进一步观察，从12名志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为X，X可能为0，1，2，先分别求出对应概率，即可得X的分布列进而求得数学期望．

【详解】(1) 相关系数r??(xi?1ni?x)?(yi?y)2n?(xi?1n=i?x)??(yi?y)2i?195.8?0.92?0.75

103.89所以线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合.

??(2) b?(xi?1ni?x)?(yi?y)?i?(xi?1n?x)295.8?0.3， 342又x?y?14?17?18?19?20?22?23?26?27?29?30?31?23，

122.4?4.4?4.7?4.8?5.4?5.5?5.7?6.0?6.3?6.8?7.0?9.4?5.7

12??5.7?0.3?23??1.2，所以回归直线y?0.3x?1.2， ??y?bx所以a当y?9.5时，x?107?35.7 31128.9)， (yi?y)2?1.6，所以??1.6，u?y?5.7则(u?2?,u?2?)?(2.5，(3) s??12i?1所以在这12人中，有2人是胆固醇异常，需要进一步作医学观察的. 所以变量X?0,1,2

43122C10C10?C2C10?C2141631P(X?0)?4??P(X?2)???,P(X?1)?, 44C1233C1233C123311所以X的分布列为 X P

数学期望E(X)?1?1612?2?? 331130 1 2 14 3316 331 11【点睛】本题考查相关系数和线性回归方程，以及分布列数学期望等概率统计知识，是一道很好的综合性题目。

x2y20)，离心率为2． 20.已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左顶点为M(?2，ab2(1)求椭圆C的方程；

uuuruuur0)的直线l交椭圆C于A，B两点，当MAgMB取得最大值时，求△MAB的面(2)过点N(1，积．

x2y236【答案】（1）C:（2） ??1；

422【解析】 【分析】

(1)由左顶点M坐标可得a=2，再由e?c可得c，进而求得椭圆方程。(2)设l的直线方程为a?x?ty?1?x?ty?1，和椭圆方程联立?x2y2，可得(t2?2)y2?2ty?3?0，由于???，可用t

?1??2?4表示出两个交点的纵坐标 y1?y2和y1?y2，进而得到MAgMB的关于t的一元二次方程，得

uuuvuuuvuuuvuuuv到MAgMB取最大值时t的值，求出直线方程，而后计算出△MAB的面积。 【详解】(1) 由题意可得：a?2，

c2，得c??a22，则b2?a2?c2?2.

x2y2所以椭圆C的方程: C:??1

42(2) 当直线l与x轴重合，不妨取A(?2,0),B(2,0)，此时MAgMB?0 当直线l与x轴不重合，设直线l的方程为：x?ty?1,设A(x1,y1),B(x2,y2)，

uuuvuuuv?x?ty?1?联立?x2y2得(t2?2)y2?2ty?3?0，

?1??2?4显然???，y1?y2??3?2ty?y?，. 1222t?2t?2uuuvuuuv所以MAgMB?(x1?2)(x2?2)?y1y2?(ty1?3)(ty2?3)?y1y2 ?(t2?1)y1y2?3t(y1?y2)?9?(t2?1)2?3?2t?3t?9 t2?2t2?215?9t?3?3t2?3?6t2???9 ??9222t?2t?2t?2uuuvuuuv15当t?0时，MAgMB取最大值.

2此时直线l方程为x?1，不妨取A(1,66),B(1,?)，所以AB?6. 22136又MN?3,所以?MAB的面积S??6?3? 22【点睛】本题考查椭圆的基本性质，运用了设而不求的思想，将向量和圆锥曲线结合起来，是典型考题。

21.已知函数f(x)?(x?2)e?a(x?1)． (1)当a?1，求f(x)的单调区间； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2）(0,??) 【解析】 【分析】

(1)将a=1代入函数f(x)，再求导即可得单调区间；(2)法一：先对函数求导

x2f'(x)?(x?1)(ex?2a)：当a?0时，f(x)在(??,1)上是减函数，在(1,??)上是增函数，且x=1为f(x)的极值点，当x???,(x?2)ex?0,a(x?1)2???, 所以f(x)???，

f(1)??e?0，当x???,f(x)???，所以此时有两个零点；当a?0时，函数

eeef(x)?(x?2)ex只有一个零点；当a?0时，再分成三种情况a??，0?a?? ，a??222三种情况进行讨论，最后取并集即得a的范围。法二：分离参变量，每一个a对应两个x，根据新构造的函数单调性和值域，找到相应满足条件的a的范围即可。 【详解】(1) 当a?1,f(x)?(x?2)ex?(x?1)2

f'(x)?(x?1)ex?2(x?1)?(x?1)(e2x?1). 令f'(x)?0，可得x?1，

当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在区间(??,1)上单调递减， 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在区间(1,??)上单调递增。 所以函数f(x)减区间在区间(??,1)，增区间(1,??)

(2) 法一：函数定义域为x?R，f(x)?(x?2)e?a(x?1)， 则f'(x)?(x?1)ex?2a(x?1)?(x?1)(ex?2a). ⑴当a?0时，令f'(x)?0可得x?1，

当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在区间(??,1)上单调递减， 当x?1时，f'(x)?0，函数f(x)在区间(1,??)上单调递增。

且f(1)??e?0，当x???,f(x)???；当x???,(x?2)ex?0,a(x?1)2???, 所以

x2f(x)???

所以f(x)有两个零点.，符合

⑵当a?0，f(x)?(x?2)e只有一个零点2，所以舍 ⑶设a?0，由f'(x)?0得x?1或x?ln(?2a)， ①若a??xe，则f'(x)?(x?1)(ex?e)?0.，所以f(x)在(??,??)单调递增，所以零点至多2e，则ln(?2a)?1，故x?(??,ln(?2a))U(1,??)时，f'(x)?0，当2一个.（舍） ②若0?a??(1,??)单调递增，x?(ln(?2a),1)时，f'(x)?0，所以f(x)在(??,ln(?2a))，在(ln(?2a),1)单调递减。又f(1)??e?0，要想函数f(x)有两个零点，必须有f(ln(?2a))?0，其中

ln(?2a)?1.

又因为当x?1时，f(x)?(x?2)ex?a(x?1)2?0，所以f(ln(?2a))?0 故f(x)只有一个零点，舍 ③若a??e，则ln(?2a)?1，故x?(??,1)U(ln(?2a),??)时，f'(x)?0，；当2ln(?2a))x?(1，ln(?2a))时，f'(x)?0，所以f(x)在(??,1)，(ln(?2a),??)单调递增，在(1，单调递减。又极大值点f(1)??e?0，所以f(x)只有一个零点在(ln(?2a),??)（舍） 综上，a的取值范围为(0,??)。 法二：