进行向量运算，要认真细心、准确计算．
（2）设m，n分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与 n>|= m?nmn．求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 20．（1）见解析；（2）3 【解析】 【分析】 （1）先由线面垂直得到AC1?BC，再通过线线垂直得到BC?平面ACC1A1，从而得到平面ABC?平面ACC1A1；（2）取AC的中点D，证明A1D?平面ABC，再求出A1D的值，求出三棱柱ABC?A1B1C1的体积，再求出与三棱柱ABC?A1B1C1同底同高的三棱锥B1?ABC的体积，然后进行等体积转化得到三棱锥B1?A1BC的体积，求出△A1BC的面积，然后得到点B1到平面A1BC的距离. 【详解】 （1）证明：QAC1?平面A1BC，?AC1?BC． Q?BCA＝90?， ?BC?AC，?BC?平面ACC1A1．又BC?平面ABC，?平面ABC?平面ACC1A1． （2）解：取AC的中点D，连接A1D．QA1A?A1C，?A1D?AC． 又平面ABC?平面ACC1A1，且交线为AC，则A1D?平面ABC． QAC1?平面A1BC，?AC1?AC，?四边形ACC1A1为菱形，?AA1?AC． 1 又A1A?A1C，?VA1AC是边长为2正三角形，?A1D?31?VABC?A1B1C1??2?2?3?23． 2QAA1PBB1,AA1?面BB1C1C,BB1?面BB1C1C ?AA1P面BB1C1C ?VA1?B1BC?VA?B1BC?VB1?ABC?1VABC?ABC?23 11133设点B1到平面A1BC的距离为h．则VB1?A1BC?1h?S?A1BC． 3QAC1?BC，A1C?AC?BC?2 ?S?A1BC?1BC?AC?2，?h?3． 12所以点B1到平面A1BC的距离为3． 【点睛】 本题考查线线垂直证明线面垂直，再证明面面垂直，通过线面平行和变化顶点和底对三棱锥进行等体积转化，属于中档题. 21． (Ⅰ)见证明； (Ⅱ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）先证得EF?FC，再证得EF?BD，于是可得EF?平面BCD，根据面面垂直的判定定理可得平面EFC?平面BCD．（Ⅱ）利用几何法求解或建立坐标系，利用向量求解即可得到所求． 【详解】 （Ⅰ）在Rt?BCD中，F是斜边BD的中点， 所以FC?1． 31BD?1. 2因为E,F是AD,BD的中点， 所以EF?1AB?1，且EC?2， 2所以EF2?FC2?EC2， 所以EF?FC. 又因为AB?BD,EF//AB， 所以EF?BD， 又BD?FC?F， 所以EF?平面BCD， 因为EF?平面EFC， 所以平面EFC?平面BCD． （Ⅱ）方法一：取AC中点M，连ME，则ME//CD， 因为CE?1AD?2， 2所以CD?AC. 又因为CD?BC，AC?BC?C， 所以CD?平面ABC， 所以ME?平面ABC． 因此?ECM是直线EC与平面ABC所成的角． 故AC?2MC?2EC?cos30o?所以CD?BC?6， 2. 过点B作BN?AC于N，则BN?平面ACD， 且BN?AB?BC23． ?AC3过点B作BH?EC于H，连接HN， 则?BHN为二面角A?CE?B的平面角． 因为BE?BC?EC?所以BH?2， 366， BE?,HN?BH2?BN2?226所以cos?BHN?HN1?， BH31． 3因此二面角A?CE?B的余弦值为方法二： 如图所示，在平面BCD中，作x轴⊥BD，以B为坐标原点，BD，BA所在直线为y轴，z轴建立空间直角坐标系Bxyz． 因为CD?BC?2 (同方法一,过程略) 则C?1,1,0?，A?0,0,2?,E?0,1,1?． uuuvuuuvuuuv所以CE=??1,0,1?,BE??0,1,1?,AE??0,1,?1?， 设平面ACE的法向量m??x1,y1,z1?， vuuuvv?AE·?y1?z1?0m?0vvv则?uuu，即?，取x1?1,得m??1,1,1?． ??x1?z1?0?CE?m?0设平面BCE的法向量n??x2,y2,z2? vuuuvv?BE·?y2?z2?0n?0vuuuv则?，即?，取x2?1,得n??1,?1,1?． vn?0??x2?z2?0?CE·vvm·n11vvcosm,n??=vv所以， mn3?33由图形得二面角A?CE?B为锐角， 因此二面角A?CE?B的余弦值为【点睛】 利用几何法求空间角的步骤为“作、证、求”，将所求角转化为解三角形的问题求解，注意计算和证明的交 替运用．利用空间向量求空间角时首先要建立适当的坐标系，通过求出两个向量的夹角来求出空间角，此时需要注意向量的夹角与空间角的关系． 22．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据重要不等式得到a?b?等式得到结果. 【详解】 （1）根 据 重 要 不 等 式 得 到：a?b?22221． 321a?b?21?12????根据均值不（2）???a?b?进而得到结果； ab22?ab?12?a?b??2. 22?2（2）2?1?a?b??2?1??3?b?a?3?2???ab2?ab?2a2b24??2，等号成立的条件为： ba? a2b