2．证明：(1)∵点E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点， 11
∴EF∥AC且EF＝2AC，GH∥AC且GH＝2AC， ∴EF∥GH且EF＝GH，∴四边形EFGH是平行四边形． 又∵AC⊥BD，∴EF⊥EH.∴?EFGH是矩形．
(2)∵点E，P，G，Q分别为AB，AC，DC，DB的中点， 1111
∴EP＝2BC，PG＝2AD，GQ＝2BC，QE＝2AD.
∵AD＝BC，∴EP＝PG＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是菱形．
点拨：在三角形中出现两边中点，常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．
3．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，∠A＝∠C.
又∵AE＝CF，∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)解：四边形MFNE是平行四边形． 证明：由(1)知△ABE≌△CDF， ∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD. ∵M，N分别是BE，DF中点， ∴ME＝NF.
又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC. ∴∠AEB＝∠EBC. ∴∠CFD＝∠EBC. ∴BE∥DF.
∴四边形MFNE是平行四边形．
4．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，AB∥CD， ∴∠AEO＝∠CFO. 在△AOE和△COF中，
?∠AEO＝∠CFO，?∠AOE＝∠COF， ?OA＝OC.
∴△AOE≌△COF(AAS)．
(2)解：当AC＝EF时，四边形AECF是矩形． 理由如下：
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由(1)知△AOE≌△COF，∴OE＝OF. ∵AO＝CO，∴四边形AECF是平行四边形． 又∵AC＝EF，∴四边形AECF是矩形． 5．(1)证明：∵D，E分别是AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC. 又∵EF∥AB，
∴四边形DBFE是平行四边形． (2)解：答案不唯一，下列解法供参考． 当AB＝BC时，四边形DBFE是菱形． 理由：∵D是AB的中点， 1
∴BD＝2AB.
∵DE是△ABC的中位线， 1
∴DE＝2BC. 又∵AB＝BC，∴BD＝DE. 又∵四边形DBFE是平行四边形， ∴四边形DBFE是菱形． 6．(1)解：DE⊥FG.理由如下：
由题意，得∠A＝∠EDB＝∠GFE，∠ABC＝∠DBE＝90°， ∴∠BDE＋∠BED＝90°. ∴∠GFE＋∠BED＝90°， ∴∠FHE＝90°，即DE⊥FG.
(2)证明：∵△ABC沿射线AB平移至△FEG. ∴CB∥GE，CB＝GE.
∴四边形CBEG是平行四边形． ∵∠ABC＝∠GEF＝90°， ∴四边形CBEG是矩形．
∵BC＝BE，∴四边形CBEG是正方形． 7．解：∵在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝5， ∴CD＝AB＝10，AD＝BC＝5.
又∵将矩形ABCD沿EF折叠，使点A，D分别落在矩形ABCD外部的点A1，D1处，根据轴对称的性质可得，A1E＝AE，A1D1＝AD，D1F＝DF.
设线段D1F与线段AB交于点M，则阴影部分的周长为
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(A1E＋EM＋MD1＋A1D1)＋(MB＋MF＋FC＋CB) ＝AE＋EM＋MD1＋AD＋MB＋MF＋FC＋CB ＝(AE＋EM＋MB)＋(MD1＋MF＋FC)＋AD＋CB ＝AB＋(FD1＋FC)＋10 ＝AB＋(FD＋FC)＋10 ＝10＋10＋10＝30.
点拨：要求阴影部分的周长，我们可以把两块阴影部分的周长相加，找到它们的周长和与原矩形边长的关系，从而得到问题的答案．21cnjy.com
8．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是1
4.理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°， ∠BOC＝90°.
∵四边形A′B′C′O是正方形， ∴∠EOF＝90°，∴∠EOF＝∠BOC. ∴∠EOF－∠BOF＝∠BOC－∠BOF， 即∠BOE＝∠COF.
∴△BOE≌△COF.∴S△BOE＝S△COF. ∴两个正方形重叠部分的面积等于S△BOC. ∵S正方形ABCD＝1×1＝1. ∴S11△BOC＝4S正方形ABCD＝4. ∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是1
4.
9．解：(1)如图，在菱形ABCD中，AC⊥BD，BG＝11
2BD＝2×16＝8，由勾股定理得AG＝AB2－BG2＝102－82＝6， ∴AC＝2AG＝2×6＝12.
菱形ABCD的面积＝1AC·BD＝1
22×12×16＝96.
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(第9题)
(2)如图①，连接AO，则S△ABD＝S△ABO＋S△AOD， 所以1＝112BD·AG2AB·OE＋2AD·OF， 即11OE＋12×16×6＝2×10·2×10·OF， 解得OE＋OF＝9.6是定值，不变．
(3)如图②，连接AO，则S△ABD＝S△ABO－S△AOD， 所以1112BD·AG＝2AB·OE－2AD·OF， 即12×16×6＝112×10·OE－2×10·OF， 解得OE－OF＝9.6，是定值，不变．
所以OE＋OF的值变化，OE，OF之间的数量关系为：OE－OF＝9.6. 24