5
所以sin θ＝－，
13
πππ
所以cos(θ＋)＝cos θcos－sin θsin
44412252
＝－×－(－)×
13213272＝－.
2672
答案：－ 26
11
8．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则cos αcos β＝________．
341
解析：因为cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，①
31
cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝，②
47
由①＋②得，cos αcos β＝.
247
答案： 24
9．已知cos(2α－β)＝－＋β的值．
πππ
解：因为＜α＜，0＜β＜，
424π
所以＜2α－β＜π.
4因为cos(2α－β)＝－π
所以＜2α－β＜π.
2所以sin(2α－β)＝
2. 22， 2
22πππ
，sin(α－2β)＝，且＜α＜，0＜β＜，求α22424
πππ
因为＜α＜，0＜β＜，
424ππ所以－＜α－2β＜.
42因为sin(α－2β)＝
2
， 2
π
所以0＜α－2β＜，
2所以cos(α－2β)＝
2， 2
所以cos(α＋β)＝cos[(2α－β)－(α－2β)]
＝cos(2α－β)cos(α－2β)＋sin(2α－β)sin(α－2β) ＝－2222
×＋×＝0. 2222
πππ因为＜α＜，0＜β＜，
424π3所以＜α＋β＜π.
44π所以α＋β＝. 2
45
10．已知sin α＝，α∈(0，π), cos β＝－，β是第三象限角，求cos(α－β)
513的值．
4?π?解：①当α∈?，π?时，由sin α＝，
5?2?得cos α＝－1－sinα＝－
2
3?4?1－??＝－. 5?5?
2
5
由cos β＝－，β是第三象限角，
13得sin β＝－1－cosβ＝－
2
12?5?1－?－?＝－. 13?13?
2
33?3??5?4?12?所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝?－?×?－?＋×?－?＝－.
65?5??13?5?13?4?π?②当α∈?0，?时，由sin α＝，
2?5?得cos α＝ 1－sinα＝
2
?4?3
1－??＝. ?5?5
2
5
由cos β＝－，β是第三象限角，
13得sin β＝－1－cosβ＝－
2
12?5?1－?－?＝－. 13?13?
2
3?5?4?12?63
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×?－?＋×?－?＝－.
5?13?5?13?653363
综上可知，cos(α－β)的值为－或－.
6565
[B 能力提升]
11．在锐角△ABC中，设x＝sin Asin B，y＝cos Acos B，则x，y的大小关系是( ) A．x≥y C．x＞y
B．x≤y D．x＜y
π
解析：选C.y－x＝cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)，在锐角三角形中＜A＋B＜
2π，所以y－x＜0，即x＞y.
12．已知向量a＝(sin α，cos α)，向量b＝(cos β，sin β)，α、β都是锐角，且a∥b，则α＋β等于________．
解析：因为a∥b，
所以sin αsin β－cos αcos β＝0，即cos(α＋β)＝0. 因为α、β均为锐角，所以0°＜α＋β＜180°， 所以α＋β＝90°. 答案：90°
π?π?13．已知2tan α·sin α＝3，－＜α＜0，求cos?α－?的值． 6?2?解：由2tan α·sin α＝3，
sin α32
得2··sin α＝3，所以sinα＝cos α.
cos α2因为sinα＋cosα＝1，
322
所以cos α＋cosα＝1.所以2cosα＋3cos α－2＝0.
21
所以cos α＝或cos α＝－2(舍去)．
2π3因为－＜α＜0，所以sin α＝－.
22
π?ππ?所以cos?α－?＝cos α·cos＋sin α·sin
6?66?1331
＝×－×＝0. 2222
2
2
?1π?14．(选做题)已知函数f(x)＝2sin?x－?，x∈R.
6??3
(1)求f?
?5π?；
??4?
π?106?π??(2)设α，β∈?0，?，f?3α＋?＝，f(3β＋2π)＝，求cos(α＋β)的值．
2?2?135??解：(1)f?
?5π?＝2sin?1×5π－π?＝2sinπ＝2.
??346?4?4???
π?π?π??1??(2)因为f?3α＋?＝2sin??3α＋?－?
2?6?2???3?105
＝2sin α＝，所以sin α＝.
1313
π??1
因为f(3β＋2π)＝2sin?（3β＋2π）－?
6??3π?6?＝2sin?β＋?＝2cos β＝，
2?5?3
所以cos β＝. 5
?π?又因为α，β∈?0，?，
2??
124
所以cos α＝，sin β＝.
135
所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β 12354
＝×－× 135135＝
36－2016
＝. 6565