因素的交互作用进行研究。
因此，进行两因素或多因素试验时，一般应设置重复，以便正确估计试验误差，深入研究因素间的交互作用。
(二)两因素有重复观测值试验的方差分析 对两因素和多因素有重复观测值试
验结果的分析，能研究因素的简单效应、主效应和因素间的交互作用(互作)效应。现介绍这三种效应的意义如下：
1、简单效应(simple effect) 在某因素同一水平上，另一因素不同水平对试验指标的
影响称为简单效应。如在表6-27中，在A1(不加赖氨酸)上，B2- B 1=480-470=10；在A2(加赖氨酸)上，B2- B1=512-472=40；在B1(不加蛋氨酸)上，A2-A1=472-470=2；在B2(加蛋氨酸)上，A2-A1=512-480=32等就是简单效应。简单效应实际上是特殊水平组合间的差数。
表6-27 日粮中加与不加赖、蛋氨酸雏鸡的增重(g)
B1 B2 B2-B1 平均 A1 470 480 10 475
A2 472 512 40 492
A2-A1 2 32 17
平均 471 496 25
2、主效应(main effect) 由于因素水平的改变而引起的平均数的改变量称为主效应。
如在表6-27中，当A因素由A1水平变到A2水平时，A因素的主效应为A2水平的平均数减去A1水平的平均数，即
A因素的主效应=492-475=17
同理 B因素的主效应=496-471=25
主效应也就是简单效应的平均，如(32+2)÷2=17，(40+10)÷2=25。
3、交互作用 (互作，interaction) 在多因素试验中，一个因素的作用要受到另一
个因素的影响，表现为某一因素在另一因素的不同水平上所产生的效应不同，这种现象称为该两因素存在交互作用。如在表6-27中：
A在B1水平上的效应=472-470=2 A在B2水平上的效应=512-480=32 B在A1水平上的效应=480-470=10 B在A2水平上的效应=512-472=40
显而易见，A的效应随着B因素水平的不同而不同，反之亦然。我们说A、B两因素间存在交互作用，记为A×B。或者说，某一因素的简单效应随着另一因素水平的变化而变化时，则称该两因素存在交互作用。互作效应可由(A1B1+A2B2-A1B2-A2B1)/2来估计。表6-27中的互作效应为
(470+512-480-472)/2=15
所谓互作效应实际指的就是由于两个或两个以上试验因素的相互作用而产生的效应。如在表6-27中，A2B1-A1B1=472-470=2，这是添加赖氨酸单独作用的效应；A1B2-A1B1=480-470=10，这是添加蛋氨酸单独作用的效应，两者单独作用的效应总和是2+10=12；但是，A2B2-A1B1=512-470=42，而不是12；这就是说，同时添加赖氨酸、蛋氨酸产生的效应不是单独添加一种氨基酸所产生效应的和，而另外多增加了30，这个30是两种氨基酸共同作用的结果。若将其平均分到每种氨基酸头上，则各为15，即估计的互作效应。
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我们把具有正效应的互作称为正的交互作用；把具有负效应的互作称为负的交互作用；互作效应为零则称无交互作用。没有交互作用的因素是相互独立的因素，此时，不论在某一因素哪个水平上，另一因素的简单效应是相等的。
关于无互作和负互作的直观理解，读者可将表6-27中，A2B2位置上的数值改为482和任一小于482的数后具体计算一下即可。
下面介绍两因素有重复观测值试验结果的方差分析方法。
设A与B两因素分别具有a与b个水平，共有ab个水平组合，每个水平组合有n次重复，则全试验共有abn个观测值。这类试验结果方差分析的数据模式如表6-28所示。
表6-28 两因素有重复观测值试验数据模式 A因素
B1 x111 x112 ? x11n x11. x11.
B 因 素 B2 ?? x121 x122 ? x12n x12. x12.
Bb x 1b1 x1b2 ? x1bn x1b.
x1b.
Ai合计xi.. Ai平均x
i..x1jl
A1
x1j.
x1j.
?? ??
?
x1..
x1..
x2jl
A2
x2j.
x2j.
?
?
x211 x212 ? x21n x21.
x21.
?
x221 x222 ? x22n x22.
x22.
?
?? ?? ?? ?? ??
?
?? ?? ??
?
x2b1 x2b2 ? x2bn x2b. x2b.
?
x2..
?
x2..
?
xajl
Aa
xaj.
xaj.
xa11 xa12 ? xa1n xa1.
xa1.
xa21 xa22 ? xa2n xa2.
xa2.
?? ??
?
?? ?? ??
?? ??
xab1 xab2 ? xabn xab.
xab.
xa..
xa..
x…
x...
Bj合计x.j. Bj平均x.j. 表6-28中
x.1. x.1.
x.2. x.2.
x.b.
x.b.
