（Ⅱ）当进而得到
时，求得函数在
的导数，得，则为单调递增函数，又由
的最小值为
，，即可
单调递减，在单调递增，所以函数
证明结论；
（Ⅲ）根据函数的单调性和极值，可得当试题解析： （Ⅰ）因为函数故
，
， 曲线时，令
,所以在
处的切线方程为，则
和
且
时时，
零点的个数.
（Ⅱ）当故由即当故函数
在
是上的增函数. ，故当时，
时，，当单调递减，在
，由
，当时，
时，. 单调递增. ，故
有且仅有一个零点. 且
时，
有两个零点. .
的最小值为
时，
（Ⅲ）当有一个零点；当
点睛：本题主要考查了导数的综合应用问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解切线 (2)利用导数求函数的单调区间，（3）的方程，往往和直线有关的知识相联系；判断单调性；利用函数的单调性，转化为函数的极值或最值，求参数等问题.
20. 无穷数列
满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，
中等于的项的个数. （Ⅰ）若
，请写出数列
的前7项；
，使得时，恒有
；
成立”的充要条
（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在（Ⅲ）求证:“件。
”是“存在
，当
【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，直接写出即可； （Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的
，
，利用反证法证明即可；
（Ⅲ）可分充分性和必要性证明即可，当偶数，则可. 试题解析：
（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1
（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的考虑数列
的前
项：
；当为奇数，则
时，得数列满足，，当为
，即可证得充分性；再作出必要性的证明即
，. 由题意，
，，，…， 其中至少有 此时有：
项的取值相同，不妨设
，矛盾.
，使得
.
故对于任意的正整数，必存在（Ⅲ）充分性：
当特别地，
时，数列，
为，，，，，，，…，，，故对任意的
有当
时，恒有，当
，，，…
（1）若为偶数，则（2）若为奇数，则综上，
恒成立，特别地，取
（的前
成立
成立”
方法一:假设存在
则数列
），使得“存在项为
时，恒有
，，，，，，，，…，，
，，，，，…，，，，，…，，
，，
后面的项顺次为
，，
，，…，
，
，，
，
，
，，
，，
，，
，，，，
，，…，，，…，
， ，
……
对任意的，总存在当
时，恒有
，使得成立，必有，当
时，
，使得
，
恒成立，记（由s的定义知
. ）
，这与
矛盾，故若存在
，
方法二：若存在
由第（2）问的结论可知：存在不妨设是数列则记假设
.因为
，由数列，则可设
中第一个大于等于．．．
，所以
的项，即，即
且
均小于等于s. 为正整数，所以
.
的定义可知，在
，其中
， ，所以
中恰有t项等于1.
，
考虑这t个1的前一项，即
因为它们均为不超过s的正整数，且将其记为a，则数列
中一定存在两项相等，
的
中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列
定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设综上，“
不成立，所以”是“存在
，即必要性得证！ ，当
时，恒有
成立”的充要条件.