I1 = I0/2．

经过时间t，P3的偏振化方向转过的角度为θ = ωt， 根据马吕斯定律，通过P3的光强为I3 = I1cos2θ．

由于P1与P2的偏振化方向垂直，所以P2与P3的偏振化方向的夹角为θ = π/2 – θ， 再根据马吕斯定律，通过P2的光强为

I = I3cos2θ = I3sin2θ= I0(cos2θsin2θ)/2 = I0(sin22θ)/8= I0(1 – cos4θ)/16， 即 I = I0(1 – cos4ωt)/16． 证毕．

8．6 如图所示，自然光以起偏角i0从空气射向水面，水中有一块玻璃板，若以玻璃反射之光亦为线偏振光，求水面和玻璃平面的夹角（n玻 = 1.50，n水 = 1.33）．

[解答]根据布儒斯特定律：

tani0 = n水， i0 可得空气的起偏角为i0 = arctann水 = 53.06°．

θ 折射角为γ = 90° - i0 = 36.94°． θ 水 再根据布儒斯特定律：tani = n玻/n水 = 1.128， 可得玻璃的起偏角为i = 48.44°． i γ 水面和玻璃平面的夹角为θ = i – γ = 11.5°． 玻璃 [讨论]为了简便起见，设n1 = n水，n2 = n玻，

图8.6 那么tani0 = n1，tani = n2/n1，水面与玻璃平面的夹角为

θ = i – γ = (i + i0) - 90°， 因此tan???cot(i?i0)??n2?1n(n?1)11?tanitani0??122． ??tan(i?i0)n2/n1?n1n2?n1tani?tani0这是最终公式，代入数值得tanθ = 0.2034，

夹角为θ = 11.5°．

8．7 一方解石晶体置于两平行的且偏振化方向相同的偏振片之间，晶体的主截面与偏振片的偏振化方向成30o，入射光在晶体的主截面内，求以下两种情况下的o光和e光强度之比．

（1）从晶体出射时； （2）从检偏器出射时．

[解答]（1）从偏振片入射到晶体的光分成o光和e光，o光垂直于主截面，e光平行于主截面．设入射偏振光的振幅为A，则Ao = Asinθ，Ae = Acosθ，

当光从晶体出射时，o光和e光强度之比为

2IoAo1?2?tan2??tan230??． IeAe3（2）从晶体出射的o光和e光入射到第二块偏振片时，只有沿偏振化方向的光能够通过，o光和e光的振幅为A`o = A osinθ，A`e = A ecosθ，

当光从偏振片出射时，o光和e光强度之比为

``22IoAoAo1244． ??tan??tan??tan30??``229IeAeAe

8．8 某晶体对波长为632.8nm的光的主折射率为no = 1.66，ne = 1.49．用其制成适应于该波长光的1/4玻片，晶片至少要多厚？该波片的光轴方向如何？

[解答]对于1/4玻片，o光和e光的位相差为

A θ o e o θ e ???2??0(no?ne)l?(2k?1)?2，

当k = 0时晶片厚度最小

l = λ0/4(n o - ne) = 930.6(nm)．

P1 要形成圆偏振光，波片的光轴方向要与光的偏振化方向成45度角． P

第十章 气体分子运动论

10．1 已知温度为27℃的气体作用于器壁上的压强为105Pa，求此气体内单位体积里的分子数． [解答]根据气体压强公式p = nkT，其中k = 1.38×10-23J·K-1称为玻尔兹曼常数． 当T = 300K时，气体单位体积内的分子数为n = p/kT = 2.415×1025(m-3)．

P2 10．2 一个温度为17℃、容积11.2×10-3m3的真空系统已抽到其真空度为1.33×10-3Pa．为了提高其真空度，将它放在300℃的烘箱内烘烤，使吸附于器壁的气体分子也释放出来．烘烤后容器内压强为1.33Pa，问器壁原来吸附了多少个分子？

