因此：λ/2n0 = θΔL0．

当劈尖内充满液体时，相邻明纹之间的液体的厚度差为：Δe = λ/2n； 明纹之间的距离用ΔL表示，则：Δe = θΔL， 因此：λ/2n = θΔL．

由题意得Δl = ΔL0 – ΔL，所以劈尖角为

???(n?n0)11= 7.14×10-4(rad)． ?)?2?ln0n2?lnn0?(平面镜 柱面镜 图6.6

6.6 某平凹柱面镜和平面镜之间构成一空气隙，用单色光垂直照射，可得何种形状的的干涉条纹，条纹级次高低的大致分布如何？

[解答]这种情况可得平行的干涉条纹，两边条纹级次低，越往中间条纹级次越高，空气厚度增加越慢，条纹越来越稀．

6.7设牛顿环实验中平凸透镜和平板玻璃间有一小间隙e0，充以折射率n为1.33的某种透明液体，设平凸透镜曲率半径为R，用波长为λ0的单色光垂直照射，求第k级明纹的半径．

[解答] 第k级明纹的半径用rk表示，则 2

rk = R2 – (R – e)2 = 2eR．

光程差为δ = 2n(e + e0) + λ0/2 = kλ0， 解得2e1??(k?)0?2e0，

2nR λ e 图6.7

r e0 λ 半径为：

1?rk?[(k?)0?2e0]R．

2n

6.8 白光照射到折射率为1.33的肥皂上（肥皂膜置于空气中，若从正面垂直方向观察，皂膜呈黄色（波长λ = 590.5nm），问膜的最小厚度是多少？

[解答]等倾干涉光程差为：δ = 2ndcosγ + δ`，

从下面垂直方向观察时，入射角和折射角都为零，即γ = 0；由于肥皂膜上下两面都是空气，所以附加光程差δ` = λ/2．对于黄色的明条纹，有δ = kλ， 所以膜的厚度为：d?(k?1/2)?2n．当k = 1时得最小厚度d = 111(nm)．

6.9光源发出波长可继续变化的单色光，垂直射入玻璃板的油膜上（油膜n = 1.30），观察到λ1 = 400nm和λ2 = 560nm的光在反射中消失，中间无其他波长的光消失，求油膜的厚度．

[解答]等倾干涉光程差为;δ = 2ndcosγ + δ`，

其中γ = 0，由于油膜的折射率比空气的大、比玻璃的小，所以附加光程差δ` = 0．

对于暗条纹，有δ = (2k + 1)λ/2， 即 2nd = (2k1 + 1)λ1/2 = (2k2 + 1)λ2/2．

由于λ2 > λ1，所以k2 < k1，又因为两暗纹中间没有其他波长的光消失，因此

k2 = k1 – 1．

光程差方程为两个：2nd/λ1 = k1 + 1/2，2nd/λ2 = k2 + 1/2， 左式减右式得：2nd/λ1 - 2nd/λ2 = 1， 解得：d??1?2= 535.8(nm)．

2n(?2??1)

6.10 牛顿环实验装置和各部分折射率如图所示，试大致画出反射光干涉条纹的分布．

[解答]右边介质的折射率比上下两种介质的折射率大，垂直入射的光会有半波损失，

1.50 1.62 1.62 中间出现暗环；左边介质的折射率 1.75 1.50 介于上下两种介质的折射率之间，没有半波损失，

图6.10 中间出现明环．因此左右两边的明环和暗是交错的，

越往外，条纹级数越高，条纹也越密．

6.11 用迈克尔逊干涉仪可测量长度的微小变化，设入射光波长为534.9nm，等倾干涉条纹中心冒出了1204条条纹，求反射镜移动的微小距离．

[解答]反射镜移动的距离为 Δd = mλ/2 = 3.22×105nm = 0.322(mm)．

6.17 在迈克尔逊干涉仪一支光路中，放入一折射率为n的透明膜片，今测得两束光光程差改变为一个波长λ，求介质膜的厚度．

[解答]因为δ = 2(n – 1)d = λ，所以

d = λ/2(n – 1)．

第七章 光的衍射

7．1 在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上．假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第三级衍射极小相重合，试问：

