题型突破练——压轴题专练

压轴题专练(一)

建议用时：40分钟

1．[2015·山西质监]已知椭圆E的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且

?2?经过点?1，?.

2??

(1)求椭圆E的方程；

→＝3P→(2)过P(－2,0)的直线l交E于A，B两点，且PBA，设A，B两点关于x轴的对称点分别是C，D，求四边形ACDB的外接圆的方程．

2

解 (1)由题意知c＝1,2a－2＝x22

a－c＝1，椭圆E的方程为2＋y＝1.

22?2?2

2＋??，∴a＝2，b＝

?2?

2

(2)设l：x＝my－2，代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0， 由Δ＝8m2－16＞0得m2＞2.

4m2

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，①y1y2＝2.②

m＋2m＋2→＝3P→由PBA，得y2＝3y1.③ 由①②③解得m2＝4，符合m2＞2.

2

不妨取m＝2，则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－2x－3，则?1??所求圆的圆心为－3，0?.又B(0,1)， ??

10

∴圆的半径r＝3. 1??10

∴圆的方程为?x＋3?2＋y2＝9.

?

?

2．已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.

(1)求实数a的取值范围；

- 1 -

(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1， 则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， f′(x)＝ [ax2＋(a－1)x－a]ex.

依题意知，对任意的x∈[0,1]，有f′(x)≤0.

当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以f′(1)＝(a－1)e≤0，即0＜a≤1；当a＝0时，对任意的x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，符合条件；当a＜0时，f′(0)＝－a＞0，不符合条件．

故实数a的取值范围是[0,1]．

(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex， ①当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.

②当a＝1时，对任意的x∈[0,1]有g′(x)＝－2xex≤0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.

1－a

③当0＜a＜1时，由g′(x)＝0得x＝2a＞0.

1－a1

a．当2a≥1，即0＜a≤3时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.

?1－a?1－a1－a1

?b．当2a＜1，即3＜a＜1时，g(x)在x＝2a处取得最大值g?

?2a?

1－a

＝2ae2a，在x＝0或x＝1处取得最小值，而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1e－1e－11

－a)e，则当3＜a≤时，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；当

e＋1e＋1＜a＜1时，g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e.

3．选做题

- 2 -

(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

①BE＝EC； ②AD·DE＝2PB2.

(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1

??x＝2cosα→的参数方程为?(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足OP

?y＝2＋2sinα?

→，点P的轨迹为曲线C. ＝2OM2

①求C2的参数方程；

π

②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

(3) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋6|(m∈R)．

①当m＝5时，求不等式f(x)≤12的解集；

②若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 解 (1)证明：①∵PC＝2PA，PD＝DC，∴PA＝PD，△PAD为等腰三角形．

连接AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α，

∵∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE，

∴β＋α＝β＋∠DBE，即α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE，所以BE＝EC.

②∵AD·DE＝BD·DC，PA2＝PB·PC，PD＝DC＝PA，

- 3 -

BD·DC＝(PA－PB)PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·(PC－PA)， PB·PA＝PB·2PB＝2PB2.

?xy?

(2)①设P(x，y)，则由条件知M?2，2?.由于M点在C1上，所以

??

x??2＝2cosα

?y??2＝2＋2sinα

??x＝4cosα

，即?.

?y＝4＋4sinα?

从而C2的参数方程为

??x＝4cosα

?(α为参数)． ?y＝4＋4sinα?

②曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

ππ射线θ＝3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin3， ππ

射线θ＝3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.

(3)①当m＝5时，f(x)≤12即|x－5|＋|x＋6|≤12， 当x＜－6时，得－2x≤13， 1313

即x≥－2，所以－2≤x＜－6；

当－6≤x≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x≤5； 当x＞5时，得2x≤11， 1111即x≤2，所以5＜x≤2. 11???13

故不等式f(x)≤12的解集为?x?－2≤x≤2?.

???②f(x)＝|x－m|＋|x＋6|≥|(x－m)－(x＋6)|＝|m＋6|，

由题意得|m＋6|≥7，则m＋6≥7或m＋6≤－7，解得m≥1或m≤－13，

故m的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．

- 4 -