3．1.1 两角和与差的余弦
1.了解两角和与差的余弦公式的推导． 2.理解两角和与差的余弦公式． 3．掌握两角和与差的余弦公式并会利用公式进行三角函数式的化简与求值．
两角和与差的余弦公式 名称 公式 cos(α－β)＝cos 两角差的余弦 简记符号 使用条件 αcos β＋sin αsin β cos(α＋β)＝cos Cα－β α、β∈R 两角和的余弦 αcos β－sin αsin β Cα＋β α、β∈R
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．( ) (2)对于任意α，β，cos(α－β)＝cos α－cos β都不成立．( ) 答案：(1)√ (2)×
π?3?π??2．设α∈?0，?，若sin α＝，则2cos?α－?等于( )
2?4?5??7
A． 57C．－ 5答案：A
3．cos 32°cos 28°－sin 32°sin 28°的值为( ) 1A． 2C．3 2
1B． 3D．
3 31B． 51D．－ 5
解析：选A.原式＝cos(32°＋28°) ＝cos 60° 1＝. 2
运用公式求值[学生用书P59]
求下列各式的值：
(1)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15°；
(2)cos(x＋27°)cos(x－18°)＋sin(x＋27°)sin(x－18°)； 4?π??π?(3)已知cos α＝，α∈?－，0?，求cos?－α?的值． 5?2??3?【解】 (1)cos 75°cos 15°－sin 255°sin 15° ＝cos 75°cos 15°＋sin 75°sin 15° 1
＝cos(75°－15°)＝cos 60°＝.
2
(2)原式＝cos[(x＋27°)－(x－18°)]＝cos 45°＝4?π?(3)因为cos α＝，α∈?－，0?， 5?2?所以sin α＝－1－cosα＝－
2
2
. 2
3?4?1－??＝－. 5?5?
2
ππ?π?所以cos?－α?＝coscos α＋sinsin α
33?3?1433
＝×－× 2525＝
4－33
. 10
在利用两角和与差的余弦公式求值应用中，一般思路是： (1)把非特殊角转化为特殊角的和或差，正用公式直接求值．
(2)在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角差的余弦公式的结构形式，然后逆用公式求值．
求下列各式的值．
(1)cos 40°cos 70°＋cos 20°cos 50°； cos 7°－sin 15°sin 8°(2).
cos 8°
解：(1)原式＝cos 40°cos 70°＋sin 70°sin 40° ＝cos(40°－70°) ＝cos(－30°)＝(2)原式＝
3. 2
cos（15°－8°）－sin 15°sin 8°cos 15°cos 8°
＝＝cos 15°＝
cos 8°cos 8°
6＋2
. 4
cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝
给值求值[学生用书P60]
4311
已知α、β为锐角，且sin α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值．
714ππ
【解】 因为α，β为锐角，即0＜α＜，0＜β＜，
2212
所以0＜α＋β＜π，所以cos α＝1－sinα＝，
7532
sin(α＋β)＝1－cos（α＋β）＝.
14所以cos β＝cos[(α＋β)－α]
11153431
＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.
1471472
拆分角时，应注意如下变换：
α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝(2α－β)－(α－β)， β＝(2β－α)－(β－α)，α＝[(α＋β)＋(α－β)]， α＝[(β＋α)－(β－α)]等．
π4π3π
已知sin(α＋)＝，且＜α＜，求cos α的值．
4544
π4
解：因为sin(α＋)＝，
45π3π
且＜α＜， 44ππ
所以＜α＋＜π，
24
12
12
π
所以cos(α＋)＝－
4＝－
42
1－（）
5
π2
1－sin（α＋）
4
3＝－，
5
ππ
所以cos α＝cos[(α＋)－]
44ππππ
＝cos(α＋)cos＋sin(α＋)sin
444432422
＝－×＋×＝.
525210
给值求角[学生用书P60]
113π
已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．
71421π
【解】 由cos α＝，0＜α＜，
72得sin α＝ 1－cos α＝
2
?1?43.
1－??＝
7?7?
2
ππ
由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.
2213
又因为cos(α－β)＝，
14
所以sin(α－β)＝1－cos （α－β）＝由β＝α－(α－β)得
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331π＝×＋×＝，所以β＝. 71471423
解决给值求角问题的步骤及注意点
(1)求角问题的步骤： ①求角的某一种三角函数值； ②确定角的取值范围； ③根据角的范围写出所求的角．
(2)此类问题常犯的错误是对角的范围不加讨论，范围讨论的程度过大或过小，会使求
2
?13?33.
1－??＝
14?14?
2