（1）这两种波长之间有什么关系；

（2）在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合？ [解答]（1）单缝衍射的暗条纹形成条件是

δ = asinθ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)，

当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此

λ1 = 3λ2．

（2）当其他极小重合时，必有k1`λ1 = k2`λ2， 所以 k2` = 3k1`．

7．2 单缝的宽度a = 0.40mm，以波长λ = 589nm的单色光垂直照射，设透镜的焦距f = 1.0m．求： （1）第一暗纹距中心的距离； （2）第二明纹的宽度；

（3）如单色光以入射角i = 30o斜射到单缝上，则上述结果有何变动？ [解答]（1）单缝衍射的暗条纹分布规律是

y??fk`?，(k` = 1,2,3,…)， a当k` = 1时，y1 = fλ/a = 1.4725(mm)．

（2）除中央明纹外，第二级明纹和其他明纹的宽度为

Δy = yk`-1 - yk` = fλ/a = 1.4725(mm)． （3）当入射光斜射时，光程差为 δ = asinθ – asinθ = ±k`λ，(k` = 1,2,3,…)． 当k` = 1时，可得

θ sinθ1 = sinθ ± λ/a = 0.5015和0.4985，

cosθ1 = (1 – sin2θ1)1/2

a = 0.8652和0.8669．

O θ 两条一级暗纹到中心的距离分别为

y1 = ftanθ1 = 579.6(mm)和575.1(mm)． 当k` = 2时，可得 sinθ2 =asinθ ± λ/a = 0.5029和0.4971，cosθ2 = (1 – sin2θ2)1/2 = 0.8642和0.8677． 两条二级暗纹距中心的距离分别为：y2 = ftanθ2 = 581.9(mm)和572.8(mm)． 第二明纹的宽度都为Δy = y2 – y1 = 2.3(mm)，比原来的条纹加宽了．

7．3 一单色平行光垂直入射于一单缝，若其第三级衍射明纹位置正好和波长为600 nm的单色光垂直入射该缝时的第二级衍射明纹位置一样，求该单色光的波长．

[解答]除了中央明纹之外，单缝衍射的条纹形成的条件是

??asin???(2k?1)?2，(k = 1,2,3,…)．

当条纹重合时，它们对应同一衍射角，因此(2k1 + 1)λ1 = (2k2 + 1)λ2， 解得此单色光的波长为

?2??12k1?1= 428.6(nm)．

2k2?1

7．4 以某放电管发出的光垂直照射到一个光栅上，测得波长λ1 = 669nm的谱线的衍射角θ = 30o．如果在同样的θ角处出现波长λ2 = 446nm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小为多少？

[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2，

方程可化为两个：(a + b)sinθ/λ1 = k1和 (a + b)sinθ/λ2 = k2，

解得光栅常数为：a?b?(k2?k1)?2?1(?1??2)sin?．

由于k2/k1 = λ1/λ2 = 3/2，

所以当k1 = 2时，. k2 = 3，因此光栅常数最小值为：a?b??2?1(?1??2)sin?= 2676(nm)．

7．5 一衍射光栅，每厘米有400条刻痕，刻痕宽为1.5×10-5m，光栅后放一焦距为1m的的凸透镜，现以λ = 500nm的单色光垂直照射光栅，求：

（1）透光缝宽为多少？透光缝的单缝衍射中央明纹宽度为多少？ （2）在该宽度内，有几条光栅衍射主极大明纹？ [解答]（1）光栅常数为：a + b = 0.01/400 = 2.5×10-5(m)， 由于刻痕宽为b = 1.5×10-5m，所以透光缝宽为：a =(a + b) – b = 1.0×10-5(m)．