100
nnxij.?xi..?x.j.?x...??l?1bxijlnxij.?xijlxi..??xl?1bijln/n/bn??j?1l?1an??xj?1l?1anijl
xijln
ijl??i?1l?1abi?1x.j.?xijlx...???xi?1l?1abi?1/an/abnnijl???j?1l?1???xj?1l?1两因素有重复观测值试验的数学模型为:
xijl????i??j?(??)ij??ijl(i?1,2,?,a;j?1,2,?,b;j?1,,2,?,n) (6-32)
其中，?为总平均数；αi为Ai的效应；βj为Bj的效应；(αβ) ij为Ai与Bj的互作效应，
?i??i.??,?j??.j??,(??)ij??ij??i.??.j??nbnj,?i.、?.j、?ij分别为Ai、Bj、AiBj观测
bab值总体平均数；且??ii?1?0,??j?12
?0,?(??)ij??(??)ij???(??)iji?1j?1i?1j?1?0,?ijl为随机误差，
相互独立，且都服从N(0，σ)。
两因素有重复观测值试验结果方差分析平方和与自由度的剖分式为
SST?SSA?SSB?SSA?B?SSe (6-33)
dfT?dfA?dfB?dfA?B?dfe其中，SSA×B,dfA×B为A因素与B因素交互作用平方和与自由度。
若用SSAB,dfAB表示A、B水平组合间的平方和与自由度，即处理间平方和与自由度，则因处理变异可剖分为A因素、B因素及A、B交互作用变异三部分，于是SSAB、dfAB可剖分为：
SSAB?SSA?SSB?SSA?B (6-34)
dfAB?dfA?dfB?dfA?B各项平方和、自由度及均方的计算公式如下： 矫正数 C?x.../abn?2
2ijl总平方和与自由度 SST水平组合平方和与自由度 SSABA因素平方和与自由度 SSAB因素平方和与自由度 SSB???x??C，dfT?abn?1
?xb112ij.?C，dfAB?ab?1 （6-35）
??xbn?xan12i..?C，dfA?a?1 ?b?1
?2.j.?C，dfB交互作用平方和与自由度 SSA?B?SSAB?SSA?SSB,dfA?B?(a?1)(b?1) 误差平方和与自由度 SSe?SST?SSAB,dfe?ab(n?1)
相应均方为 MSA?SSA/dfB,MSB?SSB/dfB,MSA?B?SSA?B/dfA?B,MSe?SSe/dfe
【例6.6】为了研究饲料中钙磷含量对幼猪生长发育的影响，将钙(A)、磷(B)在饲料中
101
的含量各分4个水平进行交叉分组试验。先用品种、性别、日龄相同，初始体重基本一致的幼猪48头，随机分成16组，每组3头，用能量、蛋白质含量相同的饲料在不同钙磷用量搭配下各喂一组猪，经两月试验，幼猪增重结果(kg)列于表6-29，试分析钙磷对幼猪生长发育的影响。
本例A因素钙的含量分4个水平，即a=4；B因素磷的含量分4个水平，即b=4；共有
ab=4×4=16个水平组合；每个组合重复数n=3；全试验共有abn=4×4×3=48个观测值。
现对本例资料进行方差分析如下：
表6-29 不同钙磷用量(%)的试验猪增重结果(kg)
x1j1
A1(1.0)
x1jl
x1j.
B1(0.8) 22.0 26.5 24.4 72.9 24.3 23.5 25.8 27.0 76.3 25.4 30.5 26.8 25.5 82.8 27.6 34.5 31.4 29.3 95.2 31.7 327.2 27.3 B2(0.6) 30.0 27.5 26.0 83.5 27.8 33.2 28.5 30.1 91.8 30.6 36.5 34.0 33.5 104.0 34.7 29.0 27.5 28.0 84.5 28.2 363.8 30.3 B3(0.4) 32.4 26.5 27.0 85.9 28.6 38.0 35.5 33.0 106.5 35.5 28.0 30.5 24.6 83.1 27.7 27.5 26.3 28.5 82.3 27.4 357.8 29.8 B4(0.2) 30.5 27.0 25.1 82.6 27.5 26.5 24.0 25.0 75.5 25.2 20.5 22.5 19.5 62.5 20.8 18.5 20.0 19.0 57.5 19.2 278.1 23.2 Ai合计xi.. 324.9
Ai平均x
i..27.1 29.2 27.7 26.6 27.6 350.1 332.4 319.5 1326.9 x2jl
A2(0.8)
x2j.
x2j.
x3jl
A3(0.6)
x3j.
x3j.
x4jl
A4(0.4)
x4j.
x4j.
Bj合计x.j. Bj平均x.j. 21、计算各项平方和与自由度
C?x.../abn?1326.9/(4?4?3)?36680.4919SST?2
22???xijl?C12?(22.0?26.5???20.0?19.0)?36680.491922
?37662.8100?36680.4919?982.3181SSAB?3?37515.3967?36680.4919?834.9048?nxij.?C?21(72.9?83.5???57.5)?36680.4919222
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