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任意角和弧度制
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1.理解1弧度的角、弧度制的定义. 2.掌握角度与弧度的换算公式 3.熟记特殊角的弧度数
(一)角的概念： 1 任意角
正角：按顺时针方向形成的角 负角：按逆时针方向形成的角 2 象限角
定义：角的顶在原点始边与x轴重合，终边在第几象限此角就是第几象限角。 与角α有相同终边所有角表示为：α+2kπ（k为任意整数） （1）在直角坐标系内讨论角：
注意：若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
（2）①与?角终边相同的角的集合：{?|??360k??,k?Z}或{?|??2k???,k?Z} （3）区间角的表示： ①象限角：
象限角 第一象限角的集合 第二象限角的集合 第三象限角的集合 第四象限角的集合
②写出图中所表示的区间角：
由?的终边所在的象限， 来判断
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1
0象限角的集合表示 {x|k?360o
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判断
?3所在的象限
(二)弧度制
1 弧度角的规定.
它的单位是rad 读作弧度
如图：?AOB=1rad
B C l=2
?AOC=2rad r r 2rad 周角=2?rad 1rad A r A o o
定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。与圆的半径无关以弧度为单位来度量
角的制度叫弧度制。
（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 （2）角?的弧度数的绝对值 ??l（l为弧长，r为半径） r （3）用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 弧度制与角度制的换算公式：弧度制=角度制*π/180o
角度制=弧度制*180o/π
2π=360o
弧度数α与弧长L与半径R的关系：L=Rα（可用来求弧长与半径） （4）弧长公式：L=Rα；扇形面积公式：S?1?R22
n?R2n?r弧长公式：l?，扇形面积公式：S扇?（初中）
180360
2 弧度制与角度制的换算：
因为周角的弧度数是2?，角度是360°，所以有 360??2?rad1? ?180???rad ?180rad?0.01745rad把上面的关系反过来写
2?rad?360?书山寻宝
?rad?180? 2
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180?1rad?()rad?57.30??57?18? ?0?~360?之间的一些特殊角的度数与弧度数的互化必需熟练掌握.
度 弧度 0° 0 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 360° ? 6? 4
? 3? 22? 33? 45? 6? 3? 22? 类型一：角的概念问题
1. 终边相同的角的表示
例1 若角?是第三象限的角，则角??的终边在第______象限. 答案：二.
解析：因为?是第三象限的角，故?k?360?270
ook?360o?270
练习：与610角终边相同的角可表示为_____________. 【答案：k?360?250(k?Z）】
2. 象限角的表示
例2 已知角?是第二象限角，问（1）角
oo?2是第几象限的角？（2）角2?终边的位置.
思路：先根据已知条件得出角的范围，再通过讨论k值来确定象限角.
解析：（1）因为?是第二象限的角，故k?360?90
ooook?180??45???2?k?180??45?k?180o?45o
22?第一象限；当k为奇数时，?在第三象限，故
2ooo?2o为第一或第三象限角.
（2）由k?360?90
2k?360o?180o<2?<2k?360o? 360o(k?Z)，故角2?终边在下半平面.
点评：已知?所在象限，求
结论：
?n (n?N*)所在象限的问题，一般都要分几种情况进行讨论.
? ?2
第一象限 第一、三象限 第二象限 第一、三象限 第三象限 第二、四象限 第四象限 第二、四象限 类型二：弧度制与弧长公式
1.角度制与弧度制的互化
例3 把下列各角的度数化为弧度数：
????'⑴150 ⑵3730' ⑶?2230 ⑷?315
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? 解 因为1?
?180rad，所以
? ⑴ 150?150??180?rad?5?rad 61?5??1?⑵ 37?30'??37??37?rad?rad
2218024??1?1???⑶ ?2230???22???22?rad??rad
2?21808??'?⑷ ?315??315???180rad??7?rad 4练习：把下列各角的弧度数化为度数： ⑴
3?5?9?rad ⑵3.5rad ⑶rad ⑷?rad 434?解 因为 ? rad＝180，所以 ⑴
3?3rad＝×180?＝135?； 44⑵ 3.5rad＝3.5?1rad?3.5?57.30??200.55?；
55?rad＝×180?＝300?；
3399?rad＝?×180?＝?405?． ⑷ ?44⑶
o例4 （1）设??750，用弧度制表示?，并指出它所在的象限；
（2）设??3?，用角度制表示?，并在?720o～0o内找出与它有相同终边的所有角. 5导思：（1）角度与弧度应如何进行互化？（2）确定角为第几象限角的依据是什么？（3）怎样找终边相同的角？依据是什么？
1803180o3)???108o，与它终边相同的角可表示为k?360o?180o(k?Z） （2）??(，由
5?533?720o≤k?360o?180o<0o，得?2≤k
1010围内与?有相同终边的所有角是?612和?252.
点评：角度与弧度进行互化，关键是对转化公式的理解和应用；判断一个角所在的象限，关键是在[0,2?]内找到与该角终边相同的角.
o练习：（1）设???570，用弧度制表示?，并指出它所在的象限；
oo解析：（1）????750?25???2?2??，故?在第一象限. 66书山寻宝 4 学海泛舟