根据单缝衍射公式可得中央明纹的宽度为：Δy0 = 2fλ/a = 100(mm)． （2）由于：(a + b)/a = 2.5 = 5/2，

因此，光栅干涉的第5级明纹出现在单缝衍射的第2级暗纹处，因而缺级；其他4根条纹各有两根在单缝衍射的中央明纹和一级明纹中，因此单缝衍射的中央明纹宽度内有5条衍射主极大明纹，其中一条是中央衍射明纹．

7．6 波长为600 nm的单色光垂直入射在一光栅上，第二、第三级主极大明纹分别出现在sinθ = 0.2及sinθ = 0.3处，第四级缺级，求：

（1）光栅常数；

（2）光栅上狭缝的宽度；

（3）屏上一共能观察到多少根主极大明纹？ [解答]（1）（2）根据光栅方程得：(a + b)sinθ2 = 2λ； 由缺级条件得(a + b)/a = k/k`，其中k` = 1，k = 4．

解缺级条件得b = 3a，代入光栅方程得狭缝的宽度为：a = λ/2sinθ2 = 1500(nm)． 刻痕的宽度为：b = 3a = 4500(nm)， 光栅常数为：a + b = 6000(nm)．

（3）在光栅方程(a + b)sinθ = kλ中，令sinθ =1，得：k =(a + b)/λ = 10． 由于θ = 90°的条纹是观察不到的，所以明条纹的最高级数为9．又由于缺了4和8级明条纹，所以在屏上能够观察到2×7+1 = 15条明纹．

7．7 以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角θ = 41o的方向上看到λ1 = 656.2nm和λ2 = 410.1nm的谱线重合，求光栅常数的最小值是多少？

[解答]根据光栅方程得：(a + b)sinθ = k1λ1 = k2λ2， 方程可化为两个

(a + b)sinθ/λ1 = k1

和 (a + b)sinθ/λ2 = k2， 解得光栅常数为;a?b?(k2?k1)?2?1(?1??2)sin?．

由于k2/k1 = λ1/λ2 = 1.6 = 16/10 = 8/5，

所以当k1 = 5时，. k2 = 8，因此光栅常数最小值为:a?b?3?2?1(?1??2)sin?= 5000(nm)．

其他可能值都是这个值的倍数．

7．8 白光中包含了波长从400nm到760nm之间的所有可见光谱，用白光垂直照射一光栅，每一级衍射光谱是否仍只有一条谱线？第一级衍射光谱和第二级衍射光谱是否有重叠？第二级和第三级情况如何？

[解答]方法一：计算法．根据光栅方程(a + b)sinθ = kλ，对于最短波长λ1 = 400nm和最长波长λ2 = 760nm的可见光，其衍射角的正弦为sinθ1 = kλ1/(a + b)和sinθ2 = kλ2/(a + b)，数值如下表所示．

可见第一级衍射光谱与第二级衍射光谱没有重叠，第二级衍射

级数k 1 2 3 4 光谱与第三级衍射光谱从量值1200到1520是重叠的，第三级衍射

sinθ1(nm/(a+b)) 400 800 1200 1600 光谱与第四级衍射光谱从量值1600到2280是重叠的．

方法二：曲线法。由于白光是连续光谱，经过光栅衍射之后仍sinθ2(nm/(a+b)) 760 1520 2280 3040 然是连续光谱，而不是一条谱线．

波长最长的单色光与波长最短的单色光相比，中央衍射明条纹的宽度增加了，由于最长波长不到最短波长的2倍，第一级衍射光谱和第二级衍射光谱不重叠，第二级衍射光谱和第三级衍射光谱重叠．

2

7．9 迎面开来的汽车，其两车灯相距为1m，汽车离人多远时，两灯刚能为人眼所分辨？（假定人眼瞳孔直径d为3 mm，光在空气中的有效波长为λ = 500nm）

[解答]人眼的最小分辨角为:θ0 = 1.22λ/D = 2.033×10-4(rad)， 当车很远时θ0 = w/l，所以距离为:l = w/θ0 = 4918(m)．

