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思维升华 (1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系．当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．
(2)向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a，b不共线．
→→→
跟踪训练 (1)(2017·资阳模拟)已知向量AB＝a＋3b，BC＝5a＋3b，CD＝－3a＋3b，则( ) A．A，B，C三点共线 C．A，C，D三点共线 答案 B
→→→→解析 ∵BD＝BC＋CD＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2AB， →→
∴BD，AB共线，又有公共点B， ∴A，B，D三点共线．故选B.
→→→
(2)已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2OA＋xOB＋BC＝0成立的实数x的取值集合为( ) A．{0} C．{－1} 答案 C
→→→→→→→
解析 ∵BC＝OC－OB，∴x2OA＋xOB＋OC－OB＝0， →→→
即OC＝－x2OA－(x－1)OB，∵A，B，C三点共线， ∴－x2－(x－1)＝1，即x2＋x＝0，解得x＝0或x＝－1.
→→→
当x＝0时，x2OA＋xOB＋BC＝0，此时B1，C两点重合，不合题意，舍去．故x＝－1.故选C.
容易忽视的零向量
典例 下列叙述错误的是________．(填序号)
①若非零向量a与b方向相同或相反，则a＋b与a，b之一的方向相同； ②|a|＋|b|＝|a＋b|?a与b方向相同；
③向量b与向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa； →→
④AB＋BA＝0； ⑤若λa＝λb，则a＝b. 错解展示：
→→
④中两个向量的和仍是一个向量，所以AB＋BA＝0. 错误答案 ④
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B．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线
B．? D．{0，－1}
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现场纠错
解析 对于①，当a＋b＝0时，其方向任意，它与a，b的方向都不相同． 对于②，当a，b之一为零向量时结论不成立．
对于③，当a＝0且b＝0时，λ有无数个值；当a＝0但b≠0或a≠0但b＝0时，λ不存在． 对于④，由于两个向量之和仍是一个向量， →→
所以AB＋BA＝0.
对于⑤，当λ＝0时，不管a与b的大小与方向如何，都有λa＝λb，此时不一定有a＝b. 故①②③④⑤均错． 答案 ①②③④⑤
纠错心得 在考虑向量共线问题时，要注意考虑零向量．
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线． 其中正确的命题的个数为( ) A．1 C．3 答案 A
解析 因为两个向量终点相同，起点若不在一条直线上，则也不共线，命题①错误；由于两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小，因此②是正确的；若λa＝0(λ为实数)，则a也可以为零向量，因此命题③是错误的；若λ，μ为0，尽管有λa＝μb，则a与b也不一定共线，即命题④是错误的，故选A.
ab
2．(2018·安徽淮北第一中学最后一卷)设a，b都是非零向量，下列四个条件，使＝成立
|a||b|的充要条件是( ) A．a＝b C．a∥b且|a|＝|b| 答案 D 解析
aab
表示a方向的单位向量，因此＝的充要条件是a与b同向即可，故选D. |a||a||b|
B．a＝2b
D．a∥b且方向相同 B．2 D．4
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3．(2018·四川乐山调研)如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，→→→
AB＝a，AC＝b，则AD等于( )
1
A．a－b
21
C．a＋b
2答案 D
解析 连接OC，OD，CD，由点C，D是半圆弧的三等分点，可得∠AOC＝∠COD＝∠BOD＝60°，且△OAC和△OCD均为边长等于圆O半径的等边三角形，所以四边形OACD为菱形， →→→1→→1
所以AD＝AO＋AC＝AB＋AC＝a＋b，故选D.
22
1
B．a－b
21
D．a＋b
2
→→→
4．已知AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则下列一定共线的三点是( ) A．A，B，C C．B，C，D 答案 B
→→→→→→→
解析 因为AD＝AB＋BC＋CD＝3a＋6b＝3(a＋2b)＝3AB，又AB，AD有公共点A，所以A，B，D三点共线．
5．(2018·济宁模拟)如图所示，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线→→→→
AB，AC于不同的两点M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，则m＋n的值为( )
B．A，B，D D．A，C，D
A．1 C．3 答案 B
B．2 D．4
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解析 ∵O为BC的中点， →1→→∴AO＝(AB＋AC)
2
1→→m→n→＝(mAM＋nAN)＝AM＋AN， 222
mn
∵M，O，N三点共线，∴＋＝1，∴m＋n＝2.
22
→→
6．(2018届南宁二中、柳州高中联考)已知a，b是不共线的向量，AB＝λa＋2b，AC＝a＋(λ－1)b，且A，B，C三点共线，则λ等于( ) A．－1 C．－2或1 答案 D
→→
解析 由于A，B，C三点共线，故AB＝μAC， 即λ·(λ－1)－2×1＝0，解得λ＝－1或2.故选D.
7．已知两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则下列结论正确的是________．(填序号) ①a∥b；②a⊥b；③|a|＝|b|；④a＋b＝a－b. 答案 ②
解析 根据向量加法、减法的几何意义可知，|a＋b|与|a－b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a＋b|＝|a－b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b. →→8．(2018·青岛质检)已知D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：
111→1→→
①AD＝a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；
2222→→→
④AD＋BE＋CF＝0.
其中正确命题的序号为________． 答案 ②③④
→→
解析 BC＝a，CA＝b， 1→1→→
AD＝CB＋AC＝－a－b，
221→→1→
BE＝BC＋CA＝a＋b，
22→1→→1
CF＝(CB＋CA)＝(－a＋b)
2211＝－a＋b，
22
B．－2 D．－1或2
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