陕西省咸阳市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷和答案(理科) 下载本文

21.BE∥CD,如图1,已知四边形BCDE为直角梯形,∠B=90°,且BE=2CD=2BC=2,A为BE的中点,将△EDA沿AD折到△PDA位置(如图2),使得PA⊥平面ABCD,连接PC、PB,构成一个四棱锥P﹣ABCD. (Ⅰ)求证AD⊥PB;

(Ⅱ)求二面角B﹣PC﹣D的大小.

【考点】二面角的平面角及求法;空间中直线与直线之间的位置关系. 【分析】(Ⅰ)推导出ABCD为平行四边形,AD∥BC,AD⊥BE,AD⊥AB,AD⊥PA,从而AD⊥平面PAB,由此能证明AD⊥PB.

(Ⅱ)以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角B﹣PC﹣D的大小. 【解答】(Ⅰ)证明:在图1中,∵AB∥CD,AB=CD, ∴ABCD为平行四边形,∴AD∥BC, ∵∠B=90°,∴AD⊥BE,

当△EDA沿AD折起时,AD⊥AB,AD⊥AE,即AD⊥AB,AD⊥PA, 又AB∩PA=A,∴AD⊥平面PAB, 又∵PB?平面PAB,∴AD⊥PB.

(Ⅱ)解:①以点A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,0,1), =(1,1,﹣1),

=(0,1,0),

=(1,0,0),

设平面PBC的法向量为=(x,y,z), 则

,取z=1,得=(1,0,1),

设平面PCD的法向量=(a,b,c), 则

,取b=1,得=(0,1,1),

设二面角B﹣PC﹣D的大小为θ, 则cosθ=﹣

=﹣,∴θ=120°.

∴二面角B﹣PC﹣D的大小为120°.

22.已知椭圆C:

+

=1(a>b>0)的短轴长等于长轴长的一半,椭圆C

,直线l:y=x+m与椭圆C交于不同的两

上的点到右焦点F的最短距离为2﹣点A(x1,y1),B(x2,y2). (Ⅰ)求椭圆C的方程;

(Ⅱ)若△AOB的面积为1,求直线l的方程. 【考点】椭圆的简单性质.

【分析】(Ⅰ)由题意可知,解得a,b即可.

(Ⅱ)将直线l:y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得:5x2+8mx+4m2﹣4=0,再由根的判别式和韦达定理进行求解.

【解答】解:(Ⅰ)由题意可知,解得a=2,b=1,c=,

∴椭圆C的方程的方程为:.

y=x+m与椭圆C的方程x2+4y2﹣4=0联立可得:5x2+8mx+4m2﹣4=0,(Ⅱ)将线l:

由△=64m2﹣4×5×(4m2﹣4)>0,?m2<5; x1+x2=﹣

,x1x2=

|AB|=

原点O到直线l:y=x+m的距离d=△AOB的面积为s=×d×|AB|=

=

=1;

化简得4m4﹣20m2+25=0,m2=, m=±

,直线l的方程为:y=x±

2017年2月28日