以其的面积为S?1?(e?1)?e?1，
又由??y?e?1?x?1，解得， ?x?y?e?1?y?e?1x 所以由x?0,y?e?1,y?e?1所围成的区域的面积为
1x1S1??(e?1?e?1)dx??(e?ex)dx?(ex?ex)|10?1，
00所以概率为P?
S11?. Se?116.在三棱锥A－BCD中，平面ABC?平面BCD，若?BDC?VABC是边长为2的正三角形，三棱锥的各个顶点均在球O上，则球O的表面积为______________． 【答案】
?4，
28? 3【解析】 【分析】
用投影结合勾股定理来计算外接球的半径，再应用球的表面积公式即可.
【详解】球心O在平面BCD的投影为F，在平面ABC的投影为G，于是有F是VBCD的外心，G是VABC的外心..设BC中点E，连结EF,EG,OF,OG，于是四边形EFOG是矩形.
连结BO,BF.有BO?BF2?OF2?BF2?GE2. 2. 在VBCD中根据正弦定理BC?2BFsin?BDC，得到BF?在VABC中，因为GB是?ABC的角平分线，故GE?13. BCtan?GBC?233228)?(2)2]?? 33所以球O的表面积为S?4??BO2?4?(BF2?GE2)?4?[(【点睛】本题考查四面体的外接球表面积问题，这种题一般都是先计算外接球半径进而求解。需有一定的空间想象能力。
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，
每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答． 17.在VABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足(1)求角C；
(2)设D为边AB的中点，VABC的面积为3【答案】（1）C?【解析】 【分析】
(1) 先用正弦定理将已知等式两边都化为正，余弦角的关系，再根据A?B?C??对其进行化简，计算可得角C。(2)由三角形的面积可得ab?12，用余弦定理将边CD表示出来，再根据a?b?2ab,(a?0,b?0)可求出CD最小值。 【详解】(1) 由正弦定理：由题
asinAtanAsinAcosC??，又， 2b?a2sinB?sinAtanCcosAsinC22tanAa?． tanC2b?a3，求边CD的最小值．
?3；（2）3
sinAcosCtanAasinA??，所以.
cosAsinC2sinB?sinAtanC2b?a因为sinA?0，所以cosC(2sinB?sinA)?cosAsinC,
即cosCsinA?cosAsinC?2sinBcosC,即sinB?sin(A?C)?2sinBcosC, 因为sinB?0，所以cosC?(2) 由S?ABC??1，则C?. 231absinC，即33=1ab?3，所以ab?12.
222uuuv1uuuvuuuvuuuv21uuuv2uuuv2uuuvuuuv由CD?(CA?CB),所以CD?(CA?CB?2CA?CB)
4211?(b2?a2?2abcosC)?(b2?a2?ab) 441?(2ab?ab)?9当且仅当a?b时取等 4所以边CD的最小值为3.
【点睛】本题考查正弦定理和余弦定理，运用基本不等式是求解最小值的关键。
?DAB?60?，18.已知四棱锥P?ABCD中，底面ABCD为菱形，平面PAD?平面ABCD，
PA?PD?AD?2，点E，F分别为PD，AB上的一点，且PE?2ED，2BF?FA．
(1)求证：AE//平面PFC；
(2)求PB与平面PCD所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2）【解析】 【分析】
(1)作辅助线FG，点G在PC边上，且PG?2GC，由题中条件可得EGFA为平行四边形，再由线线平行证得线面平行。(2)用建系的方法求线面正弦值。 【详解】(1) 证明：取PC边上点G，使得PG?2GC，连接FG. 因为
10 52PGPE??2,所以EG//CD，且EG?CD. GCED32CD. 3又2BF?FA，所以AF//CD，且AF?所以EG//FA，且EG?FA，所以四边形EGFA为平行四边形,则AE//FG. 又AE?平面PFC，FG?平面PFC，所以AE//平面PFC. (2) 解：取AD中点O,由PA?PD，所以PO?AD
又平面PAD?平面ABCD，交线为AD，且PO?AD,所以PO?平面ABCD. 以O为原点建系，以OA，OB，OP为x轴，y轴，z轴. 所以P(0,0,3)，B(0,3,0)，C(?2,3,0)，D(?1,0,0)，
uuuvuuuvuuuv所以PC?(?2,3,?3)，PD?(?1,0,?3)，PB(0,3,?3).
vvuuu??n?PC??2x?3y?3z?0v设平面PCD法向量为n?(x,y,z)，则?vuuu，可取v ??n?PD??x?3z?0? vn?(3,1,?1),
设PB与平面PCD所成角为?，则sin?vuuuvcosn,PB??236?5?10 5【点睛】本题考查线面的位置关系，立体几何中的向量方法，属于常考题型。
19.现代研究表明，体脂率BFR（体脂百分数）是衡量人体体重与健康程度的一个标准．为分析体脂率BFR对人体总胆固醇TC的影响，从女性志愿者中随机抽取12名志愿者测定其体脂率BFR值及总胆固醇TC指标值（单位：mmol/L），得到的数据如表所示：
(1)利用表中的数据，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请用相关系数r加以说明.（若r?0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)求出y与x的线性回归方程，并预测总胆固醇TC指标值为9.5时，对应的体脂率BFR值
x为多少？（上述数据均要精确到0.1）
(3)医学研究表明，人体总胆固醇TC指标值y服从正态分布N(u，?2)，若人体总胆固醇TC指标值y在区间(u?2?，u?2?)之外，说明人体总胆固醇异常，该志愿者需作进一步医学观察.现用样本的y作为u的估计值，用样本的标准差s作为?的估计值，从这12名女志愿者中随机抽4人，记需作进一步医学观察的人数为X，求X的分布列和数学期望．
附：参考公式：相关系数r??(xi?1ni?x)g(yi?y)n?(xi?1n??，b?(xi?1nin?x)g(yi?y)ii?x)2g?(yi?y)2i?1?(xi?1?．??y?bx，a
?x)22参考数据：?(xi?x)g(yi?y)?95.8，?(xi?x)?342，?(yi?y)?31.56，
1212212i?1i?1i?1112s?(yi?y)2?1.6，10793.52?103.89． ?12i?1【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】
?，x，y和a?，可得线性回归方程，将y=9.5由相关系数公式直接计算可得；(2)先后求出b代入回归方程，可得x的值。(3)先由公式计算标准差s?1.6作为?的估计值，u?y?5.7，8.9)，可知志愿者中胆固醇异常者的人数为2人，则需要那么根据区间(u?2?,u?2?)?(2.5，