证 如图1－28所示，四边形ABCD中，过顶点B引BE∥AD，BF∥CD，并延长 AB，CB到 H，G．则有∠A=∠2(同位角相等)，∠D=∠1(内错角相等)，∠1=∠3(同位角相等)．∠C=∠4(同位角相等)，又 ∠ABC(即∠B)=∠GBH(对顶角相等)．由于∠2+∠3+∠4+∠GBH=360°，所以

∠A+∠B+∠C+∠D=360°．

∠1=∠ABD，∠2=∠CBD(内错角相等)．

说明(1)同例3，周角的顶点可以取在平面内的任意位置，证明的本质不变．(2)总结例3、例4，并将结论的叙述形式变化，可将结论加以推广：三角形内角和=180°=(3-2)×180°， 四边形内角和=360°=2×180°=(4-2)×180°． 人们不禁会猜想：五边形内角和=(5-2)×180°=540°，

例7 如图1－30所示．∠1=∠2，∠D=90°，EF⊥CD．

…………………………n边形内角和=(n-2)×180°．

求证：∠3=∠B．

这个猜想是正确的，它们的证明在学过三角形内角和之后，证明将非常简单．(3)在解题过程中，将一些表面并不相同的问题，从形式上加以适当变形，找到它们本质上的共同之处，将问题加以推广或一般化，这是发展人的思维能力的一种重要方法．

例6 如图1－29所示．直线l的同侧有三点A，B，C，且AB∥l，BC∥l．求证： A，B，C三点在同一条直线上．

又∠1+∠2=180°，所以∠ABD+∠CBD=180°，

即∠ABC=180°=平角．A，B，C三点共线．思考 若将问题加以推广：在l的同侧有n个点A1，A2，…，An-1，An，且有AiAi+1∥l(i=1，2，…，n-1)．是否还有同样的结论？

分析A，B，C三点在同一条直线上可以理解为∠ABC为平角，即只要证明射线BA与BC所夹的角为180°即可，考虑到以直线l上任意一点为顶点，该点分直线所成的两条射线为边所成的角均为平角，结合所给平行条件，过B作与l相交的直线，就可将l上的平角转换到顶点B处． 证 过B作直线 BD，交l于D．因为AB∥l，CB∥l，所以

- 9 -

分析 如果∠3=∠B，则应需EF∥BC．又知∠1=∠2，则有BC∥AD．从而，应有EF∥AD．这一点从条件EF⊥CD及∠D=90°不难获得．

证 因为∠1=∠2，所以

AD∥BC(内错角相等，两直线平行)．

因为∠D=90°及EF⊥CD，所以

AD∥EF(同位角相等，两直线平行)．

所以 BC∥EF(平行公理)， 所以

∠3=∠B(两直线平行，同位角相等)．

- 10 -