因而质点的运动学方程为 x??457.3?8t?（2） 将t?0代入速度表达式和运动学方程，得

23t 3v0?8?2?02?8m/s

2x0??457.3?8?0??03??457.3m

3（3） 质点沿x轴正方向作变加速直线运动，初速度为8m/s，初位置为?457.3m.

1-9 一物体沿x轴运动，其加速度与位置的关系为a?2?6x．物体在x?0处的速度为10ms，求物体的速度与位置的关系．

[解] 根据链式法则 a?dvdvdxdv ??vdtdxdtdxvdv?adx??2?6x?dx

对上式两边积分并考虑到初始条件，得 故物体的速度与位置的关系为

?v10vdv???2?6x?dx

0xv?6x2?4x?100 ms

1-10 一质点在平面内运动，其加速度a?axi?ayj，且ax，ay为常量．（1）求v?t和r?t的表达式；（2）证明质点的轨迹为一抛物线．t?0时，r?r0，v?v0．

[解] 由 a?dv得 v?adt dt两边积分得

?vv0v??adt

0t因ax，ay为常量，所以a是常矢量，上式变为

v?v0?at 即 v?v0?at

由 v?dr 得 dr?vdt??v0?at?dt dt两边积分，并考虑到v0和a是常矢量，

?rdr??0?v0?at?dt

0rt即 r?r0?v0t?12at 2

（2） 为了证明过程简单起见，按如下方式选取坐标系，使一个坐标轴（如y轴）与a

1-5

平行，并使质点在t?0时刻位于r0．

这样 x?v0xt?x0 （1）

y?12at?v0yt?y0 （2） 2联立 （1）~（2）式，消去参数t得

y?v0y1a2???x?x0??y0 x?x?022v0vx0x此即为轨道方程，它为一条抛物线．

1-11 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为a?g?Bv，g为重力加速度，B为与物体的质量、形状及介质有关的常数．设t?0时物体的初速度为零．（1）试求物体的速度随时间变化的关系式；（2）当加速度为零时的速度（称为收尾速度）值为多大?

[解] （1） 由a?dv得 dtdv?dt

g?Bv两边分别积分，得

?dv?0g?Bvv?t0dt

所以，物体的速率随时间变化的关系为：

g?1?e?Bt? B（2） 当a?0时 有 a?g?Bv?0（或以t??代入）

v?由此得收尾速率 v?g B

1-12 一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为a，此后随t均匀增加，经时间?后，加速度变为2a，经2?后，加速度变为3a，……．求经时间n?后，该质点的加速度和所走过的距离．

[解] 由题意可设质点的加速度与时间t的关系为

at?a?kt （k为常数）

由 aτ?a?k??2a得

k?所以 at?a?a?

?tt??1????a??a ?故当t?n?时，质点的加速度 anτ??n?1?a

1-6

由a?dv得 dtdv?adt

对上式两边积分得

t?t?dv?1?adt ??0?0????v所以 v?at?又 v?对上式两边积分

a2t 2?dx dx?vdt dta2??dx?at?dt ??0?0?2?t??sn?经过时间n?后，质点所走过的距离

a3??1s??at2?t?26???n?0?12n?n?3?a?2 6

1-13 一物体悬挂于弹簧上沿竖直方向作谐振动，其加速a??ky，k为常数，y是离开平衡位置的坐标值．设y0处物体的速度为v0，试求速度v与y的函数关系．

[解] 根据链式法则 a?dvdvdydv??v dtdydtdyvdv?ady

对上式两边积分

?vv0vdv??yy0ady??yy0?kydy

即 故速度v与y的函数关系为

12?v?v02???1k?y2?y02? 2222v2?v0?k?y0?y2?

1-14 一艘正以速率v0匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶．其加速度的大小与速度的平方成正比，即a??kv2， k为正常数．试求舰艇在关闭发动机后行驶了x距离

时速度的大小．

dvdvdxdv ??vdtdxdtdxv dx?dv

a[解] 根据链式法则 a?对上式两边积分

1-7

?0化简得

xdx??vv0vdvv dv??v0?kvax??所以

1vln kv0v?v0e?kx

l-15 一粒子沿抛物线轨道y?x2运动，且知vx?3ms．试求粒子在x?和加速度．

[解] 由粒子的轨道方程 y?x2 对时间t求导数 vy?2m处的速度3dydx?2x?2xvx （1） dtdt再对时间t求导数，并考虑到vx是恒量

a?把x?dvydt2?2vx （2）

2m代入式（1）得 32vy?2??3?4ms

3所以，粒子在x?2m处的速度为 322v?vx?vx?32?42?5ms

与x轴正方向之间的夹角

??arctan由式（2）得粒子在x?vyvx?arctan4?5308? 32m处的加速度为 3a?2?32?18ms2

加速度方向沿y轴的正方向．

1-16 一质点沿半径为0.10m的圆周运动，其角位置??2?4t3．（1）在t?2s时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?（2）切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，?值为多少?（3）何时切向加速度与法向加速度大小相等?

[解] 质点的角速度 ??d??12t2 dt1-8