题型突破练——压轴题专练
压轴题专练(一)
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1．[2015·山西质监]已知椭圆E的两焦点分别为(－1,0)，(1,0)，且
?2?经过点?1，?.
2??
(1)求椭圆E的方程；
→＝3P→(2)过P(－2,0)的直线l交E于A，B两点，且PBA，设A，B两点关于x轴的对称点分别是C，D，求四边形ACDB的外接圆的方程．
2
解 (1)由题意知c＝1,2a－2＝x22
a－c＝1，椭圆E的方程为2＋y＝1.
22?2?2
2＋??，∴a＝2，b＝
?2?
2
(2)设l：x＝my－2，代入椭圆方程得(m2＋2)y2－4my＋2＝0， 由Δ＝8m2－16＞0得m2＞2.
4m2
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2，①y1y2＝2.②
m＋2m＋2→＝3P→由PBA，得y2＝3y1.③ 由①②③解得m2＝4，符合m2＞2.
2
不妨取m＝2，则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－2x－3，则?1??所求圆的圆心为－3，0?.又B(0,1)， ??
10
∴圆的半径r＝3. 1??10
∴圆的方程为?x＋3?2＋y2＝9.
?
?
2．已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)ex在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.
(1)求实数a的取值范围；
- 1 -
(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值． 解 (1)由f(0)＝1，f(1)＝0得c＝1，a＋b＝－1， 则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex， f′(x)＝ [ax2＋(a－1)x－a]ex.
依题意知，对任意的x∈[0,1]，有f′(x)≤0.
当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a＜0，所以f′(1)＝(a－1)e≤0，即0＜a≤1；当a＝0时，对任意的x∈[0,1]，f′(x)＝－xex≤0，符合条件；当a＜0时，f′(0)＝－a＞0，不符合条件．
故实数a的取值范围是[0,1]．
(2)因为g(x)＝(－2ax＋1＋a)ex，g′(x)＝(－2ax＋1－a)ex， ①当a＝0时，g′(x)＝ex＞0，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1，在x＝1处取得最大值g(1)＝e.
②当a＝1时，对任意的x∈[0,1]有g′(x)＝－2xex≤0，g(x)在x＝0处取得最大值g(0)＝2，在x＝1处取得最小值g(1)＝0.
1－a
③当0＜a＜1时，由g′(x)＝0得x＝2a＞0.
1－a1
a．当2a≥1，即0＜a≤3时，g(x)在[0,1]上单调递增，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a，在x＝1处取得最大值g(1)＝(1－a)e.
?1－a?1－a1－a1
?b．当2a＜1，即3＜a＜1时，g(x)在x＝2a处取得最大值g?
?2a?
1－a
＝2ae2a，在x＝0或x＝1处取得最小值，而g(0)＝1＋a，g(1)＝(1e－1e－11
－a)e，则当3＜a≤时，g(x)在x＝0处取得最小值g(0)＝1＋a；当
e＋1e＋1＜a＜1时，g(x)在x＝1处取得最小值g(1)＝(1－a)e.
3．选做题
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(1)[选修4－1：几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：
①BE＝EC； ②AD·DE＝2PB2.
(2)[选修4－4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1
??x＝2cosα→的参数方程为?(α为参数)，M为C1上的动点，P点满足OP
?y＝2＋2sinα?
→，点P的轨迹为曲线C. ＝2OM2
①求C2的参数方程；
π
②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝3与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
(3) [选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x－m|＋|x＋6|(m∈R)．
①当m＝5时，求不等式f(x)≤12的解集；
②若不等式f(x)≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围． 解 (1)证明：①∵PC＝2PA，PD＝DC，∴PA＝PD，△PAD为等腰三角形．
连接AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α，
∵∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE，
∴β＋α＝β＋∠DBE，即α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE，所以BE＝EC.
②∵AD·DE＝BD·DC，PA2＝PB·PC，PD＝DC＝PA，
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BD·DC＝(PA－PB)PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·(PC－PA)， PB·PA＝PB·2PB＝2PB2.
?xy?
(2)①设P(x，y)，则由条件知M?2，2?.由于M点在C1上，所以
??
x??2＝2cosα
?y??2＝2＋2sinα
??x＝4cosα
，即?.
?y＝4＋4sinα?
从而C2的参数方程为
??x＝4cosα
?(α为参数)． ?y＝4＋4sinα?
②曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.
ππ射线θ＝3与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin3， ππ
射线θ＝3与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin3. 所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝23.
(3)①当m＝5时，f(x)≤12即|x－5|＋|x＋6|≤12， 当x＜－6时，得－2x≤13， 1313
即x≥－2，所以－2≤x＜－6；
当－6≤x≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x≤5； 当x＞5时，得2x≤11， 1111即x≤2，所以5＜x≤2. 11???13
故不等式f(x)≤12的解集为?x?－2≤x≤2?.
???②f(x)＝|x－m|＋|x＋6|≥|(x－m)－(x＋6)|＝|m＋6|，
由题意得|m＋6|≥7，则m＋6≥7或m＋6≤－7，解得m≥1或m≤－13，
故m的取值范围是(－∞，－13]∪[1，＋∞)．
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