17-3

[解答]烘烤前容器内单位体积内的分子为n1 = p1/kT1 = 3.32×10(m)，

20-3

烘烤后容器内单位体积内的分子为n2 = p2/kT2 = 1.68×10(m)．

器壁原来吸附的分子数为N = (n2 – n1)V = 1.88×1018．

10．3 在0℃下一容器的真空度为1.33×10-12Pa，此时每立方厘米内有多少个气体分子？ [解答]单位体积内的分子为n = p/kT = 3.53×108(m-3) = 3.53×102(cm-3)．

10．4 已知275K和1.00×103Pa条件下气体的密度ρ = 1.24×10-5g·cm-3，求：

（1）气体的方均根速率v；

（2）气体的摩尔质量μ，并指出是什么气体． [解答]（1）气体的密度为ρ = 1.24×10-2(kg·m-3)， 根据气体压强和能量的公式

2p?12?v，得气体的方均根速度为 3v2?3p/?= 491.87(m·s-1)．

（2）根据理想气体状态方程

pV?M?RT，

由于气体密度为ρ = M/V，所以方程可变为

p??RT， ?气体的摩尔质量为μ = ρRT/p = 0.0283(kg)．这种气体是氮气N2．

10．5 当温度为0℃时，求：

（1）N2分子的平均平动动能和平均转动动能； （2）7gN2气体的内能．、

[解答]（1）N2分子有t = 3个平动自由度，其平均平动动能为

wt?tkT2= 5.65×10-21(J)．

将N2分子当作刚体，它就还有r = 2个转动自由度，其平均转动动能为

wr?rkT2= 3.77×10-21(J)．

（2）N2分子的摩尔质量为μ = 0.028kg，质量M = 0.007kg的N2分子的摩尔数为

n0 = M/μ = 0.25，

分子总数为N = n0NA，其中NA = 6.02×1023为阿佛伽德罗常数， 而气体普适常量R = kNA = 8.31(J·K-1·mol-1)．

N2分子的自由度为i = t + r = 5， 气体的内能为E?iiiNkT?n0NAkT?n0RT222= 1.417×103(J)．

10．6 一个能量为1.6×10-7J的宇宙射线粒子射入氖管中，氖管中含有氖气0.01mol，如射线粒子能量全部转变成氖气的内能，氖气温度升高多少？

[解答]氖气是堕性气体，分子式是Ne，只能平动动能，自由度为i = t = 3．

当射线粒子能量全部转变成氖气的内能时，由公式E?in0RT可得气体升高的温度为 2T?2E= 1.28×10-6(K)． in0R

10．7 某些恒星的温度达到108K的数量级，此时原子已不存在，只有质子存在，求： （1）质子的平均动能是多少？ （2）质子的方均根速率多大？

[解答]（1）质子的平动自由度为 t = 3，平均平动动能为wt?tkT2= 2.07×10-15(J)．

（2）质子的质量为mp = 1.67261×1027(kg)， 由于wt?tkTt1kT?mpv2，所以质子的方均根速率为v2?22mp= 1.573×106(m·s-1)．

10．8 一容器被中间隔板分成体积相等的两半，一半装有氦气，温度为250K；另一半装有氧气，温度为310K．两种气体的压强均为p0．求抽去隔板后的混合气体温度和压强为多少？

[解答]设氦气和氧气分子各有N1和N2个，氦气是单原子分子，自由度为i1 = 3；氧气是双原子分子，自由度为i2 = 5．

i1iN1kT1，E2?2N2kT2． 22ii隔板抽去后，氦气和氧气分子的总能量为E?1N1kT?2N2kT．

22隔板抽去前，氦气和氧气分子的总能量为E1?这个过程能量守恒，即，E = E1 + E2，所以有i1N1T1 + i2N2T2 = (i1N1 + i2N2)T．

由于压强同理可得N2p0?n1kT1?2N1pVkT1，所以N1?0； V2kT1?p0V2kT2．

将N1和N2的公式代入上面公式可得

i1p0Vi2p0VipVipV??(10?20)T， 2k2k2kT12kT2约去公因子，可得混合气体的温度为

T?(i1?i2)TT12i1T2?i2T1= 284.4(K)．

混合气体的压强为

p?nkT?

