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§5.1 平面向量的概念及线性运算

最新考纲 1.了解向量的实际背景． 考情考向分析 主要考查平面向量的线性运算(加法、减法、数乘向量)2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 及其几何意义、共线向量定3.理解向量的几何表示． 理常与三角函数、解析几何4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 交汇考查，有时也会有创新5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义． 6.了解向量线性运算的性质及其几何意义 的新定义问题；题型以选择题、填空题为主，属于中低档题目．偶尔会在解答题中作为工具出现.

1．向量的有关概念

名称 向量 零向量 单位向量 平行向量(共线向量) 定义 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 长度为0的向量；其方向是任意的 长度等于1个单位长度的向量 方向相同或相反的非零向量 备注 平面向量是自由向量 记作0 a非零向量a的单位向量为± |a|0与任一向量平行或共线 缘份让你看到我在这里

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相等向量 相反向量

2.向量的线性运算

向量运算 长度相等且方向相同的向量 长度相等且方向相反的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 0的相反向量为0 定义 法则(或几何意义) 运算律 (3)交换律：a＋b＝b加法 求两个向量和的运算 ＋a； (4)结合律：(a＋b)＋c ＝a＋(b＋c) 减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 (6)|λa|＝|λ||a|； 求实数λ与向量a的积的运算 (7)当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

3.共线向量定理

向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa. 知识拓展

1．一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向——→——→—→————→——→

量，即A1A2＋A2A3＋A3A4＋…＋An－1An＝A1An，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量．

→1→→

2．若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP＝(OA＋OB)．

2→→→

3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.

(8)λ(μa)＝(λμ)a； (9)(λ＋μ)a＝λa＋μa； (10)λ(a＋b)＝λa＋λb a－b＝a＋(－b) 数乘

题组一 思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量．( × )

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(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关．( √ ) (3)若a∥b，b∥c，则a∥c.( × )

→→

(4)若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上．( × ) (5)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立．( √ ) (6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．( × ) 题组二 教材改编

→→→

2．[P86例4]已知?ABCD的对角线AC和BD相交于点O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝______，→

BC＝________.(用a，b表示) 答案 b－a －a－b

→→→→→→→→→

解析 如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB＝－a－b.

→→→→

3．[P108B组T5]在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则四边形ABCD的形状为________． 答案 矩形

→→→→→→→→

解析 如图，因为AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，所以|AC|＝|DB|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD是矩形．

题组三 易错自纠

4．对于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

解析 若a＋b＝0，则a＝－b，所以a∥b.若a∥b，则a＋b＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．

5．设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________. 1答案 2

解析 ∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b与a＋2b平行，则存在唯一的实数μ，

??λ＝μ，1

使λa＋b＝μ(a＋2b)成立，即λa＋b＝μa＋2μb，则?解得λ＝μ＝. 2?1＝2μ，?

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

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12→→→

6．设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若DE＝λ1AB＋λ2AC(λ1，

23λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________． 1

答案 2

→→→1→2→

解析 DE＝DB＋BE＝AB＋BC

231→2→→1→2→

＝AB＋(BA＋AC)＝－AB＋AC， 2363121∴λ1＝－，λ2＝，即λ1＋λ2＝.

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题型一 平面向量的概念

1．有下列命题：①两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；→→

③若|AB|＝|DC|，则四边形ABCD是平行四边形；④若m＝n，n＝k，则m＝k；⑤若a∥b，b∥c，则a∥c；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中，假命题的个数是( ) A．2 C．4 答案 C

解析 对于①，两个相等向量，它们的起点相同，终点也相同，①正确；对于②，若|a|＝|b|，→→→→

方向不确定，则a，b不一定相等，∴②错误；对于③，若|AB|＝|DC|，AB，DC不一定相等，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，③错误；对于④，若m＝n，n＝k，则m＝k，④正确；对于⑤，若a∥b，b∥c，当b＝0时，a∥c不一定成立，∴⑤错误；对于⑥，有向线段不是向量，向量可以用有向线段表示， ∴⑥错误．

综上，假命题是②③⑤⑥，共4个，故选C.

2．设a0为单位向量，①若a为平面内的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 答案 D

解析 向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.

C．2 D．3 B．3 D．5

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