该最大无关组线性表示。 ?1= (4, -3, 1,3), ?2= (2, -1, 3, 5), ?3= (1, -1, -1, -1), ?4= (3, -2, 3, 4), ?5= (7, -6, -7, 0) 10．（二次型标准化）用正交变换化下列二次型为标准形 f (x1, x2, x3) = x12 - 4 x 1 x 2 + 4 x 1 x 3 -2 x 22 +8 x 2 x 3 -2 x 32 ?

11. （电路网）图3.1是连接三个电压已知终端的电路网，求a, b, c点的电压。

4? b 3? 2? a 0V 20V

3?

5? 5V c 3?

图3.1 电路图

第一章 MATLAB入门 7

?123????

12. (Hamilton-Carley定理)就矩阵A = ?456?验证下列性质

?780???

(i) 设?1, ?2, …, ?n为n阶方阵A的特征值，则

n??i?1ni =

?ai?1nii(A的迹),

??i?1i= (-1)n?A?;

(ii) 设f (x)为A的特征多项式, 则f (A) = 0。

8 第一章 MATLAB入门

习题 4

1 求下列多项式的所有根, 并进行验算。

(1) x2+x+1; (2) 3x5-4x3+2x-1; (3) 5x23-6x7+8x6-5x2;

(4) (2x+3)3-4 (提示：先用conv展开)

2 求方程xln(x2?1?x)?x2?1?0.5x?0的正根。

3 用MATLAB指令求解第一章习题4。

4 (超越方程) 超越方程的解有时是很复杂的，作出

f (x) = x sin (1/x)

在[ - 0.1, 0.1]内的图，可见在x = 0附近f (x) = 0有无穷多个解，并设法求出它们的近似解，使计算结果误差不超过0.01。

5 求解下列非线性方程组在原点附近的根

?9x2?36y2?4z2?36?22 ?x?2y?20z?0?16x?x3?2y2?16z2?0?

6 求解下列方程组在区域 0

???0.7sin??0.2cos? ????0.7cos??0.2sin?

7 (椭园的交点) 两个椭圆可能具有0～4个交点，求下列两个椭园的所有交点坐标

(x - 2) 2 + (y - 3 + 2x) 2 = 5 2 (x-3)2 + (y/3) 2 = 4

8 作出下列函数图形，观察所有的局部极大, 局部极小和全局最大, 全局最小值点的粗略位置; 并用MATLAB函数fminbnd和fminsearch求各极值点的确切位置 (1) f(x)=x2sin(x2-x-2), [-2,2]; (2) f(x)=3x5-20x3+10, [-3, 3];

(3) f(x)=? x3-x2-x-2? [0, 3].