2．如图1－32所示．CD是∠ACB的平分线，∠ACB=40°，∠B=70°，DE∥BC．求∠EDC和∠BDC的度数．

一：

参考答案

1.邻补角 2. 对顶角，对顶角相等 3.垂直 有且只有 垂线段最短 4.点

到直线的距离 5.同位角 内错角 同旁内角 6.平行 相交 平行

7.平行 这两直线互相平行 8.同位角相等 两直线平行； 内错角相等 两

3．如图1－33所示．AB∥CD，∠BAE=30°，∠DCE=60°，EF，EG三等分∠AEC．问：EF与EG中有没有与AB平行的直线，为什么？

4．证明：五边形内角和等于540°．

5．如图1－34所示．已知CD平分∠ACB，且DE∥ACCD∥EF．求证：EF平分∠DEB．

直线平行； 同旁内角互补 两直线平行. 9.平行 10.两直线平行 同位角相等；两直线平行 内错角相等；两直线平行 同旁内角互补.11.命题 题设 结论 由已知事项推出的事项 题设 结论 真命题 假命题 12.平移 相同 平行且相等 13.6cm 8cm 10cm 4.8cm. 14.平行 平行 垂直 15. 28° 118° 59° 16. OD⊥OE 理由略 17. 1（两直线平行，内错角相等）DE∥CF（平行于同一直线的两条直线平行） 2 （两直线平行，内错角相等）. 18.⑴∵∠1＝∠2 ，又∵∠2＝∠3（对顶角相等），∴∠1＝∠3∴a∥b（同位角相等 两直线平行） ⑵∵a∥b ∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)又∵∠2＝∠3（对顶角相等） ∴∠1＝∠2. 19. 两直线平行，同位角相等 MFQ FQ 同位角相等两直线平行 20. 96°，12°. 21.QAD?BC,FE?BC??EFB??ADB?90

o?EF//AD??2??3 QDG//BA,??3??1 ??1??2. 22. ∠A＝

∠F.∵∠1＝∠DGF（对顶角相等）又∠1＝∠2 ∴∠DGF＝∠2 ∴DB∥EC（同位角相等，两直线平行） ∴∠DBA＝∠C（两直线平行，同位角相等） 又

∵∠C＝∠D ∴∠DBA＝∠D ∴DF∥AC（内错角相等，两直线平行）∴∠A

＝∠F(两直线平行,内错角相等).

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三 例1 如图 1－18，直线a∥b，直线 AB

交 a与 b于 A，B，CA平分∠1，CB平分∠ 2，求证：∠C=90°

分析 由于a∥b，∠1，∠2是两个同侧内角，因此∠1+∠2=

说明 做完此题不妨想一想这个问题的“反问题”是否成立， 即“两条直线a，b被直线AB所截(如图1－20所示)，CA，CB分别是∠BAE与∠ABF的平分线，若∠C=90°，问直线a与直线b是否一定平行？”

过C点作直线 l，使 l∥a(或 b)即可通过平行线的性质实现等角转移．

由于这个问题与上述问题非常相似(将条件与结论交换位置)，因此，不妨模仿原问题的解决方法来试解．

例2 如图1－21所示，AA1∥BA2求∠A1-∠B1+∠A2．

证 过C点作直线l，使l∥a(图1－19)．因为a∥b，所以b∥l，所以∠1+∠2=180°(同侧内角互补)． 因为AC平分∠1，BC平分∠2，所以

又∠3=∠

分析 本题对∠A1，∠A2，∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的三个角的大小无关．也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的．我们从图形直观，有理由猜想答案大概是零，即∠A1+∠A2=∠B1． ①

猜想，常常受到直观的启发，但猜想必须经过严格的证明．①式给我们一种启发，能不能将∠B1一分为二使其每一部分分别等于∠A1与∠A2．这就引发我们过B1点引AA1(从而也是BA2)的平行线，它将∠B1一分为二．

CAE，∠4=∠CBF(内错角相等)，所以∠3+∠4=∠CAE+∠CBF

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推广是一种发展自己思考能力的方法，有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况． (2)这个问题也可以将条件与结论对换一下，变成一个新问题．

证 过B1引B1E∥AA1，它将∠A1B1A2分成两个角：∠1，∠2(如图1－22所

示)因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2．从而∠1=∠A1，∠2=∠A2(内错角相等)，所以∠B1=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即 ∠A1-∠B1+∠A2=0．

问题2 如图1－25所示．若

说明(1)从证题的过程可以发现，问题的实质在于AA1∥BA2，它与连接A1，A2两点之间的折线段的数目无关，如图1－23所示．连接A1，A2之间的折线段增加到4条：A1B1，B1A2，A2B2，B2A3，仍然有

∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2．

(即那些向右凸出的角的和=向左凸的角的和)即

∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0．

这两个问题请同学加以思考．

进一步可以推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2＋…-∠Bn-1+∠An=0．

例3 如图1－26所示．AE∥BD，∠1=3∠2，∠2=25°，

这时，连结A1，An之间的折线段共有n段A1B1，B1A2，…，Bn-1An(当然，仍要保持 AA1∥BAn)．

∠A1+∠A2+…+∠An=∠B1+∠B2+…+∠Bn-1，问AA1与BAn是否平行？

问题1 如图1－24所示．∠A1+∠A2=∠B1，问AA1与BA2是否平行？

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分析 平角为180°．若能运用平行线的性质，将三角形三个内角集中到同一顶点，并得到一个平角，问题即可解决， 下面方法是最简单的一种．

求∠C．

分析 利用平行线的性质，可以将角“转移”到新的位置，如∠1=∠DFC或∠AFB．若能将∠1，∠2，∠C“集中”到一个顶点处，这是最理想不过的了，过F点作BC的平行线恰能实现这个目标． 解 过F到 FG∥CB，交 AB于G，则

∠C=∠AFG(同位角相等)， ∠2=∠BFG(内错角相等)．

因为 AE∥BD，所以∠1=∠BFA(内错角相等)，

所以∠C=∠AFG=∠BFA-∠BFG=∠1-∠2=3∠2-∠2=2∠2=50°． 说明(1)运用平行线的性质，将角集中到适当位置，是添加辅助线(平行线)的常用技巧．(2)在学过“三角形内角和”知识后，可有以下较为简便的解法：∠1=∠DFC=∠C+∠2，即∠C=∠1-∠2=2∠2=50°． 例4 求证：三角形内角之和等于180°．

证 如图1－27所示，在△ABC中，过A引l∥BC，则

∠B=∠1，∠C=∠2(内错角相等)．

显然 ∠1+∠BAC+∠2=平角， 所以 ∠A+∠B+∠C=180°．

说明 事实上，我们可以运用平行线的性质，通过添加与三角形三条边平行的直线，将三角形的三个内角“转移”到任意一点得到平角的结论．如将平角的顶点设在某一边内，或干脆不在三角形的边上的其他任何一点处，不过，解法将较为麻烦．同学们不妨试一试这种较为麻烦的证法．

例5 求证：四边形内角和等于360°．

分析 应用例3类似的方法，添加适当的平行线，将这四个角“聚合”在一起使它们之和恰为一个周角．在添加平行线中，尽可能利用原来的内角及边，应能减少推理过程．

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