7．10 在X射线衍射实验中，用波长从0.095nm到0.130nm连续的X射线以30o角入射到晶体表面．若晶体的晶格常数d = 0.275nm，则在反射方向上有哪些波长的X射线形成衍射极大？

[解答]30o是入射角，因此掠射角为:θ = 90o - 30o = 60o．

根据布喇格公式2dsinθ = kλ，得X射线形成衍射极大的波长为:λ = 2dsinθ/k，(k = 1,2,3,…)． 数值和结果如下表所示． 级数k 波长λ(nm) 1 2 3 4 5 6 0.476 0.238 0.159 0.119 0.095 0.079 No No Yes Yes No 是否所求 No

第八章 光的偏振

8．1 两偏振片组装成起偏和检偏器，当两偏振片的偏振化方向夹角成30o时观察一普通光源，夹角成60o时观察另一普通光源，两次观察所得的光强相等，求两光源光强之比．

[解答]第一个普通光源的光强用I1表示，通过第一个偏振片之后，光强为I0 = I1/2． 当偏振光通过第二个偏振片后，根据马吕斯定律，光强为I = I0cos2θ1 = I1cos2θ1/2． 同理，对于第二个普通光源可得光强为I = I2cos2θ2/2． 因此光源的光强之比I2/I1 = cos2θ1/cos2θ2 = cos230o/cos260o = 1/3．

8．2 一束线偏振光和自然光的混合光，当它通过一偏振片后，发现随偏振片的取向不同，透射光的强度可变化四倍，求入射光束中两种光的强度各占入射光强度的百分之几？

[解答]设自然光强为I1，线偏振光强为I2，则总光强为I0 = I1 + I2． 当光线通过偏振片时，最小光强为自然光强的一半，即Imin = I1/2； 最大光强是线偏振光强与自然光强的一半之和，即Imax = I2 + I1/2． 由题意得Imax/Imin = 4，因此2I2/I1 + 1 = 4， 解得I2 = 3I1/2．此式代入总光强公式得

I0 = I1 + 3I1/2．

因此入射光中自然光强的比例为I1/I0 = 2/5 = 40%． 由此可得线偏振光的光强的比例为I2/I0 = 3/5 = 60%．

[讨论]如果Imax/Imin = n，根据上面的步骤可得

I1/I0 = 2/(n + 1)， I2/I0 = (n - 1)/(n + 1)，

可见：n的值越大，入射光中自然光强的比例越小，线偏振光的光强的比例越大．

8．3 水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50，当光由水射向玻璃时，起偏角为多少？若光由玻璃射向水时，起偏角又是多少？这两个角度数值上的关系如何？

[解答]当光由水射向玻璃时，水的折射率为n1，玻璃的折射率为n2，根据布儒斯特定律

tani0 = n2/n1 = 1.1278，

得起偏角为i0 = 48.44o．

当光由玻璃射向水时，玻璃的折射率为n1，水的折射率为n2，根据布儒斯特定律

tani0 = n2/n1 = 0.8867，

得起偏角为i0 = 41.56o． 可见：两个角度互为余角．

8．4 根据布儒斯特定律可测量不透明介质的折射率，今测得某釉质的起偏角为58o，则该釉质的折射率为多少？ [解答]空气的折射率取为1，根据布儒斯特定律可得釉质的折射率为n = tan i0 = 1.6003．

8．5 三个偏振片堆叠在一起，第一块与第三块偏振化方向互相垂直，第二块与第一块的偏振化方向互相平行，现令第二块偏振片以恒定的角速度ω0绕光传播方向旋转，如图所示．设入射自然光的光强为I0，ω θ 试证明：此自然光通过这一系统后出射光强度为I = I0(1 – cos4ωt)/16．

[证明]自然光通过偏振片P1之后，形成偏振光，光强为

P1 P3 图8.5

P2