(N1?N2)(i?i)(T?T)kT?1(p0V?p0V)kT?1212p0= 1.0275 p0．

V2(i1T2?i2T1)V2kT12kT2v2?v．

10．9 试证明：N个分子，不论分子速度的分布服从什么规律，总有[证明]设第i个分子的速率为vi，则分子的平均速率为v速率平方的平均值为v显然，?2?1?vi， Ni?1vi2． ?Ni1(vi?v)2?0，因此 ?Ni1111???(vi2?2viv?v2)??vi2?2v?vi?v2?1?v2?2v?v?v2?v2?v2，

NiNiNiNi?22由于δ≧0， 所以v?v，因此不论分子的速度的分布服从什么规律，都有另外也可直接用平均值运算．

由于(viv2?v．

?v)2?0，展开得vi2?2viv?v2?0，

2取平均值时得vi因为vi

?2viv?v2?0．

． 证毕．

?v、v?v并且v2?v2，所以vi2?v2?0，即v2?v10．10 将（11.19）式表示成以理想气体最可几速率vp为单位表示的形式，即令x = v/vp，若已知试计算：

（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？ （2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为多少？

?e01?x2dx?0.7468，

（3）参照表11.1，写出同一温度下氢气分子对应同一分子数百分比的速率区间． [解答] 理想气体分子数占分子总数的比率为dN/N = f(v)dv， 其中f(v)是麦克斯韦速率分布函数：

m3/2mv22f(v)?4?()exp(?)v．

2k?T2kT2kT设x = v/vp，其中vp?，则dv = vpdx，

m42?x2xe． 因此速率分为dN/N = g(x)dx，其中g(x)??（1）分子速率小于最可几速率的分子占分子总数的百分比为

N14??g(x)dx?N0?111?xe012?x21dx，设I??x2e?xdx，则

02111121?x22?x2?x2I??xedx???xde??(xe??e?xdx)

20202001?1即 I?(0.7648?e)，

2N142?I?(0.3648?e?1)= 0.4276 = 42.76%． 所以N??（2）分子速率大于最可几速率的分子占分子总数的百分比为

N2N?1?1= 0.5724 = 57.24%． NN（3）对于氧气分子，速率在v1~v2之间的分子数占分子总数的比率为

?NNvv2?v1?m3/2mv22)exp(?)vdv， f(v)dv??4?(2k?T2kTv1v2其中m表示氧分子的质量．用m`表示氢分子的质量，则m = 16m`，对于氢分子的同一比率则有

?N216m`3/216m`v22??4?()exp(?)vdv，取v` = 4v，可得 Nv2k?T2kT12?Nm`3/2m`v`22?4?()exp(?)v`dv`， N4?2k?T2kTv14v可见：氧气分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与氢气分子速率从4v1到4v2之间的分子数的比率相同．

从这个思路可以证明：当一种气体的分子的质量是另一种气体的质量的α2倍时，这种气体分子速率从v1到v2之间的分子数的比率与另一种气体分子速率从αv1到αv2之间的分子数的比率相同．

10．11． 由11．10题结果，求速率在0.99vp到1.01vp之间的分子数占分子总数的百分比．

1.0142?x2?Nxe． [解答] 分子数比率为??g(x)dx，其中g(x)?N0.09?利用中值定理得

?N4?1?g(1)(1.01?0.09)?e?0.02= 0.0166 = 1.66%． N?

10．12 求上升到什么高度时大气压强减到地面大气压强的75%．设空气温度为0℃，空气的平均摩尔质量为0.028 9kg·mol-1．

[解答] 根据玻尔兹曼分布可得压强随高度变化关系

p?p0exp(?mgz)． kT其中m是一个分子的质量．

用NA表示阿氏常数，则气体的摩尔质量为μ = NAm，气体的普适常数为R = k.NA．压强公式可表示为