(第3题)

3．(1)证明：由折叠知AE＝AD＝EG，BC＝CH. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AD＝BC. ∴EG＝CH.

(2)解：∵∠ADE＝45°，∠FGE＝∠A＝90°，AF＝2， ∴DG＝2，DF＝2.∴AD＝2＋2. 如图，由折叠知，∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2＋∠4＝90°，∠1＋∠3＝90°. ∵∠1＋∠AFE＝90°， ∴∠3＝∠AFE. 又∵∠A＝∠B＝90°， 由(1)知，AE＝BC， ∴△EFA≌△CEB.

∴AF＝BE.∴AB＝AE＋BE＝AD＋AF＝2＋2＋2＝2＋22. 4．C 点拨：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，∠A＋∠ABC＝180°，BD平分∠ABC.∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°，∴∠FBC＝30°.根据折叠可得AB＝BF，∴FB＝BC.∴∠BFC＝∠BCF＝(180°－30°)÷2＝75°.故选C.2-1-c-n-j-y

5．解：如图，连接BD，AC. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AC平分∠BAD. ∵∠BAD＝120°，∴∠BAC＝60°. ∴∠ABO＝90°－60°＝30°. ∵∠AOB＝90°， 11

∴AO＝2AB＝2×2＝1. 由勾股定理，得BO＝DO＝3. ∵点A沿EF折叠与点O重合， ∴EF⊥AC，EF平分AO. ∵AC⊥BD，∴EF∥BD， 易得EF为△ABD的中位线， 11

∴EF＝2BD＝2×(3＋3)＝3.

13

(第5题)

6．13 点拨：如图，过点F作FM⊥BC，垂足为M，连接BE，FE，设BE交FG于点N，由折叠的性质知FG⊥BE，【版权所有：21教育】

∴∠C＝∠BNG＝90°，∴∠BGN＝∠BEC.易知FM＝BC，∠FMG＝∠C，∴△FMG≌△BCE，∴MG＝CE＝5，由勾股定理得FG＝FM2＋MG2＝13.

(第6题)

7．(1)证明：∵PE＝BE， ∴∠EBP＝∠EPB.

又∵∠EPH＝∠EBC＝90°，

∴∠EPH－∠EPB＝∠EBC－∠EBP， 即∠BPH＝∠PBC.

又∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC， ∴∠APB＝∠BPH.

(2)解：△PDH的周长不变且为定值8. 证明如下：过B作BQ⊥PH，垂足为Q.如图． 由(1)知∠APB＝∠BPH，

又∵∠A＝∠BQP＝90°，BP＝BP， ∴△ABP≌△QBP. ∴AP＝QP，AB＝BQ. 又∵AB＝BC，∴BC＝BQ.

又∵∠C＝∠BQH＝90°，BH＝BH， ∴Rt△BCH≌Rt△BQH，∴CH＝QH.

∴△PDH的周长为：PD＋DH＋PH＝AP＋PD＋DH＋HC＝AD＋CD＝8.

(第7题)

14

专训2

1．解：AE＝CF，AE∥CF.证明如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD. ∴∠ABE＝∠CDF. 在△ABE和△CDF中，

∵AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，BE＝DF， ∴△ABE≌△CDF.

∴AE＝CF，∠AEB＝∠CFD.

∵∠AEB＋∠AED＝∠CFD＋∠CFB＝180°， ∴∠AED＝∠CFB.∴AE∥CF. 2．解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC.

∴∠CAD＝∠ACB，∠AEF＝∠CFE. ∵EF垂直平分AC，垂足为O， ∴OA＝OC.

∴△AOE≌△COF.∴OE＝OF. ∴四边形AFCE为平行四边形． 又∵EF⊥AC，∴四边形AFCE为菱形． 设AF＝CF＝x cm，则BF＝(8－x)cm，

(第2题)

在Rt△ABF中，AB＝4 cm，由勾股定理得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5. ∴AF＝5 cm.

(2)显然当P点在AF上，Q点在CD上时，A，C，P，Q四点不可能构成平行四边形；同理P点在AB上，Q点在DE或CE上时，也不可能构成平行四边形．因此只有当P点在BF上，Q点在ED上时，才能构成平行四边形，如图，连接AP，CQ，则以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形，此时PC＝QA.∵点P的速度为5 cm/s，点Q的速度为4 cm/s，运动时间为t s，

∴PC＝5t cm，QA＝(12－4t)cm. 4∴5t＝12－4t，解得t＝3. 15

4

∴以A，C，P，Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t＝3.

3．证明：(1)如图①，连接AC.∵在菱形ABCD中，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD，∠BCD＝180°－∠B＝120°.∴△ABC是等边三角形．又∵E是BC的中点，∴AE⊥BC.∵∠AEF＝60°，∴∠FEC＝90°－∠AEF＝30°.∴∠CFE＝180°－∠FEC－∠BCD＝180°－30°－120°＝30°.∴∠FEC＝∠CFE.∴EC＝CF.∴BE＝DF.

(第3题)

(2)如图②，连接AC.由(1)知△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠ACB＝∠BAC＝60°. 又∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF. ∵∠BCD＝120°，∠ACB＝60°， ∴∠ACF＝60°＝∠B. ∴△ABE≌△ACF.

∴AE＝AF.∴△AEF是等边三角形．

(第4题)

4．(1)证明：如图，∵四边形ABCD为正方形，

∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠ADC＝90°，AB＝BC＝CD＝AD. ∵AE＝BF＝CG＝DH，∴AH＝BE＝CF＝DG. ∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG. ∴∠1＝∠2，EH＝EF＝FG＝GH. ∴四边形EFGH为菱形． ∵∠1＋∠3＝90°，∠1＝∠2， ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠HEF＝90°.

∴四边形EFGH为正方形．

(2)解：直线EG经过一个定点．理由如下：如图，连接BD，DE，BG，EG.设EG与BD交于O点．

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