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思维升华 向量有关概念的关键点 (1)向量定义的关键是方向和长度．
(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制． (3)相等向量的关键是方向相同且长度相等． (4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．
(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．
题型二 平面向量的线性运算
命题点1 向量的线性运算
→→→
典例 (1)(2018届贵州遵义航天高级中学一模)如图所示，向量OA＝a，OB＝b，OC＝c，A，B，→→
C在一条直线上，且AC＝－3CB，则( )
31
A．c＝b－a
22C．c＝－a＋2b 答案 A
→→→→→→→3→1→31
解析 由AC＝－3CB，可得OC－OA＝－3(OB－OC)，则OC＝OB－OA＝b－a，故选A.
2222(2)(2017·青海西宁一模)如图，在△ABC中，点D在BC边上，且CD＝2DB，点E在AD边→→→
上，且AD＝3AE，则用向量AB，AC表示CE为( )
31
B．c＝a－b
22 D．c＝a＋2b
2→8→A．AB＋AC
992→7→C．AB＋AC
99答案 B
→→→1→→1→1解析 由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得CE＝AE－AC＝AD－AC＝(AB＋
333→→1→1→→?→
AB＋?AC－AB?－AC BC)－AC＝?3?3?
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2→8→
B．AB－AC
992→7→D．AB－AC
99
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2→8→＝AB－AC. 99
命题点2 根据向量线性运算求参数
典例 (1)(2018届河北省武邑中学调研)如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，→→→
E为线段AO的中点．若BE＝λBA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于( )
3
A．1 B．
4答案 B
解析 ∵E为线段AO的中点， →1→1→1→11→?BD ∴BE＝BA＋BO＝BA＋?2222?2?1→1→→→＝BA＋BD＝λBA＋μBD， 24113
∴λ＋μ＝＋＝，故选B.
244
→→
(2)在△ABC中，点D在线段BC的延长线上，且BC＝3CD，点O在线段CD上(与点C，D→→→
不重合)，若AO＝xAB＋(1－x)AC，则x的取值范围是( ) 10，? A．??2?1
－，0? C．??2?答案 D
→→解析 设CO＝yBC， →→→∵AO＝AC＋CO
→→→→→＝AC＋yBC＝AC＋y(AC－AB) →→＝－yAB＋(1＋y)AC.
→→
∵BC＝3CD，点O 在线段CD上(与点C，D不重合)， 1→→→0，?，∵AO＝xAB＋(1－x)AC， ∴y∈??3?1
－，0?. ∴x＝－y，∴x∈??3?
1
0，? B．??3?1
－，0? D．??3?
21C． D．
32
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思维升华 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．
→→→→→→→
跟踪训练 (1)(2017·江西赣州二模)如图，已知AB＝a，AC＝b，DC＝3BD，AE＝2EC，则DE等于( )
31A．b－a
4331C．a－b
43答案 D
解析 由平面向量的三角形法则可知， 1→→→→3→
－AC? DE＝DC＋CE＝BC＋??3?43→→1→
＝(AC－AB)－AC 433→5→＝－AB＋AC
41235
＝－a＋b，故选D.
412
(2)如图，直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且与对角线AC→2→→1→→→
交于点K，其中，AE＝AB，AF＝AD，AK＝λAC，则λ的值为______．
52
53
B．a－b
12453D．b－a
124
2答案 9
→2→→1→
解析 ∵AE＝AB，AF＝AD，
52→5→→→
∴AB＝AE，AD＝2AF.
2
→→→
由向量加法的平行四边形法则可知，AC＝AB＋AD，
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→→→→∴AK＝λAC＝λ(AB＋AD) 5→→AE＋2AF? ＝λ??2?5→→＝λAE＋2λAF， 2
52
∵E，F，K三点共线，∴λ＋2λ＝1，∴λ＝. 29题型三 共线向量定理的应用典例 设两个非零向量a与b不共线． →→→
(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， 求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
→→→
(1)证明 ∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)， →→→
∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3(a－b) →
＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB， →→
∴AB，BD共线．
又∵它们有公共点B，∴A，B，D三点共线． (2)解 假设ka＋b与a＋kb共线， 则存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即(k－λ)a＝(λk－1)b.
又a，b是两个不共线的非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0.
消去λ，得k2－1＝0，∴k＝±1. 引申探究
→→
若将本例(1)中“BC＝2a＋8b”改为“BC＝a＋mb”，则m为何值时，A，B，D三点共线？ →→
解 BC＋CD＝(a＋mb)＋3(a－b)＝4a＋(m－3)b， →
即BD＝4a＋(m－3)b.
→→
若A，B，D三点共线，则存在实数λ，使BD＝λAB. 即4a＋(m－3)b＝λ(a＋b)．
?4＝λ，?∴?解得m＝7. ?m－3＝λ，?
故当m＝7时，A，B，D三点共线．
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