求：1） 零输入响应yzi(k)、零状态响应yzs(k)及全响应y(k)；

2） 指出其中的自由响应分量和受迫响应分量； 3） 判断该系统的稳定性。

??k?h(k)?cos???(k)2??五（12分）、已知某离散时间系统的单位函数响应。

1） 求其系统函数H(z)； 2） 粗略绘出该系统的幅频特性； 3） 画出该系统的框图。

5

六、（10分）请叙述并证明z变换的卷积定理。

6

答案

12??2?j3?，按照取样间隔1、 已知某连续信号f(t)的傅里叶变换为

T?1对其进行取样得到离散时间序列f(k)，序列f(k)的Z变换。

F(j?)?F(s)?解法一：f(t)的拉普拉斯变换为

n1111???2?s2?3s(s?1)(s?2)s?1s?2，

解法二：f(t)=L{F(jw)}=(e? e )?(t)

?k

?2k

nKizzz?F(s)z?F(z)??Res?????sT?siTz?ez?e?1z?e?2 ??i?1i?1z?es?si?1?t ?2t

?1k?2k((e)?(e))?(k) f(k)= (e? e )?(k)=zz??1z?e?2 F(z)=Z[f(k)]= z?e?????f(k)?1?cos2?k???(k)?f1(k)?1,2,1?2??k?0?2、 求序列和的卷积和。

??解：f1(k)={1,2,1}=?(k)+2?(k?1)+ ?(k?2)

f1(k)* f2(k)= f2(k)+ 2f2(k?1)+ f2(k?2) 3、已知某双边序列的Z变换为

F(z)?110z2?9z?2，求该序列的时域表达式f(k)。

解：

当收敛域为|z|>0.5时，f(k)=(( ?0.4)k?1?( ?0.5)k?1)?(k?1)

当收敛域为0.4<|z|<0.5时，f(k)= ( ?0.4)k?1?(k?1)+( ?0.5)k?1?( ?k) 当收敛域为|z|<0.4时，f(k)= ? ( ?0.4)k?1?(?k)+( ?0.5)k?1?( ?k)

点评：此题应对收敛域分别讨论，很多学生只写出第一步答案，即只考虑单边序列。 4、已知某连续系统的特征多项式为：

F(z)?11?z?0.4z?0.5，两个单阶极点为?0.4、?0.5

D(s)?s7?3s6?6s5?10s4?11s3?9s2?6s?2

试判断该系统的稳定情况，并指出系统含有负实部、零实部和正实部的根各有几个？

解 构作罗斯-霍维茨阵列

s71611s63109816s5833s4132s3(00)46

6

2

0

42此时出现全零行，有辅助多项式s?3s?2 求导可得4s?6s,以4,6代替全零行系数。

3 7

s2s10s

由罗斯-霍维茨数列可见，元素符号并不改变，说明s右半平面无极点。再由

42 s?3s?2?0

2令s?x则有

3223222x ?3x?2?0

可解得 x??1,?2

相应地有

s1,2??1??j s3,4??2??j2 这说明该系统的系统函数在虚轴上有四个单极点分别为土j及土j2，系统为临界稳定。 所以系统含有三个负实部的根、四个零实部的根，无正实部的根。 点评：此题得分率很低。很多学生对全零行不知如何处理。

s3?6s2?4s?2H(s)?3s?2s2?s?1。试给出该系统5、已知某连续时间系统的系统函数为：

的状态方程。

解：系统的微分方程为

y???(t)?2y??(t)?y?(t)?y(t)?e???(t)?6e??(t)?4e?(t)?2e(t)

取原来的辅助变量q及其各阶导数为状态变量并分别表示为q?x1、q'?x2、q''?x3、

q'''?x3'，于是，由此微分方程立即可以写出如下方程

状态方程：

?x1'?x2??x2'?x3?x'??x?x?2x?e(t)123?3

312输出方程：

或者写成矩阵形式，上式即为

y?x??2x?4x?6x3?x1?3x2?4x3?e(t)

01??x1??0??x1'??0?x'??Ax?Be??0??x???0?e10?2????2??????x3'????1?1?2????x3????1??

?x1???e(t)y?Cx?De??134??x2????x3??6、求出下面框图所示离散时间系统的系统函数。

``

8