（Ⅱ）当进而得到

时，求得函数在

的导数，得，则为单调递增函数，又由

的最小值为

，，即可

单调递减，在单调递增，所以函数

证明结论；

（Ⅲ）根据函数的单调性和极值，可得当试题解析： （Ⅰ）因为函数故

，

， 曲线时，令

,所以在

处的切线方程为，则

和

且

时时，

零点的个数.

（Ⅱ）当故由即当故函数

在

是上的增函数. ，故当时，

时，，当单调递减，在

，由

，当时，

时，. 单调递增. ，故

有且仅有一个零点. 且

时，

有两个零点. .

的最小值为

时，

（Ⅲ）当有一个零点；当

点睛：本题主要考查了导数的综合应用问题，其中导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查都非常突出，从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下两个角度进行： (1)考查导数的几何意义，求解切线 (2)利用导数求函数的单调区间，（3）的方程，往往和直线有关的知识相联系；判断单调性；利用函数的单调性，转化为函数的极值或最值，求参数等问题.

20. 无穷数列

满足：为正整数，且对任意正整数，为前项，，，

中等于的项的个数. （Ⅰ）若

，请写出数列

的前7项；

，使得时，恒有

；

成立”的充要条

（Ⅱ）求证：对于任意正整数，必存在（Ⅲ）求证:“件。

”是“存在

，当

【答案】（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题设条件，直接写出即可； （Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的

，

，利用反证法证明即可；

（Ⅲ）可分充分性和必要性证明即可，当偶数，则可. 试题解析：

（Ⅰ）2，1，1，2，2，3，1

（Ⅱ）假设存在正整数，使得对任意的考虑数列

的前

项：

；当为奇数，则

时，得数列满足，，当为

，即可证得充分性；再作出必要性的证明即

，. 由题意，

，，，…， 其中至少有 此时有：

项的取值相同，不妨设

，矛盾.

，使得

.

故对于任意的正整数，必存在（Ⅲ）充分性：

当特别地，

时，数列，

为，，，，，，，…，，，故对任意的

有当

时，恒有，当

，，，…

（1）若为偶数，则（2）若为奇数，则综上，

恒成立，特别地，取

（的前

成立

成立”

方法一:假设存在

则数列

），使得“存在项为

时，恒有

，，，，，，，，…，，

，，，，，…，，，，，…，，

，，

后面的项顺次为

，，

，，…，

，

，，

，

，

，，

，，

，，

，，，，

，，…，，，…，

， ，

……

对任意的，总存在当

时，恒有

，使得成立，必有，当

时，

，使得

，

恒成立，记（由s的定义知

. ）

，这与

矛盾，故若存在

，

方法二：若存在

由第（2）问的结论可知：存在不妨设是数列则记假设

.因为

，由数列，则可设

中第一个大于等于．．．

，所以

的项，即，即

且

均小于等于s. 为正整数，所以

.

的定义可知，在

，其中

， ，所以

中恰有t项等于1.

，

考虑这t个1的前一项，即

因为它们均为不超过s的正整数，且将其记为a，则数列

中一定存在两项相等，

的

中相邻两项恰好为（a，1）的情况至少出现2次，但根据数列

定义可知：第二个a的后一项应该至少为2，不能为1，所以矛盾！ 故假设综上，“

不成立，所以”是“存在

，即必要性得证！ ，当

时，恒有

成立”的充要条件.