为U . 2分
在球层内取半径为r→r＋dr的薄球层．其电荷为
dq = ? 4?r2dr
该薄层电荷在球心处产生的电势为
dU?dq/?4??0r???rdr/?0 2分 整个带电球层在球心处产生的电势为
? U0??dU0??0 U?U0? 若根据电势定义U??R2R1rdr??2?R2?R12? 2分 2?0因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U为
??E??dl计算同样给分.
?2?R2?R12? 2分 2?0
1597(30). 电荷q均匀分布在长为2l的细杆上，求在杆外延长线上与杆端距离为a的P点的电势(设无穷远处为电势零点)．
解：设坐标原点位于杆中心O点，x轴沿杆的方向，如图所
xdx示．细杆的电荷线密度?＝q / (2l)，在x处取电荷元dq = ?dxPx＝qdx / (2l)，它在P点产生的电势为 OadUP?dqqdx 4分 ?4??0?l?a?x?8??0l?l?a?x?l2l
整个杆上电荷在P点产生的电势
q UP?8??0lq?qdxl?2l????lnl?a?x?ln?1?? 4分 ??l?l?a?x?8??0l?l8??0l?a?
5091(50)图示两个同轴带电长直金属圆筒，内、外筒半径分别为R1和R2，两 筒间为空气，内、外筒电势分别为U1＝2U0，U2＝U0，U0为一已知常量．求两金属圆筒之间的电势分布．
解：设内筒所带电荷线密度为?，则两筒间的场强分布为
R2 R1 ? E?两筒间的电势差为
R2?r 2分 22??0r? ?R1R2? rE
rU1U2 ??R2?drR2? U1－U2＝U0＝?E?dr?? ?lnR12??rR12??0R10U0?由此得 3分 ?2??0ln?R2/R1?
设两筒间任一点(距轴线距离为r)的电势为U，则
??r?dr?r?ln 3分 有 U1?U??E?dr??R1R12??r2??0R10U0?rrln U?U1??2U0?ln (1) 2分 2??0R1ln?R2/R1?R1r??R2?drR?或 U?U2??E?dr???ln2
rr2??r2??0r0U0RR? U?ln2?U2?U0?ln2 (2)
2??0rln?R2/R1?rR2可以证明，(1)、(2) 两式是相等的 2U0??U0ln?r/R1??r? ln?U0?U0?1???ln?R2/R1?R1?ln?R2/R1?? ?U0?U0U0ln?R2/R1??ln?r/R1?R?U0?ln2
ln?R2/R1?ln?R2/R1?r所以两金属圆筒间的电势分布可以用(1)、(2)式表示都可，只要答一个.
1043(35).两个带等量异号电荷的均匀带电同心球面，半径分别为R1＝0.03 m和R2＝0.10 m．已知两者的电势差为450 V，求内球面上所带的电荷． 解：设内球上所带电荷为Q，则两球间的电场强度的大小为
E?两球的电势差 U12?R2Q (R1＜r＜R2) 1分 24??0rQ?11?QR2dr???? 2分 2???R1?R14??RR4??0r0?12?4??0R1R2U12-∴ Q?＝2.143109 C 2分 R2?R1Edr?
1520(25). 图示两个半径均为R的非导体球壳，表面上均匀带电，电荷分别为＋Q和－Q，两球心相距为d (d>>2R)．求两球心间的电势差．
+QRO1d-QO2R解：均匀带电球面内的电势等于球面上的电势．球面外
的电势相当于电荷集中在球心上的点电荷的电势．由此，按电势叠加原理
QQ球心O1处的电势为： U1? 2分 ?4??0R4??0dQQ球心O2处的电势为： U2? 2分 ?4??0d4??0R
则O1、O2间的电势差为： U12?Q2??0?11?Q?d?R? 1分 ?????Rd?2??0Rd
1072(30). 在真空中一长为l＝10 cm的细杆上均匀分布着电 q0? ??-荷，其电荷线密度?＝ 1.03105 C/m．在杆的延长线上，距
- d l 杆的一端距离d＝10 cm的一点上，有一点电荷q0＝ 2.03105
C，如图所示．试求该点电荷所受的电场力．(真空介电常量?0＝8.85310-12 C22N-12m-2 )
解：选杆的左端为坐标原点，x轴沿杆的方向 ．在x处取一电荷元?dx，它在点电荷所在处产生场强为：
dE??dx4??0?d?x?2 3分
d q0 l ?dx x O x d+ x
整个杆上电荷在该点的场强为：
? E?4??0dx?l??0?d?x?24??0d?d?l? 2分
l点电荷q0所受的电场力为：
F?q0?l＝0.90 N 沿x轴负向 3分
4??0d?d?l?
