概率论与数理统计标准作业纸答案

3.某工厂用自动包装机包装奶粉，今在某天生产的奶粉中随机抽取10袋，测得各袋的重量（单位:g）为

495， 510， 505， 489， 503， 502， 512， 497， 506， 492

2设包装机称得的奶粉重量X~N(?0,?)，能否认为各袋净重的标准差为?＝5？

(??0.05)

（1）?0?500；（2）?0未知

解2分两种情况讨论：(1)?0?500克；(2)?0未知，H0:?2??0(1)因X的均值?0?500克已知，故当H0为真时，检验用统计量为??212?0?(Xi?1ni??0)2~?2(n)2（对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(10)?20.5） 2?0.975(10)?3.25,已知?0?500,?0?5,n?10.2根据样本值计算统计量?的值为??212?02(x?500)?16.88?ii?110222因?0.975(10)????0.025(10),故在显著性水平??0.05下接受H0.（2）设H0：?＝5； H1：??5

因X的均值?0未知，故当H0为真时，检验用统计量为??2(n?1)S2?02~?2(n?1)2对于给定的显著性水平??0.05,查?2?分布表得临界值?0.025(9)?19,2?0.975(9)?2.7,已知?0?5，根据样本值计算得s2?42.222,于是?2的值为

?2?1?02(n?1)s?15.20222因?0.975(9)??2??0.025(9),故在显著性水平??0.05下接受H0.综上所述可知，在两种情形下都可以认为各袋奶粉净重的标准差为??5克.第六、七、八章 练习题

1.设总体X~N(1,0.2),X1,X2,2,Xn为取自总体X的一个样本,要使样本均值X满

足不等式P(0.9?X?1.1)?0.95，则样本均值n最少应取多少。

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解： 由题意知 X～N(1,故 P(0.9?X?1.1)=?(0.04) n1.1-10.9-1)??()

0.2n0.2n=2?(0.5n)?1?0.95

即 ?(0.5n)?0.975 ，0.5n?1.96 ，n?15.3664 因此样本容量n最少应取为16.

2.设总体X服从几何分布p(x;p)?p(1?p)x?1,x?1,2,3,.如果取得样本观测值为

x1,x2,,xn，求参数p的矩估计值与最大似然估计值。

解：由已知可得

11n1v1(X)?E(X)?，所以??xi?x

pni?1p??由此可得参数的矩估计值为p似然函数为L(p)?1. xxi?1?(p(1?p)i?1n)?p(1?p)i?1n?xi?nn

取对数，得lnL(p)?nlnp?(?x?n)ln(1?p).于是，得

ii?1nndlnL(p)n11??. ??(?xi?n)?0.由此可得参数的最大似然估计值为pdpp1?pi?1x??x??1,0?x?13.设总体X的概率密度为f(x)??，（0???1）

?0, 其它如果取得样本观测值为x1,x2,解 ：（1）令EX?,xn，求参数?的极大似然估计值。

1?????xf(x)dx???x?dx?0???1?x

??所以?x为矩估计值。 1?x第 46 页

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n???1n?(2)似然函数为L(?)??f(xi,?)???xi????xi?i?1i?1?i?1?nnn??1

取对数，得lnL(?)?nln??(??1)?lnx，

ii?1dlnL(?)nn???lnxi?0. 于是，

d??i?1???由此可得参数的极大似然估计值为求得?n?lnxi?1n。

i??2D??，求常数c和d，使?和??为参数?的两个独立的无偏估计量，且假定D?4.设?1212??c???d??为?的无偏估计，并使方差D??最小. ?12???，故得c+d=1。 ??E(c???d??)?cE???dE???(c?d)?,且知E?解： 由于E?1212又由于

??D(c???d??)?c2D???d2D???2c2D???d2D???(2c2?d2)D?? D?1212222并使其最小，即使f?2c?d，满足条件c+d=1的最小值。

'22令d=1-c，代入得f?2c?(1?c)，fc?4c?2(1?c)?0, 6c?2?0

22解得c?12,d?1?c?。 3325. 对方差?为已知的正态总体来说，问需取容量n为多大的样本，才能使总体均值?的置信水平为1??的置信区间的长度不大于L。 解: 由于?的置信区间为(x??nu?,x?2?nu?)，故?的置信区间长度为22?nu??L.

2所以，有n?2?2?u?，即n?(u?)2.

L2L22

6. 岩石密度的测量误差服从正态分布，随机抽测12个样品，得s?0.2，求?的置信区

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间(??0.1)。

解: 查表得?0.05(11)?19.675,?0.95(11)?4.575，根据求置信区间的公式得?的置信区间为

222

(n?1)s2(n?1)s211?0.2211?0.22 (2, 2)?(, )=(0.02, 0.10).

??(n?1)??(n?1)19.6754.5752。1?27.测量某种仪器的工作温度(C)5次得数据如下： 1250 1275 1265 1245 1260

设仪器的工作温度服从正态分布N(?,?),?未知，试求?的置信区间(??0.05)。

22解选T?2X??n为估计用统计量，由a?0.05查t?分布表得Sta(n?1)?t0.05(5?1)?t0.025(4)?2.776421又x?(1250?1275?1265?1245?1260)?125951512570222222s?(x?x)?(9?16?6?14?1)??i5?1i?144

??x?t·?1as570?1259?2.7764?1259?14.8?1244.24?5n2??x?t·s?1259?14.8?1273.8 ?2an2N(4.55,0.062),现改变工艺，又测得9炉铁水的含碳

所以?的95%置信区间为(1244.2,1273.8).8.已知某炼铁厂的铁水含碳量X量分别为：

4.55 4.58 4.60 4.59 4.56 4.54 4.53 4.61 4.57 假设方差无变化，问总体的均值?是否有明显变化? ???0.05,u0.025?1.96? 解：假设H0:???0?4.55,H1:??4.55

u?X??0?N(0,1)

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