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(III)设数列?an?是公差为1．首项为l的等差数列，数列??1?求证：当a?1时，?的前n项和为Sn，

?an?Sn?2?f(n)?

1?Sn?1?1(n?N?,n?2). nx2y2221．已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的一个焦点与抛物线y?4x的焦点相同，F1 ，F2为椭

ab圆的左、右焦点．M为椭圆上任意一点，△MF1F2面积的最大值为1． （1）求椭圆C的方程；

（2）直线l：y?kx?m(m?0)交椭圆C于A，B两点．

（i）若x轴上任意一点到直线AF2与BF2距离相等，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标； （ii）若直线l的斜率是直线OA，OB斜率的等比中项，求△AOB面积的取值范围．

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参考答案

1．B2．C3．D4．A5．A6．D7．B8．C9．D10．A 11．9 12．f(2n)?n?21 13．4 14．①②④ 15．(,1) 22?316．试题解析：（Ⅰ）因为角A、B、C成等差数列，所以2B?A?C， 因为A?B?C??，所以B?.2分因为b?13，a?3，b2?a2?c2?2accosB,

所以c2?3c?4?0.所以c?4或c??1(舍去)． 6分

2?312?，所以t?sinAsin(?A)?sinA(cosA?sinA)

3223311?cos2A11??sin2A?()??sin(2A?). 9分 4224262???7?因为0?A?，所以??2A??,

3666???3所以当2A??，即A?时，t有最大值. 12分

6243（Ⅱ）因为A?C?17．试题解析：（1）∵OM?ON，所以，则原点O在MN的中垂线上. 设MN的中点为H，则CH?MN，∴C、H、O三点共线.

331∵直线MN的方程是3x?y?4?0，∴直线OC的斜率k?t?2?，解得t?3或

tt3t??3，∴圆心为C(3,1)或C(?3,?1)，

∴圆C的方程为(x?3)?(y?1)?10或(x?3)?(y?1)?10.

由于当圆方程为(x?3)?(y?1)?10时，圆心到直线3x?y?4?0的距离d?r， 此时不满足直线与圆相交，故舍去.∴圆C的方程为(x?3)?(y?1)?10. （2）在三角形PBQ中，两边之差小于第三边，故|PQ|?|PB|?|BQ|， 又B,C,Q三点共线时|BQ|最大，

所以|PQ|?|PB|的最大值为|BC|?10?210. ∵B(0,2)，C(3,1)，∴直线BC的方程为y??222222221x?2， 3∴直线BC与直线x?y?2?0的交点P的坐标为(?6,4).

18．试题解析：（Ⅰ）证明：因为侧面PCD⊥底面ABCD，所以PD⊥底面ABCD，PD⊥CD，所以PD⊥AD.又因为?ADC＝90，即AD⊥CD，以D为原点建立如图所示的空间直

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角坐标系，则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，P(0,0,1)， 所以DB?(1,1,0),BC?(?1,1,0). 所以DB?BC?0，所以BC?BD 由PD⊥底面ABCD，可得PD?BC, 又因为PDDB?D，所以BC⊥平面PBD. 5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面PBD的一个法向量为

BC?(?1,1,0)，且P(0,0,1)，C(0,2,0)，所以PC?(0,2,?1)，又PE??PC，所以E(0,2?,1??)，DE?(0,2?,1??). 7分

设平面EBD的法向量为n?(a,b,c)，因为DB?(1,1,0)，由nDB?0，nDE?0，

2???a?b?0?得?，令a??1，则可得平面EBD的一个法向量为n???1,1,?,

2?b?(1??)c?0??1???所以cos?4?|n?BC|， 10分 解得??2?1或???2?1，

|n|?|BC|又由题意知???0,1?，故??2?1. 12分

19．试题解析：（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比． 由题意知，a1?1，a2?1?d,a3?1?2d，分别加上1,1,3得2,2?d,4?2d,

(2?d)2?2(4?2d),所以d??2

又an?1?an，所以d?0，所以d?2，所以an?2n?1(n?N*)， 由此可得b1?2b2?4，q?2，所以bn?2n(n?N*)． 6分 （Ⅱ）Tn?a1a2??b1b2?an135????bn22223?2n?1,① 2n11352n?1∴Tn?2?3?4??n?1.② 222221111112n?1由①－②得Tn???2?3??n?1?n?1.

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12n?1?2n?1?3?1?2n?1?3?2n?3, 10分 ∴Tn?1?nn?2nn122221?21?2n+311??3??3. n2nn2n+31∴使Tn?n??c(c?Z)恒成立的c的最小值为3.12分

2n11ax?120．试题解析：（Ⅰ）f(x)=lnx?(1?)，所以，f'(x)?, 2axax1因为a?0，x?0，所以ax2?0，令ax?1?0，x?，

a∴Tn?所以f(x)的单调递增区间是(,??)；f(x)的单调递减区间是(0,)；4分 （Ⅱ）若f(x)在x?[1,??)是单调递增函数，则f'(x)?0恒成立，即a?1a1a1恒成立 x11即a?()max，因为x?[1,??)，所以?1,故a?1. .7分

xx11（Ⅲ）设数列?an?是公差为1首项为1的等差数列，所以an?n，Sn=1+++，

2n1?x当a?1时，由（Ⅱ）知：f(x)=+lnx在x?[1,??)上为增函数，

x11?x1+lnx?0，即lnx?1? f(n)?=lnn-1，当x?1时，f(x)?f(1)，所以

nxx所以lnx?111; ?1??x?1xx?1x1，当x?(1,??)，有g'(x)?0 x令g(x)?x?1?lnx，则有g'(x)?1?则g(x)?g(1)?0,即lnx?x?1,所以x?(1,??)时,ln所以不等式令x?1,2,x?1x?11??1? xxx1x?11?ln?成立. x?1xx,n?1,(n?N?且n?2)时，

将所得各不等式相加，得

11123n11????ln?ln??ln?1???, 23n12n?12n?111111即????lnn?1???. 23n2n?11． 13分 Sn?2?f(n)??Sn?1?1（n?N*且n?2）

n考点：应用导数研究函数的单调性，等差数列的通项公式，“累加法”.

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