1074(60). 两根相同的均匀带电细棒，长为l，电荷线密度为?， ? ?沿同一条直线放置．两细棒间最近距离也为l，如图所示．假
l l l 设棒上的电荷是不能自由移动的，试求两棒间的静电相互作用
力． 解：选左棒的左端为坐标原点O，x轴沿棒方向向右， ?dx l 2l ?dx? 3l O 在左棒上x处取线元dx，其电荷为dq＝?dx，它在右 x x ?棒的x处产生的场强为： x ? dE?整个左棒在x?处产生的场强为：
?dx4??0?x??x?2 3分
E??l?dx4??0?x??x?20???11??? 2分 ?4??0?x??lx??右棒x?处的电荷元?dx?在电场中受力为：
?2?11? dF?E?dx????dx? 3分 ?4??0?x??lx??整个右棒在电场中受力为：
?24?2??11?? F?，方向沿x轴正向． 2分 ?ln?dx???4??034??0?2l?x??lx??左棒受力 F???F 2分
3l
1309(20).两“无限长”同轴均匀带电圆柱面，外圆柱面单位长度带正电荷?，内圆柱面单位长度带等量负电荷．两圆柱面间为真空，其中有一质量为m并带正电荷q的质点在垂直于轴线的平面内绕轴作圆周运动，试求此质点的速率．
解：应用高斯定理，得两柱面间场强大小为 E = ? / (2??0 r) 2分
其方向沿半径指向轴线．设质点作圆周运动的轨道半径为r，则带电粒子所受静
电力为 Fe＝qE＝(q?) / (2??0 r) 1分
此力作为向心力，按牛顿第二定律 q? / (2??0 r) = mv2 / r
解出
v?q? 2分
2??0m
1368(35).电荷为＋q和－2q的两个点电荷分别置于x＝1 m和x＝－1 m处．一试验电荷置于x轴上何处，它受到的合力等于零？
解：设试验电荷置于x处所受合力为零，即该点场强为零．
q?2q??0 2分 224??0?x?1?4??0?x?1?得 x2－6x+1=0, x?3?22 m
因x?3?2点处于q、－2q两点电荷之间，该处场强不可能为零．故舍去．得
?? x?3?22 m 3分
1651(25). 如图所示，一内半径为a、外半径为b的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内距离球心r处有一点电荷q．设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内外表面上的电荷．
ra (2) 球心O点处，由球壳内表面上电荷产生的电势． QqOb (3) 球心O点处的总电势．
解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷-q，外表面上带电
荷q+Q．
2分
(2) 不论球壳内表面上的感生电荷是如何分布的，因为任一电荷元离O点的 距离都是a，所以由这些电荷在O点产生的电势为
U?q????dq4??0a??q 2分
4??0a (3) 球心O点处的总电势为分布在球壳内外表面上的电荷和点电荷q在O点
产生的电势的代数和 2分 UO?Uq?U?q?UQ?q
?qqQ?qq111Q ? 2分 ??(??)?4??0r4??0a4??0b4??0rab4??0b
1349(50).两金属球的半径之比为1∶4，带等量的同号电荷．当两者的距离远大于两球半径时，有一定的电势能．若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？
解：因两球间距离比两球的半径大得多，这两个带电球可视为点电荷．设两球各带电荷Q，若选无穷远处为电势零点，则两带电球之间的电势能为
W0?Q2/(4??0d)
式中d为两球心间距离． 2分
当两球接触时，电荷将在两球间重新分配．因两球半径之比为1∶4．故两球电荷之比Q1∶Q2 = 1∶4．
Q2 = 4 Q1 2分
但 Q1?Q2?Q1?4Q1?5Q1?2Q
∴Q1?2Q/5，Q2?4?2Q/5?8Q/5 2分 当返回原处时,电势能为 W?Q1Q216?W0 2分
4??0d25 40 cm a 30 cm c z y 30 cm b e ?
-2551(30).已知均匀磁场，其磁感强度B = 2.0 Wb2m2，方向沿x轴正向，如图所示．试求： (1) 通过图中abOc面的磁通量； (2) 通过图中bedO面的磁通量； (3) 通过图中acde面的磁通量．
50 cm B O d x
解：匀强磁场B对平面S的磁通量为： O d x
30 cm ?? B ??? ??BS?BScos? ?? n c 设各面向外的法线方向为正
z (1) ?abOc?BSabOccos???0.24 Wb 2分
???40 cm ?