质点的线速度 v?R??0.10?12t2?1.2t2 质点的法向加速度an，切向加速度at为

an??2R??12t2??0.10?14.4t4 （1）

2 at?dv?2.4t （2） dt（1）把t?2s代入（1）式和（2）式，得此时

an?14.4?24?2.3?102m/s2at?2.4?2?4.8m/s（2）质点的总加速度

2

2a?an?at2?2.4t36t6?1

由 at?1a 得 2.4t?0.5?2.4t36t6?1 2解得 t?0.66s 所以 ??2?4t3?3.15rad （3）当an?at即14.4t4?2.4t时

有 t?0.55 s

1-17 火车在曲率半径R＝400m的圆弧轨道上行驶．已知火车的切向加速度

at?0.2ms2，求火车的瞬时速率为10ms时的法向加速度和加速度．

v2102??0.25ms2 [解] 火车的法向加速度 an?R400方向指向曲率中心

2火车的总加速度 a?an?at2?0.252?0.22?0.32ms2

设加速度a与速度v之间的夹角为?，则

??arctanan0.25?arctan?51.340?51020? at0.2

1-18 为了转播电视而发射的地球同步卫星在赤道上空的圆轨道上运动，周期等于地球的自转周期T?24h．求卫星离开地面的高度和卫星的速率（距地球中心r处的重力加速度

?R?） a?g?e?，Re是地球的半径．

r??[解] 设同步卫星距地球的中心为r，速率为v，则

2v?2?r （1） T1-9

v2?R? ?a?g?e? （2） r?r?解（2）式可得

2r?3gRe2T239.8??6378?103???24?3600?2??4.22?107m 224?4?2代入（1）式可得

2?r2?4.22?107v???3.07?103ms

T24?3600所以，卫星距地面的高度

h?r?Re?4.22?107?6378?103?3.58?107m

1-19 若登月舱在登上月球之前绕月球以半径r?并且已知这时月球对登月舱的引力加速度a?1Re （Re为地球半径）作圆周运动，31试计算登月舱的速率和飞行一周所需要g．12的时间．

[解] 设登月舱的速率为v，周期为T，则

v23v21?a 即?g （1） rRe122?Re2?r?v 即?v （2） T3T解（1）式可得

v?代入（2）式可得

g9.8Re??6378?103?1.32?103ms 3636T?2?Re3g36?2?6378?10339.836?1.01?104s

1-20 如图所示，一卷扬机自静止开始作匀加速运动，绞索上一点起初在A处经3s到达鼓轮的B处，然后作圆周运动．已知AB?0.45m,鼓轮半径R?0.5m，求该点经过点C时，其速度和加速度的大小和方向．

[解] 设A点的切向加速度为at，经过B点时的速率为vB，法向加速度为an

由A到B过程：

AB?12att （1） 21-10

vB?att （2）

在B点： ?B?vB/R，??at/R （3）

22由B到C过程：?C??B?2?? （4）

在C点： vC??CR （5） 联立以上五式，得

4AB4?0.45?2AB??2?0.45?vC??CR???R????0.5?0.64ms ????22Rt0.5?3Rt0.5?3????方向沿切向

2vC2ABan? at?2

Rt22a?at2?2an2?0.642?2?0.45??????2?0.5?3?????0.83ms2 ??at0.6420.50??arctan?arctan?832? 2an2?0.453

1-21 在一个转动的齿轮上，一个齿尖P沿半径为R的圆周运动，其路程随时间的变化规律为s?v0t?12bt，其中v0和b都是正常量．求t时刻齿尖P的速度及加速度的大小． 2

[解] 设时刻t齿尖P的速率为v，切向加速度at，法向加速度an，则

v?ds?v0?btdtdvat??b

dtv2(v0?bt)2an??RR所以，t时刻齿尖P的加速度为

(v0?bt)4a?a?a?b?

R22t2n2

1-22 一物体作斜抛运动，抛射角为?，初速度为v0，轨迹为一抛物线（如图所示）．试分别求抛物线顶点A及下落点B处的曲率半径．

1-11

[解] 物体在A点的速度设为vA，法向加速度为anA，曲率半径为?A，由题图显然有

vA?v0cos? （1） anA=g （2）

2vA?A?anA （3）

22v0cos?联立上述三式得 ?A?

g物体在B点的速度设为vB，法向加速度为anB，曲率半径为?B，由题图显然有

vB?v0 （4） anB?gcos? （5）

2vB?B?anB （6）

2v0联立上述三式得 ?B?

gcos?

1-23 一物体作如图所示的抛体运动，测得轨道的点A处，速度的大小为v，其方向与水平线的夹角为300，求点A的切向加速度和该处的曲率半径．

[解] 设A点处物体的切向加速度为at，法向加速度为an，曲率半径为?，则 g?at?an

由图知 at??gsin300??0.5g

an?gcos300?3g/2

v2v223v2又 ???an 所以 ???an3g3g/2v2

1-24 一门火炮在原点处以仰角?1?300、初速v10?100ms发射一枚炮弹．另有一门位于x0?60m处的火炮同时以初速v20?80ms发射另一枚炮弹，其仰角?2为何值时，可望能与第一枚炮弹在空中相碰? 相碰时间和位置如何（忽略空气阻力的影响）?

1-12